任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨

任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六背景介绍论文主要思想与内容软件仿真与分析意义旋转矩阵法——求取复振幅（光强）报告内容B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨总结第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六对于夫琅禾费衍射这一话题，目前讨论最多的是夫琅禾费圆孔衍射、单缝衍射等等，很少见到正多边形孔夫琅禾费衍射一般情况的相关分析探讨。有一些文献资料上虽然也给出正多边形孔的夫琅禾费衍射图样，但都是通过对衍射孔进行傅里叶变换得到的，只是站在软件的角度考虑的，缺乏严格的数学推导。B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨1.背景介绍第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六已有文献仿真案例：clear%清除工作空间a=imread(c:\01.bmp);%读入绘制的小孔图片gridonfigure(1)imshow(a,[])%显示小孔图片afft=fft2(a);%快速傅里叶变换aabs=abs(afft);aabss=fftshift(aabs);figure(2)imshow(aabss,[])%显示小孔的衍射图colormap(jet);figure(3)plot(aabss)%绘制单孔衍射的光量等高线分布图figure(4)mesh(aabss)%绘制单孔衍射的3D图end仅仅站在软件的角度给出衍射图样，在物理意义的严格表达上有所缺陷B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨2.论文主要内容与思想第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.1主要思想与内容——理论基础首先，我们先给出夫琅禾费衍射振幅公式：

观察屏上的光强表达式为：

其中，指开孔平面上光的分布，其一般是均匀的，故通常为常数，这里用A表示。B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.2等腰三角形孔的夫琅禾费衍射公式推导B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.2等腰三角形孔的夫琅禾费衍射公式推导B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.3正多边形孔夫琅禾费衍射表达式推导B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.3.1讨论与验证——正三角形n=3，正三角形孔：B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.3.2讨论与验证——正四边形n=4，正方形孔：B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.3.3讨论与验证——正六边形n=6，正六边形孔：B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.3.4讨论与验证——圆形

当n趋于无穷时，可以猜测出这种情况就是圆孔的夫琅禾费衍射，其衍射公式为：B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六目前在大多数书中提及的matlab仿真图样一般局限于单缝、双缝或者圆孔等等常见的情形，很少有文献提及正多边形的夫琅禾费衍射图样。正三角形孔正四边形孔正六边形孔圆孔B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨3.软件仿真与分析第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六3.1正三角形孔衍射clearalla=0.00004;lmda=500e-9;f=10;H=a*sin(pi/3);x=-1:0.005:1;y=-1:0.005:1;fori=1:1:401forj=1:1:401X(i)=2*pi*x(i)/(tan(pi/3)*lmda*f);Y(j)=2*pi*y(j)/(lmda*f);I1(i,j)=(sin(0.5*H*(Y(j)-X(i))))^2/((Y(j)-X(i))^2+eps);I2(i,j)=(sin(0.5*H*(Y(j)+X(i))))^2/((Y(j)+X(i))^2+eps);I3(i,j)=2*cos(H*X(i))*(sin(0.5*H*(Y(j)-X(i))))*(sin(0.5*H*(Y(j)+X(i))))/(Y(j)*Y(j)-X(i)*X(i)+eps);I(i,j)=(4/(3*X(i)*X(i)+eps))*(I1(i,j)+I2(i,j)-I3(i,j));endendm=max(I(:));n=min(I(:));I0=(I-n)/(m-n);figure(1)imshow(I0)figure(2)mesh(I)B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期六3.2正四边孔衍射clearalla=0.00003;lmda=500e-9;f=6;k=lmda*lmda*f*f/(4*pi*pi);h=pi*a*tan(pi/3)/(lmda*f);x=-1:0.005:1;y=-1:0.005:1;fori=1:1:401forj=1:1:401A(i)=pi*a*x(i)/(lmda*f);B(j)=pi*a*y(j)/(lmda*f);I(i,j)=((sin(A(i)))/(A(i)+eps))^2*((sin(B(j)))/(B(j)+eps))^2;endend>>figure(1)>>imshow(I)>>figure(2)>>mesh(I)B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期六clearalla=0.00003;lmda=500e-9;f=10;k=lmda*lmda*f*f/(4*pi*pi);h=pi*a*tan(pi/3)/(lmda*f);x=-1:0.004:1;y=-1:0.004:1;fori=1:1:501forj=1:1:501E1(i,j)=2*x(i)*sin(h*x(i))*sin(h*y(j)*tan(pi/6))/((x(i)*x(i)-y(j)*y(j)/3)*y(j)+eps);E2(i,j)=-2*tan(pi/6)*(cos(h*x(i))*cos(h*y(j)*tan(pi/6))-cos(2*tan(pi/6)*h*y(j)))/(x(i)*x(i)-y(j)*y(j)/3+eps);E(i,j)=E1(i,j)+E2(i,j);I(i,j)=E(i,j)*E(i,j);endend>>figure(1)imshow(I)figure(2)mesh(I)3.3正六边形孔衍射B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期六3.4圆孔衍射clearallx=-1:0.005:1;y=-1:0.005:1;n=100;f=6;sita=2*pi/n;a=0.00003;lmda=500e-9;k=lmda*lmda*f*f/(-4*pi*pi);k=lmda*lmda*f*f/(-4*pi*pi);m=tan(sita/2);E=ones(0);forp=1:1:n-1fort=1:1:401forj=1:1:401E1(t,j)=(k/((x(t)+m*y(j))*y(j)))*(exp(-i*pi*a*(x(t)+m*y(j))/(m*lmda*f))-1)-(k/((x(t)-m*y(j))*y(j)))*(exp(-i*pi*a*(x(t)-m*y(j))/(m*lmda*f))-1);;endendE=E1+E;x=x*cos(sita)+y*sin(sita);y=-x*sin(sita)+y*cos(sita);endI=E*E;figure(1)imshow(I)figure(2)mesh(I)B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期六3.5衍射图样分析当正多边形的边数增加时，每组边的同级衍射明条纹会逐渐靠近，当边数趋于无穷时，应该是圆孔衍射的情形。正三角形孔衍射光强分布方向与对应边垂直，正六变形衍射光强分布方向与相对应的每组平行边垂直，从图中可以看出，正三角形和正六边形孔衍射的光强分布方向相同。观察屏上的衍射图样主要决定于衍射孔边缘的形状，当边缘形状一定时，观察屏上的光强分布在垂直与边缘方向上较强，看上去像是拖着一条亮尾巴。第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期六A.大幅度提高了运算速率t0=cputime;……pause(3);TimeCost=cputime-t0孔状正三角形孔正四边形孔正六边形孔FFT2.02801.76281.7316RM1.45080.81121.2464速率提高比39.78%117.30%38.93%4.意义x,y间隔均取为：x=-1:0.004:1;y=-1:0.004:1;fori=1:1:501forj=1:1:501第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期六代码一：x=-1:0.004:1;y=-1:0.004:1;fori=1:1:501forj=1:1:501E1(i,j)=2*x(i)*sin(h*x(i))*sin(h*y(j)*tan(pi/6))/((x(i)*x(i)-y(j)*y(j)/3)*y(j)+eps);E2(i,j)=-2*tan(pi/6)*(cos(h*x(i))*cos(h*y(j)*tan(pi/6))-cos(2*tan(pi/6)*h*y(j)))/(x(i)*x(i)-y(j)*y(j)/3+eps);E(i,j)=E1(i,j)+E2(i,j);I(i,j)=E(i,j)*E(i,j);endendB.提高了软件仿真成像的质量代码二：a=imread(c:\01.bmp);%读入绘制的小孔图片gridonafft=fft2(a);%快速傅里叶变换aabs=abs(afft);aabss=fftshift(aabs);figure(1)imshow(aabss,[])%显示小孔的衍射图第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六C.成像亮度可调x=-1:0.004:1;y=-1:0.004:1;fori=1:1:501forj=1:1:501…….TimeCost=0.8112x=-1:0.01:1;y=-1:0.01:1;fori=1:1:201forj=1:1:201……Timecost=0.6441第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六D.为任意图形衍射提供新的思路第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六1. 提出利用旋转矩阵法计算任意正多边形孔弗夫琅禾费衍射光强表达式的简便方法。2. 严格演算出正三角形孔和正六边形孔夫琅禾费衍射光强分布表达式。3. 极大程度上提高了计算机软件的仿真运算速率。4. 对后期研究任意多边形孔夫琅禾费衍射奠定理论基础。5. 作为一个物理课程的拓展案例，能使学生对夫琅禾费衍射有更深入的认识。B-C-024任意正多边形孔夫琅禾费衍射的分析探讨总结第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六[1]梁铨廷.物理光学[M].第三版，北京：电子工业出版社，2008.4.P173-175.[2]张三慧.大学物理学波动与光学