第五章定积分52微分基本公式

baf

(

x)dx

=

Iiin=limf

(x

)Dxlfi

0

i

=1被积函数被积表达式积分变量[a

,b

]积分区间积分上限积分下限积分和f

(

x)

>

0,f

(

x)dx

=

A曲边梯形的面积f

(

x)

<

0,abaf

(

x)dx

=曲边梯形的面积的负值2、定积分的几何意义b1、定积分的定义-

A（1）当a

=b时，af

(

x)dx

=

0；（2）当a

>b

时，abbaf

(

x

)dx

=

-f

(

x

)dx

.3

、定积分的性质对定积分的补充规定:bba(3)

[

f

(

x)–

g(

x)]dx

=baf

(

x)dx

–bag(

x)dx

.(4)babaf

(

x)dxkf

(

x)dx

=

k(k

为常数).(5)baf

(

x)dx

=bccaf

(

x)dx

+f

(

x)dx

.(6)baba1

dx

=则

f

(x)dx‡0ba.

(a

<b)(7)如果在区间dx

=

b

-

a.[a,b]上f

(x)‡0，利用定积分求特殊和式极限：n

nni

1f

(

)i

=1limnfi

¥=10f

(x)dxn1+

p1p

+

2

p

+np例7：limnfi

¥n1+

p解：limnfi¥1p

+

2

p

+np＝lim

ni

pnfi

¥

i=1

n1+

ppni

1n

n)i=1nfi

¥＝lim

(10x

dxp＝101x

p+1p

+1＝1p

+1＝第二节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式变速直线运动中路程为2TT1v(t

)dt设某物体作直线运动，已知速度v

=v(t

)是时间间隔[T1

,T2

]上t

的一个连续函数，且v(t

)‡0，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为s(T2

)

-

s(T1

)1T2Tv(t

)dt

=

s(T2

)

-

s(T1

).\其中s

(t

)=v(t

).一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系xaf

(

x)dx=xaf

(t

)dt记xaf

(t

)dt.F

(

x)

=积分上限函数如果上限x

在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，二、积分上限函数及其导数设函数f

(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察定积分axyoxaF

(

x

)

=f

(t

)dt

在[a,b]上具有导数，且它的导数是积分上限函数的性质定理１如果f

(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数x

+

Dx

b证ax+Dxf

(t

)dtF

(

x

+

Dx)

=

DF

=

F

(

x

+

Dx)

-

F

(

x)xaa=x+Dxf

(t

)dtf

(t

)dt

-

F

(

x)xdxdxaF

¢(

x

)

=f

(

t

)dt

=

f

(

x

)

(a

£

x

£

b)xax=x

x+Dxaf

(t

)dtf

(t

)dt

-f

(t

)dt

+=x+Dxxf

(t

)dt,由积分中值定理得DF

=

f

(x)Dxx˛

[

x,

x

+

Dx],=

f

(x),DxDFDxfi

0limDxfi

0=

lim

f

(x)DxDF\ F

(

x)

=

f

(

x).=

f

(

x)注意：(1)xaf

(t

)dt

=f

(x)中下限为常数，上限为单个变量x且被积函数中不含x.(2)f

(t

)dtu(

x

)a¢=

f

(u(

x))u

(

x).(3)f

(t

)dtu(

x

)v

(

x

)=

f

(u(

x))u¢(

x)

-

f

(v(

x))v

¢(

x).定理2（原函数存在定理）如果f

(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数xaF

(

x

)

=f

(t

)dt

就是f

(x)在[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.x

2tdt,求F

¢(x).例1：

设F

(

x)

=

0

sin(

x

2

)¢=

2

x

sin

x022x-t

)f

(t

)dt,求F

¢(x).F

(

x)

=

sin

x

2例2：

设F

(

x)

=

(

x解：x022(

x

-

t

)

f

(t

)dtF

(

x)

=xx=

x0202t f

(t

)dtf

(t

)dt

-0xF

¢(

x)

=

2

x0xf

(t

)dt

+

2

xf

(

x)F

¢(

x)

=

2x0f

(t

)dtf

(t

)dt

+

x

2

f

(

x)

-

x

2

f

(

x)

=

2

x例3

求x2lim

cos

x

.1

2

e-t

dtxfi

021xe

dtcos

x-t

2limxfi

02

x(-

sin

x)2e

-

cos

x=

-

limxfi

01=

2e

.解：1x

2cos

x-t

2-

e

dt=

limxfi

0x0(t

+1)arctan

tdt

的极小值。例4：求函数y

=解：令

y

=

0

y

=

(

x

+

1)

arctan

x得x

=-1或x

=0又

y¢

=

1

+

x

+

arctan

x1

+

x

2\

y

(0)

=

1

>

04y¢(-1)

=

-

p

<

0极小值为

y(0)

=

0注意：若需要用导数(极限，单调性，凹凸性，极值)来解决某一个问题时，题目中又出现积分上限函数，则使用积分上限函数导数解决，而不是要求出定积分上限函数表达式。证：af

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)xa三、牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）如果F

(x)是连续函数f

(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则.bxaf

(t

)dt

=

f

(

x)

\f

(t

)dt

=

F

(

x)

+

C取

x

=

bbaf

(t

)dt

=

F

(b)

+

C取

x

=

aaaf

(t

)dt

=

F

(a)

+

CC

=

-F

(a)babaf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)f

(t

)dt

=F

(b)-F

(a)

即baaF

(

x)b记为：

f

(

x)dx

=

[

]ba=

F

(

x)baf(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)[

]ba=

F

(

x)注意当a

>

b时，baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)仍成立.微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.xdx10例1：2

0=

x

2

11=

2dx102x

21

+

x例2：原式=解：)dx1101

+

x

2(1

-10=

[x

-

arctan

x]4=

1

-

p20例3：x

-

1dx原式=解：2110(

x

-

1)dx(1

-

x)dx

+211

2

2

11

0+

(1

-

x)2

=

-

(1

-

x)2

=

1xdx10例1：02

12=

x

12=dx102x

21

+

x例2：原式=解：1101

+

x

2(1

-10)dx

=

x

-

arctan

x4=

1

-

p20例3：x

-

1dx原式=解：2110(

x

-

1)dx(1

-

x)dx

+21102121+

(1

-

x)2=

-

(1

-

x)2=

1例4

设.51

<

x

£

20

£

x

£

1,

求f

(

x)

=

2

x20f

(x)dx解102120f

(

x)dxf

(

x)dx

+f

(

x)dx

=在[1,2]上规定当x

=1时，f

(x)=5,01

212

xdx

+

5dx原式==

6.xyo

1

200,

1xf

(t

)dt在(-¥

,+¥

)内的表达式,求F

(x)=例5：设f

(x)=

2

sin

x,0

£

x

£

px

<0或x

>p解：当0

£

x

£

p

时F

(

x)

=x0f

(t

)dt=x0sin

tdt12x021=

-

cos

t1=

2

(1

-

cos

x)当x

<0

时,F

(

x)

=x00dt=

0当

x

>

p

时,

F

(

x)

=

02p

1sin

tdt+xp0dt120=

-pcos

t+

0

=

11,

x

>

p0

£

x

£

p0,

x

<

0

1F

(

x)

=

2

(1

-

cos

x),利用定积分求特殊和式极限：n

nni

1f

(

)i

=1limnfi

¥=10f

(x)dxn1+

p1p

+

2

p

+np例7：limnfi

¥n1+

p解：limnfi¥1p

+

2

p

+np＝lim

ni

pnfi

¥

i=1

n1+

ppni

1n

n)i=1nfi

¥＝lim

(10x

dxp＝101x

p+1p

+1＝1p

+1＝例8

求111.+n2

+

n2

n2

+

22

n2

+

12lim

n

nfi

¥+

+解nfi

¥nn2

+

i

2n原式=lim

n

n

2nfi

¥

i

=1

n

1

+

i

1

1=

lim

dx1=

0

1

+

x2i

=1110=

[arctan

x]=

p4例9

求11.lim+n

+

n

1n

+

2nfi

¥

n

+

1+

+解nfi

¥

i

=1

n

+

i1n原式=lim

nnfi

¥

i

=1

n

1

+

i1

1n=

lim

dx1=

0

1

+

x1[]10ln(1

+

x)==ln2课堂：223ninn

-

infi

¥

i

=11、lim02f

(t

)xdt,求f

(x).

sin

t

2

+

cos

t2、

设f

(

x)

=例6x设f

(x

)在(-¥

,+¥

)内连续，且f

(x

)>0.证明函数x0f

(

t

)dtF

(

x

)

=tf

(

t

)dt0

在(0,+¥

)内为单调增加函数.证dxd0xtf

(t

)dt

=

xf

(

x),xdxd0f

(t

)dt=

f

(

x),(

)20xx

xf

(t

)dtxf

(

x)

f

(t

)dt

-

f

(

x)

tf

(t

)dtF

¢(

x)

=

0

0

200=xxf

(t

)dt

(

x

-

t

)

f

(t

)dtf

(

x)0\xf

(t

)dt

>

0,0\x(

x

-

t

)

f

(t

)dt

>

0,(

x

>

0).

f

(

x)

>

0, (

x

>

0)(

x

-

t

)

f

(t

)

>

0,\

F

(

x)

>

0故F

(x)在(0,+¥

)内为单调增加函数.xt0xfi

0x

sin

t

dt1、lim课堂：ln

20e

x

(1

+

e

x

)3

dx2、51+

sin

x

)dx3、(x

-20xf

(t

)dt在(0,2)内的表达式0

£

x

£

11

£

x

£

2

x

2

,4、设f

(x)=

x,,求F

(x)=223ninn

-

infi

¥

i

=11、limxdttx0sin

t1、limxfi

01sin

xxfi

0=

lim

x

=

1ln

20e

x

(1

+

e

x

)3

dx2、解：原式=ln

20(1

+

e

x

)3

d

(1

+

e

x

)ln

2041x

4=

(1

+

e

)414

41

65= ·

81

- ·16

=51+

sin

x

)dx3、(x

-2解：原式=21(2

-

x

+

sin

x)dx

+p2(

x

-

2

+

sin

x)dx+5p(

x

-

2

-

sin

x)dx2122(2=

(-

-

x)

-

cos

x)p222+

((

x

-

2)

-

cos

x)52p+

cos

x)(

x

-

2)2+

(12(p

-

2)229+

1+

1

+

cos

2

+ +

cos

5

-2(p

-

2)2=

-

cos

2

+ +

cos1+2=

cos1

+

co