2023年北京市某中学九年级下学期零模数学试卷（解析版）

2023年北京市玉渊潭中学九年级下学期零模数学试卷

班级：姓名：学号：

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只

有一个.

1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆柱B.五棱柱C.长方体D.五棱锥

【答案】B

【解析】

【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小

长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得

到答案.

【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个

小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知

这个几何体是五棱柱，

故选B.

【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视

图.

2.国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的

光伏电站每年可输出约44.8万度清洁电力.将448000用科学记数法表示应为（）

A-0.448xlO6B-44.8xlO4C；4.48xlO5D-

4.48xlO6

【答案】C

【解析】

【分析】直接用科学记数法的形式表示即可.

【详解】解：448000=448x105

故选：C

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，此时axlO"中，〃

为正整数且〃等于原数的整数位数减1.

3.如图，直线AB〃CD'直线以7分别与直线N8,CD交于点及F,点G在直线CD上，

GEVEF.若/[=55。，则二的大小为（）

A.145°B.135°C,125°D.120°

【答案】A

【解析】

【分析】根据N6〃C£），由两直线平行同位角相等可推导/脐G=1；根据GELEF,

可知NEEG=90°；然后借助三角形外角的性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，

利用（+FEG）计算/2即可•

【详解】解：

•，-ZEFG=1=55°'

:GELEF,

NFEG=90。，

乙七/EFG+FEG=550+90°=145°-

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握

相关性质并灵活运用.

4.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

abc

II.I1.111l.l>

-4-3-2-101234

A.a>hB,同<HC.Q+C<0D.ab>c

【答案】B

【解析】

【分析】根据。，b,c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可.

【详解】解：由题意得：-3<a<-2<-1</><0<3<c<4

.'.a<b<c,|Z>|<|c|,a+c>0,ab<c,

错误，8正确，C错误，。错误.

故选反

【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号

的确定，掌握以上知识是解题的关键.

5.若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的内角和为（）

Bd

A.360。-540°C.72QO-900°

【答案】C

【解析】

【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出

多边形的内角和.

【详解】由题意，正多边形的边数为〃=幽=6，

60°

其内角和为（〃-2”80。=720"

故选C.

【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.

6.ZvlBC和aOE厂是两个等边三角形，AB=2,DE=4,则△48C与aDE尸的面积比是（

）

ABcD

-1:2-1:4-1:8-1：5/2

【答案】B

【解析】

【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积

之比等于其相似比的平方，即可求解.

【详解】♦••△Z8C和是两个等边三角形，

.•.△&BC：DEF,且有相似比为：4B=2=1,

ED42

又.••两个相似三角的面积比等于其相似比的平方，

=(42=(J_)2=1,

S&DEFED)'24

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的

平方是解答本题关键.

7.若关于x的一元二次方程/+(加+])x+4=0有两个不相等的实数根，则僧的值可以是

()

A.1B.-1C.-5D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根据根的判别式得到△=(m+l)2_4xlx4=(m+l)2_42〉0,然后解关于机的

不等式，即可求出机的取值范围，并根据选项判断.

【详解】•.•关于X的一元二次方程/+(加+])x+4=o有两个不相等的实数根，

A=(/n+1)2-4x1x4=(w+l)2-42>0'

A(w+1)2>42,

.*.^+1>4,加>3,或用+1<-4,m<-5.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，

A>0.

8.如图，在平面直角坐标系xQy中，点/的坐标是(5,0),点8是函数y=£(x>0)图象

上的一个动点，过点8作8cLy轴交函数y=_2(x<0)的图象于点C点。在X轴上

(。在力的左侧)，且4>8C,连接CD.有如下四个结论：

①四边形力88可能是菱形；

②四边形ABCD可能是正方形；

③四边形/8CD的周长是定值；

④四边形ABCD的面积是定值.

所有正确结论的序号是（）

【解析】

【分析】根据题意可得四边形”58是平行四边形，设点贝根据

BC=AB,可得关于a的方程，有解，可得①正确：若四边形是正方形，则轴，

ABLBC,BC=AB,可得到点8,C的坐标，从而得到Z8WBC,可得②错误：取a的不同

的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8,可得④正确，

即可求解.

轴，

C.BC//AD,

•：AD=BC,

・・・四边形Z8CQ是平行四边形,

①若四边形488是菱形，则

aVa)a

•.♦点Z的坐标是(5,0)，

2,解得："4+25/-60"-28=°,该方程有解,

二.四边形/IBC。可能是菱形，故①正确；

②若四边形/BCD是正方形，贝轴，ABLBC,BC=4B,

,点/的坐标是(5,0)，

・・.点8的横坐标为5,

•••点8是函数y=9(x>0)图象上，

...点8的纵坐标为

5

,/8cA轴，

.•.点C的纵坐标为9，

5

•.•点C是函数y=_2(x<0)的图象的一点，

...点C的横坐标为一2，

3

••・此时80=5一(一•=去工3,

二四边形488不可能是正方形，故②错误；

③若。=1时,点8（6,1），则

：.AD=BC=1,CD=/8=J(6-5)2+F=后

,此时四边形相CO的周长为2（7+&）=]4+20

若昕2时,点3（3,2），则。（一1,2），

：.AD=BC=^,CD=AB=^(3-5)2+22=272)

...此时四边形ABCD的周长为29+272）=8+4721

四边形/BCD的周长不是定值，故③错误；

•',AD=BC=92三，点8到x轴的距离为a,

aa

二四边形的面积为8

ABCD入a—o

四边形Z8C。的面积是定值，故④正确；

.•.正确的有①④.

故选：D

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正

方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.如果苏力在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是.

【答案】x>-l

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数是非负数判断即可.

【详解】解：由题意得：

x+l>0

解得:x>-\

故答案为：x>_1

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本

题的关键.

10.分解因式：ab2-4ab+4a=.

【答案】。（6-2）2

【解析】

【详解】ah2-4ah+4a

=a（炉-46+4）

=a（6-2）2

故答案为a（b-2）2.

11.写出一个比百大且比万小的整数.

【答案】2##3##4

【解析】

【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出方和J厅的范围，即可求解.

【详解】解：•••&<£4，

屈<后V25，

4<^75，

比百大且比而小的整数为：2或3或4.

故答案为：2或3或4（写其一即可）.

【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关

键.

12.方程上+6=1的解为.

x—2x+2

【答案】

x=l

【解析】

【分析】根据方程的去分母，去括号移项合并解方程即可.

【详解】解：X।6L

x—2x+2

去分母得：x(x+2)+6(x-2)=(x-2)(x+2)

去括号的：x2+2x+6x-12=x2-4

移项合并得：8》=8

系数化1的:

经检验：丫_］是原方程的根.

—1

故答案为:

【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键.

13.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离

CD为8m,桥拱半径0C为5m,求水面宽AB=m.

【答案】8.

【解析】

【分析】连结0A,先计算0D的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得

AB=2AD,据此解题.

【详解】连结0A,

...拱桥半径0C为5cm,

.\OA=5cm'

CD=8m,

.•.(9Z>=8-5=3cm,

AD=ylOA2-OD2=五4=4m

AB=2AD=2x4=Sm,

故答案为：8.

【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相

关知识是解题关键.

14.如图，在△N8C中点。在上（不与点力,8重合），连接CD只需添加一个条件即

可证明△/CO与△Z8C相似，这个条件可以是（写出一个即可）.

【答案】乙4CD=NB（答案不唯一，或NZDC=N/C8或32=应£均可）

ACAB

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可.

【详解】解：•••//=//

...添加或或丝=政.

ACAB

故答案是：或或丝=0C（答案不唯一）.

ACAB

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相

似；两角对应相等，两个三角形相似.

15.某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短

文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽

取一项进行测试.甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是一

【答案】1

9

【解析】

【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.

【详解】解：列表如下：

即兴演讲朗诵短文电影片段配音

（即兴演讲，即兴演（即兴演讲，朗诵短（即兴演讲，电影片段配

即兴演讲

讲）文）音）

（朗诵短文，即兴演（朗诵短文，朗诵短（朗诵短文，电影片段配

朗诵短文

讲）文）音）

电影片段（电影片段配音，即（电影片段配音，朗（电影片段配音，电影片

配音兴演讲）诵短文）段配音）

共有9种等可能结果，其中甲、乙都抽到“即兴演讲”项目的结果有1种,

故P（甲、乙都抽到“即兴演讲"项目）=1，

9

故答案为：J_

9

【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.

16.某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:

（0男学生人数多于女学生人数；

5）女学生人数多于教师人数；

（沆）教师人数的两倍多于男学生人数

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为；

②该小组人数的最小值为.

【答案】①.6©.12

【解析】

【分析】①设男生有x人，女生有V人，且x>y,根据题意列出不等式组，即可求解;

②男生有机人，女生有〃人，教师有，人，根据题意列出不等式组，即可求解.

【详解】解：①设男生有x人，女生有y人，且根据题意得：

x>4y>4

J,《，

2x4>x[2x4>y

解得：4<x<8,4<y<8'

•.XV均为整数，且x>y,

・・.产6或7,产5或6；

，女学生人数的最大值为6

故答案为：6

②设男生有机人，女生有〃人，教师有，人，根据题意得:

m>tn>t

X3c'

2t>m[2t>n

解得：t<m<2t,t<n<2tJ

V/H,z均为整数，且加>小

2t-t>2,即‘>2，

的最小值为3,

当Z=3时，n=4,m=5,

"?+〃+/=5+4+3=12.

故答案为：12

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一

次不等式组是解题的关键.

三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：7i2-2sin60°+^1j+|-2|

【答案】4+百

【解析】

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数累，绝对值的意义计算

即可.

【详解】解：原式=2回2x正+2+2

2

=4+73-

【点睛】本题考查二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数暴，绝对值的意义,

熟练掌握这些知识点是解题关键.

5x+3>3（x-l）,

18.解不等式组：I

]X-20/「

----<6-3x.

2

【答案】-3cx<2

【解析】

【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可•

5x+3〉3（x-l）①

【详解】解：J、

三<6-3遮

I2

解不等式①，得x>_3.

解不等式②，得x<2.

原不等式组的解集为_3<x<2.

【点睛】考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.

19.己知3a2+/一2=0,求代数式（a+6）2+2。（叱6）的值•

【答案】2

【解析】

【分析】先将3a2+/_2=（）变形，得出3/+/=2,再将原式利用完全平方公式和整

式运算化简，即可求解.

【详解】•.•3/+"2=0'

:.3a2+b2=2'

（a++2a（a—b）=a~+2ab+b~+2.ci~—2ab——3a~+h~—2'

【点睛】本题考查了完全平方公式和整式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键.

20.己知：在V/8C中，AB=AC'是边BC上的中线.

求作：NBPC,使NBPC=/B4C.

作法：

①作线段的垂直平分线MN，与直线交于点°；

②以点。为圆心，0/长为半径作eO；

③在的C上取一点尸（不与点4重合），连接8P，CP-N8PC就是所求作的角.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接OB,。。-

VMN是线段AB的垂直平分线，

,>*OA=----------

AB=AC,AD是边BC上的中线，

''AD1BC-

OB=OC'

e0为\JABC的外接圆•

•.•点P在eo上,

ABPC=ABAC（）（填推理的依据）.

【答案】（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角相等

【解析】

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）先证明。。为△48C的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论.

【详解】解：（1）如图，/8PC即为所求作.

证明：连接0C.

是线段的垂直平分线，

：.OA=OB.

•：AB=AC,是边上的中线，

：.AD1_BC.

：.OB=OC.

为△NBC的外接圆.

•.•点尸在。。上，

ZBPC=ZBAC（同弧所对的圆周角相等）.

故答案为：。8,同弧所对的圆周角相等.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解

题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型.

21.如图，在四边形力8。中，妣=DC,AD=BC/£）工CZT点后在对角线C/的延

长线上，连接BO,BE.

(1)求证:AC=BD；

(2)若5c=2,BE=用，tanNABE=乙，求后。的长•

3

【答案】(1)详见解析；(2)5.

【解析】

【分析】(1)由工8=OC,/O=5C，得出四边形N8CZ)是平行四边形；由题意得出四

边形ABCD是矩形•则得出AC=BD-

(2)过点E作EFLCB交CB的延长线于点F,由ZABC=NEFB,得出EF//AB^lj

二=乙.设FB=2x(x>0),则EF=3x.又因为BE2=EF2+FB、BE=岳.

EF~3

则(V13)2=(3x)2+(2x)2'解得x=1•得到FB=2,EF=3•再结合题意得到EC-5■

【详解】(1)证明：；Z8=OC,ZZ)=8C，

四边形ABCD是平行四边形.

,**ADVCD'

-ZADC=900-

四边形/BCD是矩形.

'AC=BD

(2)解：过点后作交C5的延长线于点尸，如图，

则ZEFB=90°•

ZABC=ZEFB-

•*,EF//AB-

NABE=NFEB，

.2

*,tanZ.FEB-tanZ.ABE——'

3

•FB2

♦廿3

设E5=2x(x>0)，则所=3x，

BE?=EF?+FB?,BE=岳，

，(旧)2=(3x)2+(2x)2,解得x=「

：•FB=2,EF=3-

BC=2'

'FC=FB+BC=4,

：,FC=FB+BC=4,

EC=^EF2+FC2=5'

【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质和勾股定理，解

题的关键是熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质和勾股定理.

22.在平面直角坐标系x0伊中，直线/：»=ax+6与双曲线^=上交于点/(I,相)和

X

5(_2_[).点A关于x轴的对称点为点c.

(1)①求左的值和点0的坐标；

②求直线/的表达式；

(2)过点5作了轴的垂线与直线/c交于点。，经过点o的直线与直线80交于点

若30。,,NCED**45°,直接写出点E的横坐标’的取值范围.

【答案】⑴①2,0(I,-2”②y=x+l；⑵[_瓜/,,0或2,7,,1+/

【解析】

【分析】(1)①先求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，即可得出结论；

②利用待定系数法，即可得出结论；

(2)先求出8=1，再分两种情况，找出NCEO=30。和45。时点E的坐标，即可得出结

论.

【详解】解：(1)①'点8(—2,-1)在双曲线左上，

V―一

X

.•/=-2x(—l)=2，

二反比例函数解析式为v_2,

y

X

1点在双曲线2上，

y

X

:.m=2'

4(1,2)，

•・•点A关于不轴的对称点为点c，

C(l,-2);

②：直线/：y=ax+b经过点4(1,2)和5(-2,-1)T

,•2=a+b

〈，

-1=-2a+b

储=1

《，

6=1

直线/的解析式为y=X+1；

(2)如图，

•.•点A关于x轴的对称点为点0，

:.ACHy^,

•.•8。”轴，

ZBDC=90°'£>(1,-1)>

•••0(1,-2))

：.CD=\'

①当点后在点。左侧时，

当NCEO=45。时’DE=CD=\'

：.t=Q)

当ZCE'D=30°时‘DE'==币'

:」=1-也'

30°,“ED,45。'

1—A/SJ,t、、0'

②当点石在点O右侧时，同①的方法得,

2,,1+A/3

即：1-6/,,0或2,7,,1+6，

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，对称的性质，直角三角形的

性质，找出分界点是解本题的关键.

23.如图，为。。的直径，8为弦，于点E,连接。。并延长交。。于点尸，

连接/尸交C。于点G,CG=AG,连接ZC.

(1)求证：AC//DF.

(2)若48=12,求4C和G。的长.

【答案】(1)见解析⑵/C=6,OG=4G

【解析】

【分析】(1)根据圆周角定理得到NC=NF,由G/=GC推出NC4F=/C,得到

NCAF=NF,即可得到结论/C〃。尸.

(2)连接利用/C〃。/推出/C=/l,根据圆周角定理得到NC='N2,进而证得

是等边三角形，得至ij.利用垂径定理求出£=/。=6,利用三角

AD=AO^-AB^6

2

函数求出ZG.

【小问1详解】

证明：

C,F都在。。上,

，NC=NF.

■：GA=GC,

：.NCAF=NC.

NCAF=NF.

AAC//DF.

【小问2详解】

解：连接4D

VAC//DF,

：.ZC=Z1,

vND=ND'

,1

•,ZC=-Z2'

2

•'-Zl=-Z2-①

2

VABLCD^E,

：.NBED=9Q。.

'NI+N2=90。•②

由①，②得N1=30°,Z2=60°.

OA=OD,

/.是等边三角形.

・1

,,AD=AO=—AB=6.

2

・・•直径Z8J_C。于E,

,,,=Q

AC=AD=6.

•・・△40。是等边三角形，

ZADO=60°,Zl=30°.

N3=N/gNl=30。

・・・。厂是。。的直径，

・・.NE4D=90。.

.•.在Rt^G/Z）中，DG=^-=45

cosZ3

【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，

平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键.

24.某校计划更换校服款式.为调研学生对48两款校服的满意度，随机抽取了20名同学

试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为20分），并按照1：1：1

的比计算综合评分.将数据（评分）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.A,8两款校服各项评分的平均数（精确到0.1）如下：

款式舒适性评分平均数性价比评分平均数时尚性评分平均数综合评分平均数

A19.519.610.2

B19218.510.416.0

b.不同评分对应的满意度如下表：

评分0<x<55<Y<1010Sc<1515人20

满意度不满意基本满意满意非常满意

c.A,8两款校服时尚性满意度人数分布统计图如下:

d校服B校服

d.8校服时尚性评分在10土＜15这一组的是：

1011121214

根据以上信息，回答下列问题：

(1)在此次调研中，

①“校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：—(填“是”或“否”)；

②/校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为；

(2)在此次调研中，8校服时尚性评分的中位数为；

(3)在此次调研中，记/校服时尚性评分高于其平均数的人数为〃?，8校服时尚性评分高

于其平均数的人数为〃.比较〃?，〃的大小，并说明理由.

【答案】(I)①是；②3

(2)10.5(3)〃，理由见解析

【解析】

【分析】(1)①根据列表先求出“校服综合评分平均，再结合“非常满意”是

154x420来进行计算求解;

②根据《校服时尚性满意度达到“非常满意”所占的百分比为15%，用20乘百分比求解；

(2)根据扇形统计图分别求出8校服时尚性评分中不满意、基本满意、满意、非常满意人

数，再确定出中位数所在的位置，最后用中位数的求法来求解；

(3)根据频数分统计表和扇形统计图及中位数来求解.

【小问1详解】

解：①/校服综合评分平均数是19.5+19.6+10.2一］$/

3

而“非常满意”是15WXW20'

所以/校服综合评分平均数达到了“非常满意”.

故答案为：是；

②/校服时尚性满意度达到“非常满意”所占的百分比为]5%

所以的人数为：20xl5%=3（人），

故答案为:3；

【小问2详解】

解：根据题意可知：8校服时尚性评分中不满意20*35%=7（人），基本满意

20xl0%=2（人）'满意20x25%=5（人）'非常满意20x30%=6（人）'

中位数位于10和H位，正好是8校服时尚性评分在10夕<15这一组的是前两位数，

所以8校服时尚性评分的中位数为四J,：1。5；

2

【小问3详解】

解：m<n'

理由如下：

/校服时尚性评分的平均数为10.2,达到“满意”水平，由扇形图可知，20人中对/校服

时尚性评分达到“满意”和“非常满意”的有45%,即9人，因此/校服时尚性评分高于

其平均数的人数〃?49；8校服时尚性评分平均数为104小于其中位数10.5,因此结合

样本数据，在20人中8校服时尚性评分高于其平均数的人数〃=]o.

故

取〃2V〃•

【点睛】本是主要考查了统计表和扇形统计图，平均数和中位数，理解图形，从中获取信

息是解答关键.

25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相

同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后,

通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为“米的地点，水柱距离湖面

的高度为〃米，

请解决以下问题：

d1.3.5.7.

0

(米)0000

h3.4.5.4.1.

(米)22028

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接:

(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；

(3)求所画图象对应的函数表达式；

(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条

水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少

米的护栏(不考虑接头等其他因素).

【答案】(1)见解析(2)5

2

⑶/?=-1(£/-3)+5(0<J<8)

(4)72米

【解析】

【分析】(1)在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；

(2)观察图象即可；

(3)由表中点(1.0,4.2),(5.0,4.2),可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物

线解析式为顶点式即可，再找点(1.0,4.2)代入即可求得解析式；

(4)在求得的解析式中令〃=0,则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度.

【小问1详解】

坐标系及图象如图所示.

A方米

【小问2详解】

由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米.

【小问3详解】

•.•抛物线经过点（1.0,4.2）,（5.0,4.2）,

抛物线的对称轴为〃

.••抛物线的顶点坐标为（3.0,5.0）.

设抛物线的函数表达式为〃=_3）2+5•

把（1.0,4.2）代入，解得1.

CI-

5

...所画图象对应的函数表达式为〃=__L（d_3）2+5（0wa<8）・

【小问4详解】

令〃=0，解得4=_2（舍），d,=8,

..•每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米.

•••这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米,

正方形护栏的边长至少为18米.

则公园至少需要准备18X4=72（米）的护栏.

【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次

函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键.

26.在平面直角坐标系Q中，已知抛物线”一+kIQ>0)

(1)若抛物线过点(4,一］)•

①求抛物线的对称轴:

②当_l<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角

坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式;

(2)若(1,8)为抛物线上的三点且匕〉乂〉招，设抛物线的对称

轴为直线》=/,直接写出f的取值范围.

【答案】(1)①尸2；②歹=4》2_±工一1

⑵一3</<-3

2

【解析】

【分析】①把(4,-1)代入解析式，确定4-4”，代入直线丫_b计算即可.

2a

②根据对称轴为直线-2,且2-(-1)=5-2,判定抛物线经过(-1,0)和(5,0),代入解析

式确定“，b的值即可.

(2)方法一：根据丫A—_b—I得到b=-2af,从而解析式变形为

2a

y=ax2-2atx-l(a>0),把(一4j)(一2,%)'(L%)分别代入解机式,根据

v>v，列出不等式组，解不等式组即可.

方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小.

【小问1详解】

解：①把（4,-1）代入解析式y="+bx_l（q〉O），得

-l=16a+4/?-l'

解得

...对称轴为直线丫_b_-4a=2.

2a2a

②根据题意，画图像如下：

-4上

•••当_l<x<o时，图像在x轴的下方,

当5<》<6时，图像在x轴的上方，

对称轴为直线h2,且2-（-1）=5-2,

•••抛物线经过（-1,0）和（5,0）,

.（a-b-l=0,

'25。+56-1=0

J

解得.5

_4

b-5

55

【小问2详解】

••b

,x=——=t'

2a

b=-2at,

2

・••解析式变形为y=ax_2atx—1(«>0)'

把(_4,,)，(-2,%)，(1,%)分别代入解析式，得

y3=a-2at-1,yi=16。+83-1,%=4。+43一1'

：%>%>乂，

a一2Q£-1>16a+Sat—I

•,<a--l>4a+4at-\'

16a+Sat-\>4a+4〃-1

t<--

2

解得tV__L，

2

E>—3

■

故f的取值范围是_3_2.

2

方法二:若㈠M，(-2,必)，(1,%)为抛物线上的三点且对称轴为

x=tf

124.,1、八，开口向上，

V=-X——x-l'4=—>0

'555

①当/<_4，则必<%<%'不符合题意'

②当-4v/v-2时，丹>%%

t—(-4)>—2—t

解得由3

—3<，<—2

③当-2<t<\'y3>yi>y2

_(_2)<1-/，］-/>/-(-4)

解得X-

22

综上所述，-3«_2

一2

【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握

待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键.

27.已知N8=8C,乙48c=90。，直线/是过点8的一条动直线（不与直线8c重合）,

分别过点4C作直线/的垂线，垂足为。，E.

（1）如图1,当45。＜//8。＜90。时，

①求证：CE+DE=AD；

②连接4E,过点D作DHL4E于H,过点“作N厂〃8c交力”的延长线于点足依题意补

全图形，用等式表示线段。「，BE,OE的数量关系，并证明；

（2）在直线/运动的过程中，若。E的最大值为3,直接写出的长.

【答案】（1）①见解析；②补全图形见解析：线段。尸，BE,DE的数量关系为

证明见解析;

BE2+DE2=DF-'

⑵3&

2

【解析】

【分析】（1）①根据ASA证明△力8。g△8CE,推出力。=5旦BD=CE,由此得到

CE+DE=AD，

②利用同角的余角相等推出利用三角形外角性质推出N〃£Q=N4）F.进

而证明△4。尸且得到。户XE.利用勾股定理证得炉=4后2，由此得到

BE1+DE2=DF2'

（2）当直线/在N48C外部时，由（1）知△48。且△8CE.彳导至1]DE=DB+BE=DB+4D,

设NZ>x,则8E=x,DB=DE-BE=3-x,推出+更，根据函数的性质解答

【小问1详解】

①证明：

•・,ZABC=90°t

：.NABD+/CBD=9。。.

VCEAJ,

：.ZCE5=90°.

NCBD+/C=90。.

：.NABD=/C.

,?ADLl,

：./ADB=90o=/CEB.

AB=BC,

：./\ABDgABCE.

4D=BE,BD=CE.

;BD+DE=BE'

*CE+DE=AD・

②补全图形如图:

线段。「，BE,OE的数量关系为，八

证明如下：

VAF//BC,

：.N8力尸+N/8O180。.

'/N46C=90。，

・・・ZBAF=90°.

：.N84D+ND力产=90°.

VAD_[_lf

：.ZADB=90°.

：.NB4D+/ABD=90。.

：.NABD=/DAF.

・.・DF±AE于H,

：./DHE=90。.

：.ZHDE+ZHED=90°.

•/ZADE=ZADF+ZHDE=90°,

NHED=/ADF.

;由（1）中全等，有4D=BE,

：.&4DF*/\BEA.

：.DF=AE.

,在用△/£）£1中'AD2+DE2=AE2'

BE2+DE2=DF2'

【小问2详解】

当直线/在/48C外部时,

由（1）知△力5。之△BCE.

/.AD=BE,BD=CE,

/.DE=DB+BE=DB+AD,

设AD=x,贝ljBE=x,DB=DE-BE=3-x,

,,,AB2=AD2+DB2

=X2+（3-X）2

.•.当x=3时，有最小值电，即后.