线性代数行列式按行或列展开演示文稿

线性代数行列式按行或列展开演示文稿当前第1页\共有28页\编于星期二\13点（优选）线性代数行列式按行或列展开当前第2页\共有28页\编于星期二\13点数k乘行列式等于数k乘此行列式的某一行(列)

行列式D与它的转置行列式DT相等

某一行(列)的公因子可提到行列式符号的外面

互换行列式的两行(列)

行列式变号

行列式有两行(列)完全相同则此行列式等于零

行列式中有两行(列)元素成比例则行列式等于零.若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和则行列式等于两个行列式之和

把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应的元素上去行列式不变行列式8个性质知识点复习当前第3页\共有28页\编于星期二\13点三阶行列式的结构再思考1当前第4页\共有28页\编于星期二\13点方法分析

将行列式化为三角形是计算行列式的基本方法，我们感到低阶行列式更容易计算．自然地想到能否用低阶的行列式去表示高阶行列式．当前第5页\共有28页\编于星期二\13点§1.4行列式按行(列)展开一、行列式的展开定理二、用降阶法计算行列式当前第6页\共有28页\编于星期二\13点§1.4行列式按行(列)展开一、行列式的展开定理1、什么是行列式的余子式及代数余子式？当前第7页\共有28页\编于星期二\13点注1:

行列式的每个元素分别对应着一个余子式与一个代数余子式.注2:

行列式的某个元素的余子式与代数余子式,只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关.注3:余子式和代数余子式都是一个行列式。再例§1.4行列式按行(列)展开当前第8页\共有28页\编于星期二\13点三阶行列式的结构再思考2§1.4行列式按行(列)展开当前第9页\共有28页\编于星期二\13点三阶行列式的结构再思考2§1.4行列式按行(列)展开当前第10页\共有28页\编于星期二\13点引理一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积，即§1.4行列式按行(列)展开当前第11页\共有28页\编于星期二\13点定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

展开定理说明：

n阶行列式可表示为n个特殊的n-1阶行列式的代数和的形式；反过来，这种代数和的形式也可理解为一个n阶行列式。或§1.4行列式按行(列)展开当前第12页\共有28页\编于星期二\13点证明：设定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即或§1.4行列式按行(列)展开①式②式当前第13页\共有28页\编于星期二\13点①式证毕，同理可证②式当前第14页\共有28页\编于星期二\13点推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即或§1.4行列式按行(列)展开或证明见后。当前第15页\共有28页\编于星期二\13点推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或§1.4行列式按行(列)展开证明将行列式中第j行的元素换成第i行的元素，则得到一个有两行相同的行列式D1，且D1=0，再将D1按j行展开得

.同理，可证D1按列展开的情形.当前第16页\共有28页\编于星期二\13点关于代数余子式的重要性质:其中§1.4行列式按行(列)展开德尔塔当前第17页\共有28页\编于星期二\13点注：按行（列）展开计算行列式的方法称为降阶法.例1

试按第三列展开计算行列式解：将D按第三列展开，则有

其中当前第18页\共有28页\编于星期二\13点§1.4行列式按行(列)展开二、用降阶法计算行列式

直接应用行(列)展开法计算行列式，计算工作量较大，尤其是高阶行列式，因此，计算行列式时，可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素，再按此行(列)展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.当前第19页\共有28页\编于星期二\13点例2计算行列式

§1.4行列式按行(列)展开解：

当前第20页\共有28页\编于星期二\13点例3计算行列式

§1.4行列式按行(列)展开解：

当前第21页\共有28页\编于星期二\13点例4求证

§1.4行列式按行(列)展开当前第22页\共有28页\编于星期二\13点证：n阶当前第23页\共有28页\编于星期二\13点n-1阶当前第24页\共有28页\编于星期二\13点证毕。

n-1阶当前第25页\共有28页\编于星期二\13点

分析例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

一共有多少乘积项?所有后项减前项的乘积。§1.4行列式按行(列)展开当前第26页