辽宁省朝阳市建平县八家农场中学2021年高二数学文期末试卷含解析

辽宁省朝阳市建平县八家农场中学2021年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为()参考答案：C略2.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为(

)A．0 B．﹣2 C． D．﹣3参考答案：C【考点】一元二次不等式与二次函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．3.如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B略4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程和相关系数，分别得到以下四个结论：①y=2.35x－6.42,r=－0.93

②y=－3.47x+5.56,r=－0.95③y=5.43x+8.49,r=0.98

④y=－4.32x－4.58,r=0.89其中，一定不正确的结论序号是（

）A．②③

B．①④

C．①②③

D．②③④参考答案：B5.已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.设A：，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．m＜l B．m≤1 C．m≥1 D．m＞1参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先化简集合A，利用B是A成立的必要不充分条件，可得A?B，从而可求m的取值范围．【解答】解：集合A可化为A=（0，1），集合B=（0，m）∵B是A成立的必要不充分条件∴（0，1）?（0，m）∴m＞1故选D．【点评】本题以集合为载体，考查四种条件，考查集合的包含关系，利用B是A成立的必要不充分条件，得A?B是解题的关键．7.复数z=在复平面内对应的点所在象限为 （

）

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C8.曲线y=x?ex在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线y=x?ex，可得y′=ex+xex，曲线y=x?ex在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．9.已知是函数的导函数，将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据的正负与单调性间的关系，即可逐项判断出结果.【详解】因为是函数的导数，时，函数单调递增；时，函数单调递减；A中，直线对应，曲线对应时，能满足题意；B中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；C中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；D中，无论轴上方曲线或轴下方曲线，对应时，都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然D不满足题意.故选D【点睛】本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型.10.如右图所示，直线的斜率分别为，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）。若直角三角形中较小的锐角为a。现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则_____________。

参考答案：【分析】设正方形边长为，可得出每个直角三角形的面积为，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为，可求出，由得出并得出的值，再利用降幂公式可求出的值.【详解】设正方形边长为，则直角三角形的两条直角边分别为和，则每个直角三角形的面积为，由题意知，阴影部分正方形的面积为，所以，四个直角三角形的面积和为，即，由于是较小的锐角，则，，所以，，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出和的值，并通过二倍角升幂公式求出的值，考查计算能力，属于中等题。12.集合{a，b，c}的所有真子集为

。

参考答案：、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}

略13.已知集合，，若，则a的取值范围是_____________．参考答案：【分析】因为，所以，建立不等关系即可求出的取值范围。【详解】因为，所以由已知集合，所以当时，满足题意，此时，即当时，要使成立，则，解得综上的取值范围是【点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题。14.右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为

▲

．S←9i←1While

S≥0

S←Sii←i1End

WhilePrint

i

参考答案：515.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_________（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．参考答案：略16.不等式ax2＋bx－1＞0的解集是，则实数b的值为

；参考答案：略17.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案．（用数字作答）参考答案：21【考点】计数原理的应用．【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中,已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积;（2）设斜率为1的直线交于P、Q两点,若与圆相切,求证:OP⊥OQ;（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.参考答案：解：（1）双曲线,左顶点,渐近线方程:.过点A与渐近线平行的直线方程为,即.解方程组,得

所求三角形的面积为

(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,即

由,得.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则.又,所以,故OP⊥OQ

(3)当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.由,得,所以.同理设O到直线MN的距离为d,因为,所以,即d=.综上,O到直线MN的距离是定值。略19.(本小题满分12分）数列满足：，(Ⅰ)写出，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；（Ⅱ）求证：参考答案：（Ⅰ），猜想证明：①当时，，猜想成立；②假设当时猜想成立，即那么，，所以当时猜想也成立由①②可知猜想对任意都成立，即（Ⅱ）证明：即证由均值不等式知：，则20.观察下列等式：1=1

第一个式子2+3+4=9

第二个式子3+4+5+6+7=25

第三个式子4+5+6+7+8+9+10=49

第四个式子照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．参考答案：【分析】（Ⅰ）利用条件直接写出第5个等式．（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．【解答】解：（Ⅰ）第5个等式5+6+7+…+13=92；

（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2，）再用数学归纳法加以证明如下：（1）当n=1时显然成立；）（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2，那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1），=（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1），=（2k﹣1）2+（2k﹣1）+3k+3k+1，=4k2﹣4k+1+8k，=[2（k+1）﹣1]2，而右边=[2（k+1）﹣1]2这就是说n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．21.已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．参考答案：（Ⅰ）因故

由于在点处取得极值。故有

…………2分即，化简得

…………1分解得