2023学年完整公开课版幂函数

1.幂函数的概念、图象特征和性质.2.根据幂函数的单调性比较幂值的大小.教学目标1、幂函数的概念2、幂函数的图象与性质3、幂函数性质的综合运用重点、难点一、幂函数的概念【问题1】下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝

，这里c是S的函数；(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v＝

km/s,即v＝t－1,这里v是t的函数.(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ωkg,那么她需要支付p＝ω元,这里p是ω的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；幂函数定义

一般地，函数

叫做幂函数，其中x是

，α是

.y＝xα自变量常数【注意】：①自变量前的系数是，1幂的系数为1；

②α是任意常数；

③函数的定义域与α有关；

④中学阶段只研究α=1，2，3，1/2，-1这几种的幂函数.

例1.在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.√

例2.已知y＝

＋2n－3是幂函数，求m，n的值.【悟】判断函数是否是幂函数的方法：函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，且满足：

①指数为常数，

②底数为自变量，

③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.【练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____.解析：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，

∴f(－4)＝(－4)2＝16.16二、幂函数的图象与性质【问题2】根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？提示：根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的

单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.提示：

【问题3】同一坐标系下函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1的图象是怎样的？y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性填表：观察函数图象以及函数解析式，完成下表.R[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数RR增函数在(－∞,0]上单调递减,在[0,＋∞)上单调递增增函数在[0,＋∞)上单调递增在(－∞,0]上单调递减,在[0,＋∞)上单调递减(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函数y＝x2是

；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴

，向右与x轴

.(3)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

,函数y＝x－1

；特殊幂函数的性质(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的图象都通过点

；(1,1)奇函数偶函数单调递增单调递减无限接近无限接近一般幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，

并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上单调

递增.且图象只出现在第一象限.特别地:当α>1时，幂函数的图象下凸；

当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；

当0<α<1时，幂函数的图象上凸.(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.一般幂函数的性质(4)在(－∞，0)上,幂函数有无图象与α的取值有关，

若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，

若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于

直线y＝x对称.(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1),它同各幂函数图象

相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的

顺序排列.√解析:根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，【悟】解决与幂函数有关的综合性问题的方法：（1）考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应

幂函数的单调性和奇偶性也不同.（2）注意分类讨论思想的应用.幂函数图象的画法：①确定幂函数在第一象限内的图象:先根据α的取值,确定幂函数y＝xα在第一象限内的

图象.②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)

在其他象限内的图象.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图由图像可知：（1）当x>1或x<－1时,f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).三、幂函数性质的综合运用例3

：比较下列各组数中两个数的大小：解：①

∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，③∵函数y1＝

在(0，＋∞)上单调递增，例4：已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，

求满足

的a的取值范围.解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.故

变为

.∵函数y＝

在R上是增函数，∴由

，得a＋1<3－2a，即【悟】比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时,则可构造函数,利用幂函数

的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.【练3】比较下列各组数的大小：②－3.143与－π3.②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.∴m2＋m＝2，∴