2018-2019高中数学第二章随机变量及其分布2-3-2离散型随机变量的方差随堂达标验收新人教A版选修2-

2-3-2离散型随机变量的方差1．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于()A．0.2B．0.8C[解析]∵ξ～B(10,0.02)，∴D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.[答案]C2．投掷一枚骰子的点数为ξ，则()A．E(ξ)＝3.5，D(ξ2B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,12)C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝eq\f(35,16)[解析]∵P(ξ＝k)＝eq\f(1,6)，k＝1,2,3,4,5,6，∴E(ξ)＝eq\f(1,6)×(1＋2＋3＋…＋6)＝3.5，E(ξ2)＝eq\f(1,6)×(12＋22＋…＋62)＝eq\f(91,6)，∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝eq\f(91,6)－eq\f(49,4)＝eq\f(35,12).[答案]B3．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np1－p＝20，))得p＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)4．随机变量ξ的取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[解析]由题意设P(ξ＝1)＝p，则ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由E(ξ)＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).[答案]eq\f(2,5)课内拓展课外探究1．常用分布的方差(1)两点分布：若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．注意：上述公式证明如下：由于X服从两点分布，即P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，∴E(X)＝p，E(X2)＝02×(1－p)＋12×p＝p，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝p－p2＝p(1－p)．(2)二项分布：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．注意：上述结论证明如下：∵X～B(n，p)，令q＝1－p，则P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,n)piqn－i，∴E(X2)＝eq\i\su(i＝0,n,i)2Ceq\o\al(i,n)piqn－i＝eq\i\su(i＝2,n,i)(i－1)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＋eq\i\su(i＝0,n,i)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＝eq\i\su(i＝2,n,i)(i－1)Ceq\o\al(i,n)piqn－i＋E(X)＝n(n－1)p2eq\i\su(i＝2,n,C)eq\o\al(i－2,n－2)pi－2q(n－2)－(i－2)＋E(X)＝n(n－1)p2eq\i\su(j＝0,n－2,C)eq\o\al(j,n－2)pjq(n－2)－j＋E(X)＝n(n－1)p2(p＋q)n－2＋E(X)＝n(n－1)p2＋E(X)＝n(n－1)p2＋np，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝n(n－1)p2＋np－(np)2＝np－np2＝npq.故D(X)＝np(1－p)．(3)超几何分布：若随机变量X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，则D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\f(N－n,N－1).某人投篮命中的概率为p＝0.4.(1)求投篮一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投篮时命中次数Y的均值和方差．[解](1)X的分布列为X01PE(X)＝0×0.6＋1×0.4＝0.4.D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.4)，∴E(Y)＝np＝10×0.4＝4，D(Y)＝10×0.4×0.6＝2.4.[点评]由随机变量的方差的计算公式可知，欲求随机变量的方差应先求该随机变量的数学期望．若该随机变量服从一些特殊的分布(如两点分布、二项分布、超几何分布)，可以直接利用已知的公式进行计算．2．方差的求法(1)定义法求离散型随机变量的方差的步骤：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望E(X)；⑤代入公式D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2pn求出方差D(X)；⑥代入公式σ(X)＝eq\r(DX)求出随机变量的标准差σ.(2)利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2求方差公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2的证明如下：D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xeq\o\al(2,1)p1＋xeq\o\al(2,2)p2＋…＋xeq\o\al(2,n)pn)＋2E(X)·(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋(E(X))2(p1＋p2＋…＋pn)＝E(X2)－2(E(X))2＋(E(X))2＝E(X2)－(E(X))2.利用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2可以简化求方差的过程．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的个数的期望和方差．[解]取出白球个数ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示取出的两个球都是黑球，P(ξ＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)；ξ＝1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)；ξ＝2表示取出的两个球都是白球，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，于是：E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2，D(ξ)＝(0－1.2)2×eq\f(1,10)＋(1－1.2)2×eq\f(3,5)＋(2－1.2)2×eq\f(3,10)＝0.36，或E(ξ2)＝02×eq\f(1,10)＋12×eq\f(3,5)＋22×eq\f(3,10)＝1.8，D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))22＝0.36.[点评]求离散型随机变量的数学期望和方差，往往先求概率分布，再根据定义求解，在方差的计算过程中，利用D(ξ)＝E(ξ)2－(E(ξ))2计算方差要简便一些．设随机变量X的分布列为ξ12…nPeq\f(1,n)eq\f(1,n)…eq\f(1,n)求D(X)．[解]解法一：E(X)＝1×eq\f(1,n)＋2×eq\f(1,n)＋…＋n×eq\f(1,n)＝(1＋2＋…＋n)×eq\f(1,n)＝eq\f(nn＋1,2)×eq\f(1,n)＝eq\f(n＋1,2)，于是，有D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(n＋1,2)))2×eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋22＋…＋n2－n＋11＋2＋…＋n＋n·\f(n＋12,4)))＝eq\f(n2－1,12).解法二：由解法一可求得E(X)＝eq\f(n＋1,2).又E(X2)＝12×eq\f(1,n)＋22×eq\f(1,n)＋…＋n2×eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(n＋12n＋1,6).∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝eq\f(n＋12n＋1,6)－eq\f(n＋12,4)＝eq\f(n2－1,12).[点评]本例的解法二比解法一简捷得多，这是因为公式D(X)＝E(X2)－