版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
baf
(
x)dx
=
Iiin=limf
(x
)Dxlfi
0
i
=1被积函数被积表达式积分变量[a
,b
]积分区间积分上限积分下限积分和f
(
x)
>
0,f
(
x)dx
=
A曲边梯形的面积f
(
x)
<
0,abaf
(
x)dx
=曲边梯形的面积的负值2、定积分的几何意义b1、定积分的定义-
A(1)当a
=b时,af
(
x)dx
=
0;(2)当a
>b
时,abbaf
(
x
)dx
=
-f
(
x
)dx
.3
、定积分的性质对定积分的补充规定:bba(3)
[
f
(
x)–
g(
x)]dx
=baf
(
x)dx
–bag(
x)dx
.(4)babaf
(
x)dxkf
(
x)dx
=
k(k
为常数).(5)baf
(
x)dx
=bccaf
(
x)dx
+f
(
x)dx
.(6)baba1
dx
=则
f
(x)dx‡0ba.
(a
<b)(7)如果在区间dx
=
b
-
a.[a,b]上f
(x)‡0,利用定积分求特殊和式极限:n
nni
1f
(
)i
=1limnfi
¥=10f
(x)dxn1+
p1p
+
2
p
+np例7:limnfi
¥n1+
p解:limnfi¥1p
+
2
p
+np=lim
ni
pnfi
¥
i=1
n1+
ppni
1n
n)i=1nfi
¥=lim
(10x
dxp=101x
p+1p
+1=1p
+1=第二节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式变速直线运动中路程为2TT1v(t
)dt设某物体作直线运动,已知速度v
=v(t
)是时间间隔[T1
,T2
]上t
的一个连续函数,且v(t
)‡0,求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为s(T2
)
-
s(T1
)1T2Tv(t
)dt
=
s(T2
)
-
s(T1
).\其中s
(t
)=v(t
).一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系xaf
(
x)dx=xaf
(t
)dt记xaf
(t
)dt.F
(
x)
=积分上限函数如果上限x
在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,二、积分上限函数及其导数设函数f
(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点,考察定积分axyoxaF
(
x
)
=f
(t
)dt
在[a,b]上具有导数,且它的导数是积分上限函数的性质定理1如果f
(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数x
+
Dx
b证ax+Dxf
(t
)dtF
(
x
+
Dx)
=
DF
=
F
(
x
+
Dx)
-
F
(
x)xaa=x+Dxf
(t
)dtf
(t
)dt
-
F
(
x)xdxdxaF
¢(
x
)
=f
(
t
)dt
=
f
(
x
)
(a
£
x
£
b)xax=x
x+Dxaf
(t
)dtf
(t
)dt
-f
(t
)dt
+=x+Dxxf
(t
)dt,由积分中值定理得DF
=
f
(x)Dxx˛
[
x,
x
+
Dx],=
f
(x),DxDFDxfi
0limDxfi
0=
lim
f
(x)DxDF\ F
(
x)
=
f
(
x).=
f
(
x)注意:(1)xaf
(t
)dt
=f
(x)中下限为常数,上限为单个变量x且被积函数中不含x.(2)f
(t
)dtu(
x
)a¢=
f
(u(
x))u
(
x).(3)f
(t
)dtu(
x
)v
(
x
)=
f
(u(
x))u¢(
x)
-
f
(v(
x))v
¢(
x).定理2(原函数存在定理)如果f
(x)在[a,b]上连续,则积分上限的函数xaF
(
x
)
=f
(t
)dt
就是f
(x)在[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义:(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.x
2tdt,求F
¢(x).例1:
设F
(
x)
=
0
sin(
x
2
)¢=
2
x
sin
x022x-t
)f
(t
)dt,求F
¢(x).F
(
x)
=
sin
x
2例2:
设F
(
x)
=
(
x解:x022(
x
-
t
)
f
(t
)dtF
(
x)
=xx=
x0202t f
(t
)dtf
(t
)dt
-0xF
¢(
x)
=
2
x0xf
(t
)dt
+
2
xf
(
x)F
¢(
x)
=
2x0f
(t
)dtf
(t
)dt
+
x
2
f
(
x)
-
x
2
f
(
x)
=
2
x例3
求x2lim
cos
x
.1
2
e-t
dtxfi
021xe
dtcos
x-t
2limxfi
02
x(-
sin
x)2e
-
cos
x=
-
limxfi
01=
2e
.解:1x
2cos
x-t
2-
e
dt=
limxfi
0x0(t
+1)arctan
tdt
的极小值。例4:求函数y
=解:令
y
=
0
y
=
(
x
+
1)
arctan
x得x
=-1或x
=0又
y¢
=
1
+
x
+
arctan
x1
+
x
2\
y
(0)
=
1
>
04y¢(-1)
=
-
p
<
0极小值为
y(0)
=
0注意:若需要用导数(极限,单调性,凹凸性,极值)来解决某一个问题时,题目中又出现积分上限函数,则使用积分上限函数导数解决,而不是要求出定积分上限函数表达式。证:af
(
x)dx
=
F
(b)
-
F
(a)xa三、牛顿—莱布尼茨公式定理3(微积分基本公式)如果F
(x)是连续函数f
(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则.bxaf
(t
)dt
=
f
(
x)
\f
(t
)dt
=
F
(
x)
+
C取
x
=
bbaf
(t
)dt
=
F
(b)
+
C取
x
=
aaaf
(t
)dt
=
F
(a)
+
CC
=
-F
(a)babaf
(
x)dx
=
F
(b)
-
F
(a)f
(t
)dt
=F
(b)-F
(a)
即baaF
(
x)b记为:
f
(
x)dx
=
[
]ba=
F
(
x)baf(
x)dx
=
F
(b)
-
F
(a)[
]ba=
F
(
x)注意当a
>
b时,baf
(
x)dx
=
F
(b)
-
F
(a)仍成立.微积分基本公式表明:一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.xdx10例1:2
0=
x
2
11=
2dx102x
21
+
x例2:原式=解:)dx1101
+
x
2(1
-10=
[x
-
arctan
x]4=
1
-
p20例3:x
-
1dx原式=解:2110(
x
-
1)dx(1
-
x)dx
+211
2
2
11
0+
(1
-
x)2
=
-
(1
-
x)2
=
1xdx10例1:02
12=
x
12=dx102x
21
+
x例2:原式=解:1101
+
x
2(1
-10)dx
=
x
-
arctan
x4=
1
-
p20例3:x
-
1dx原式=解:2110(
x
-
1)dx(1
-
x)dx
+21102121+
(1
-
x)2=
-
(1
-
x)2=
1例4
设.51
<
x
£
20
£
x
£
1,
求f
(
x)
=
2
x20f
(x)dx解102120f
(
x)dxf
(
x)dx
+f
(
x)dx
=在[1,2]上规定当x
=1时,f
(x)=5,01
212
xdx
+
5dx原式==
6.xyo
1
200,
1xf
(t
)dt在(-¥
,+¥
)内的表达式,求F
(x)=例5:设f
(x)=
2
sin
x,0
£
x
£
px
<0或x
>p解:当0
£
x
£
p
时F
(
x)
=x0f
(t
)dt=x0sin
tdt12x021=
-
cos
t1=
2
(1
-
cos
x)当x
<0
时,F
(
x)
=x00dt=
0当
x
>
p
时,
F
(
x)
=
02p
1sin
tdt+xp0dt120=
-pcos
t+
0
=
11,
x
>
p0
£
x
£
p0,
x
<
0
1F
(
x)
=
2
(1
-
cos
x),利用定积分求特殊和式极限:n
nni
1f
(
)i
=1limnfi
¥=10f
(x)dxn1+
p1p
+
2
p
+np例7:limnfi
¥n1+
p解:limnfi¥1p
+
2
p
+np=lim
ni
pnfi
¥
i=1
n1+
ppni
1n
n)i=1nfi
¥=lim
(10x
dxp=101x
p+1p
+1=1p
+1=例8
求111.+n2
+
n2
n2
+
22
n2
+
12lim
n
nfi
¥+
+解nfi
¥nn2
+
i
2n原式=lim
n
n
2nfi
¥
i
=1
n
1
+
i
1
1=
lim
dx1=
0
1
+
x2i
=1110=
[arctan
x]=
p4例9
求11.lim+n
+
n
1n
+
2nfi
¥
n
+
1+
+解nfi
¥
i
=1
n
+
i1n原式=lim
nnfi
¥
i
=1
n
1
+
i1
1n=
lim
dx1=
0
1
+
x1[]10ln(1
+
x)==ln2课堂:223ninn
-
infi
¥
i
=11、lim02f
(t
)xdt,求f
(x).
sin
t
2
+
cos
t2、
设f
(
x)
=例6x设f
(x
)在(-¥
,+¥
)内连续,且f
(x
)>0.证明函数x0f
(
t
)dtF
(
x
)
=tf
(
t
)dt0
在(0,+¥
)内为单调增加函数.证dxd0xtf
(t
)dt
=
xf
(
x),xdxd0f
(t
)dt=
f
(
x),(
)20xx
xf
(t
)dtxf
(
x)
f
(t
)dt
-
f
(
x)
tf
(t
)dtF
¢(
x)
=
0
0
200=xxf
(t
)dt
(
x
-
t
)
f
(t
)dtf
(
x)0\xf
(t
)dt
>
0,0\x(
x
-
t
)
f
(t
)dt
>
0,(
x
>
0).
f
(
x)
>
0, (
x
>
0)(
x
-
t
)
f
(t
)
>
0,\
F
(
x)
>
0故F
(x)在(0,+¥
)内为单调增加函数.xt0xfi
0x
sin
t
dt1、lim课堂:ln
20e
x
(1
+
e
x
)3
dx2、51+
sin
x
)dx3、(x
-20xf
(t
)dt在(0,2)内的表达式0
£
x
£
11
£
x
£
2
x
2
,4、设f
(x)=
x,,求F
(x)=223ninn
-
infi
¥
i
=11、limxdttx0sin
t1、limxfi
01sin
xxfi
0=
lim
x
=
1ln
20e
x
(1
+
e
x
)3
dx2、解:原式=ln
20(1
+
e
x
)3
d
(1
+
e
x
)ln
2041x
4=
(1
+
e
)414
41
65= ·
81
- ·16
=51+
sin
x
)dx3、(x
-2解:原式=21(2
-
x
+
sin
x)dx
+p2(
x
-
2
+
sin
x)dx+5p(
x
-
2
-
sin
x)dx2122(2=
(-
-
x)
-
cos
x)p222+
((
x
-
2)
-
cos
x)52p+
cos
x)(
x
-
2)2+
(12(p
-
2)229+
1+
1
+
cos
2
+ +
cos
5
-2(p
-
2)2=
-
cos
2
+ +
cos1+2=
cos1
+
co
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 3防护支挡工程资料清单目录(改)
- 新课标2023版高考地理一轮检测五十走向人地协调可持续发展
- 宝鸡文理学院《文字设计》2022-2023学年第一学期期末试卷
- 宝鸡文理学院《数据、模型与决策》2022-2023学年第一学期期末试卷
- 彩色文档打印机相关项目建议书
- 头发脱色剂项目可行性实施报告
- 摄影用屏相关项目建议书
- 机械手表项目评价分析报告
- 双簧管市场环境与对策分析
- 外科手术用铂金烧灼器市场环境与对策分析
- 营造林工程验收记录表汇总
- 部编新人教版道德与法治七年级上册《做更好的自己》说课稿A课件
- 高中英语-人教新教材Module1-Unit3-Living-Legends公开课课件
- (苏教版)五年级数学上册期中复习课件
- 钢材购销合同doc
- 小学综合实践一年级上册第2单元《秋天的童话》教材分析及全部教案
- 五年级上册第四单元骄人祖先灿烂文化龙盛丽《美丽文字民族瑰宝》教学设计表
- 四年级上册科学课件- 《9.热气球上升的秘密》 青岛版 (共17张PPT)
- 学校教师技能(基本功)“三题”能力竞赛实施方案
- 临床医学专业学位博士各专业临床轮转实践教学大纲
- 艺术欣赏完整版课件全套ppt教程(最新)
评论
0/150
提交评论