01-8.6空间直线、平面的垂直（1）-胥祥棣

济南市中小学生延期开学学习支持资源“离校不离教，网上可指导”“停课不停学，线上可学习”“教学过程要持续，教育质量不打折”2020年2月应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情济南市教育局空中课堂2020春季学期延期开学学习支持资源空中课堂济南市教育局2020年4月济南市2020年春季学期延时网络学习资源高中数学高一年级济南市历城第一中学胥祥棣济南市教育教学研究院监制8.6.1-8.6.2

直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定课标要求1.理解异面直线所成的角。2.了解直线与平面垂直的定义。3.掌握直线与平面垂直的判定定理。素养提升通过对线线夹角、线面垂直判定定理的学习,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。目标导航复习引入空间中两条直线的位置关系相交直线平行直线异面直线

在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度,如图.O

在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB相对于HF的倾斜程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDC异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥ba

″新课探究新课探究思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥

a″(基本事实4),解答：如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a″与b

所成的角为∠2,又b∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2

答:这个角的大小与O点的位置无关.在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)知识总结定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则___________特殊情况当θ＝_____时，a与b互相垂直，记作______锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为空间两直线所成的角的范围为[0,90]oo方法总结求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角（或其补角）为所求的异面直线所成的角三求：在一恰当的三角形中求出角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).例1、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？（2）直线BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直线BA'

和AC

所成的角是多少？解：（1）（2）由

可知，

（或其补角）是异面直线

与所成的角,所以异面直线与所成的角为450。

巩固练习例1、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA'

垂直？（2）直线BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直线BA'

和AC

所成的角是多少？（3）如图，连接A'C'.因为ABCD－A'B'C'D'

是正方体，所以AA'与CC'平行且相等.可得四边形ACC'A'为平行四边形.所以AC可平移至A'C'.连接BC'，易证△A'BC'为等边三角形，从而求得直线BA'与AC所成角为60°。巩固练习巩固练习例2、在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为 (

)A.150° B.60° C.120° D.30°取AC的中点M，连接EM，FM.M则EM∥BC，FM∥AD，EM=FM=1，所以∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角.在△MEF中，cos∠EMF=所以∠EMF=150°.所以异面直线AD与BC所成角的大小为30°.实例导入问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

一条直线与一个平面垂直的意义是什么？AαBB1C1CB旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直．

与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．

直线垂直于平面内的任意一条直线．新课探究新课探究直线与平面垂直的定义：Plα直线平面l的垂面垂足α的垂线如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直记作：l⊥αl叫做α的垂线,α叫做l的垂面,l与α的唯一公共点P叫做垂足。说明：l⊥α等价于对任意的直线mÌα，都有l⊥m.符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒

.三、应用新知三、应用新知画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直新课探究1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

2.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到该平面的距离：新课探究直线与平面垂直的判定定理：

一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.Pablα作用：线线垂直线面垂直符号语言：⇒l⊥α.新课探究巩固练习如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.延时符总结提升直角互相垂