高中数学-函数的奇偶性教学课件设计

函数的奇偶性

在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称.

除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？

而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0观察函数f(x)=x2和f(x)=|x|图象：（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）填函数值对应表,它们是如何体现这些特征的？思考:x-3-2-10123f(x)=x2x-3-2-10123f(x)=|x|94101493210123-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4

f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2

f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x),这时我们称函数f(x)=x为偶函数。对于函数f(x)=x2同样我们也能说明函数f(x)=|x|也有同样结论.定义1

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如，函数都是偶函数，他们的图像分别如下图（1）、（2）所示观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题（1）这两个函数图象有什么共同特征？（2）填函数值对应表x-3-2-10123f(x)=xx-3-2-10123f(x)=-3-2-10123-1/1从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。例如：对于函数f(x)=x有：

f(-3)=-3=-f(3);f(-2)=-2=-f(2);f(-1)=-1=-f(1).实际上，对于函数f(x)=x定义域R内任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x).这时我们称函数f(x)=x为奇函数。同样我们也能说明函数f(x)=也是奇函数.。定义2

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。函数奇偶性的概念:

偶函数定义:

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),

那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:

如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.思考1（1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性.（2）如图，给出函数f(x)=x3+x

图像的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图像吗？因为对定义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)3+（-x）=-(x3+x)=-f(x),0xy解:对于函数f(x)=x3+x,其定义域为（-∞，+∞）.所以，函数

f(x)=x3+x为奇函数。......思考2：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R

但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数

f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1例1.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1(1)f(x)=x-

1x(3).f(x)=5(4)f(x)=0解:(3)f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:(4)定义域为R∵f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx说明:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。

(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x∈[-1,3]解:(5)∵f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1∴f(-x)≠f(x)

且f(-x)≠–f(x)∴f(x)为非奇非偶函数解:（6）∵定义域不关于原点对称

∴f(x)为非奇非偶函数ox-13y奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数

根据奇偶性,函数可划分为四类:用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。课堂练习.1根据下列函数图象,判断函数奇偶性.yxyxyxyxy课堂练习2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。3.判断下列函数的奇偶性：（偶函数）（奇函数）00yxf(x)yxg(x)............因为对定义域内的每一个x，都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),1解:对于函数f(x)=2x4+3x2,其定义域为（-∞,+∞),所以，函数

f(x)=2x4+3x2为奇函数。因为对定义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x),2解:对于函数f(x)=x3-2x,其定义域为（-∞,+∞）所以，函数

f(x)=x3-2x为奇函数。课堂小结1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，

①若有f(-x)=-f(x),则f(x)叫做奇函数；

②若有f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数。

2图象性质:奇函数的图象关于原点对称;

偶函数的图象关于y轴对称.3判断奇偶性方法：图象法，定义法。

4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提