专题75空间直角坐标系与向量2020年高考数学一轮复习对点提分文理科通用学生版纸间书屋

借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离a，bpa，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)p＝xa＋yb.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，使得a，bO，作＝a＝b，则∠AOB

aba·(λa)b＝λ(a·a·＝b·a(b＋c)＝a·模 a2＋a2＋a2· A，B，C＝

→x＋y＝1)，O为平面内任意一点P，A，B，C

→＋→

→x＋y＋z＝1)，O一点(1)空间中任意两非零向量a，b共面.( 【衍化2.(2－1P97A2改编)ABCDA1B1C1D1中，MA1C1B1D1的交点.若 3.(2－1P118A6改编)a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)a＋ba－b 【体验4.(2018济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A1，2，3)，B(－2，－1，)，C3，2，1)，4，3，0)，则直线AB与D的位置关系是( ) B.平C.异 5.(2019月考)已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则 6.(2019·杭州二中月考)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝3→1B，C四点共面，则实数

考点一1ABCD－A1B1C1D1＝a→＝b 【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算1】O－ABC中，M，NOA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量 考点二2E，F，G，HABCDAB，BC，CD，DAE，F，G，H①→

→＋

①

→＋→＋

③ 明2】ABC－A1B1C1M，NAC1BC上，且满足＝ ＝是否与向量→ 考点三空间向量的数量积及其应 探角度 3－1a分别与→垂直，且|a|＝3a的坐标角度 3－2(经典母题)ABCD1E，F，G分别AB，AD，CD的中点，计算：→ →12EG的长3AGCE所成角的余弦值利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；|a|＝cos〈a，b〉＝3ABCD－A1B1C1D1ABD1AC夹角的余弦值【与感悟利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.在利用＝

①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示 与 AB，AC共面【基础巩固题组】(建议用时：40分钟 22 223ABCDaE，FBC，3为

1

1

BC所成角的余弦值为 22

2－ 3 3若{a，b，c}p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)p在基底{a，b，c}下的坐标.坐标为(4，2，3)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是() OABC＝a＝b＝c，DBC的中点，EAD的中点，则 (a，b，c表示正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长 A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)a＝→，b＝ aOABC－O1A1B1C1中，E，FAB，BCAE＝BF＝x，其0≤x≤aOOxyz.

1→＋

【能力提升题组】(建议用时：20分钟p＝xa＋ybpa，bpa，bp＝xa＋yb；③若＝ yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面则M点的坐标为 B.2， ，C. 2 ，

D.2， 13.(2019·郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)＝(2，1，2)1，2)，且点Q在直线OP上运动，当→