广东省汕尾市莲花山中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

广东省汕尾市莲花山中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是关于的方程的两个根，则

A. B． C. D．参考答案：C2.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y＝2x－2

B.y＝()x

C.y＝log2x

D.y＝(x2－1)参考答案：D3.在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则?的值为(

)A．1 B．﹣1 C． D．﹣参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用数量积公式则?=||?||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则?=||?||COS60°=2×1×=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．4.在数列中，，若数列为等差数列，则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C6.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（

）A.

B.｛x|2＜x＜3｝

C.｛x|1＜x＜3｝

D.｛x|0＜x＜3｝参考答案：B7.已知直线1：x+y-3=0，椭圆，则直线与椭圆的位置关系式（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交参考答案：A略8.设集合，，则A∩B=(

)．A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.[1,3] D.[0,3]参考答案：A【分析】对集合用列举法进行表示，对集合用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出.【详解】因为，，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法.本题易错的地方是认为自然数集不包括零.解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识.9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则与的夹角大小为

．参考答案：12.若则的值为

.参考答案：2

略13.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为

.参考答案：14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则Sn=

。参考答案：44

略15.如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列三个命题：（1）CD⊥PE

（2）EF∥平面ABC1（3）V=V其中正确命题的个数有．参考答案：①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据标榜的结构特征，结合线面垂直的判定与性质，面面平行的判定与性质，锥体的体积公式等知识点，分别判断3个结论的真假，可得答案．【解答】解：由CD⊥平面BCC1B1，PE?平面BCC1B1，故①CD⊥PE正确；连接ED1，则EF∥BD1，故EF∥平面ABC1D1，故②EF∥平面ABC1正确；③V=，V=，故③V=V正确；故正确命题的序号为：①②③，故答案为：①②③．16.已知，对于U，V，表示U，V中相对应的元素不同的个数。（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在，使得=2。则m=

；（2）令，若之和为

参考答案：10，17.等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．参考答案：5【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.参考答案：本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．KS5U（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为

X0123P

随机变量X的数学期望．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．

19.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P（1，）及点A，B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）当△PAB的面积取得最大时，求△PAB的重心坐标．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解得a2=4，b2=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）设AB的方程为y=﹣x+t，代入椭圆方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，求得△=3（4﹣t2），运用韦达定理和弦长公式求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离为d，求得S△PAB．由此能求出△PAB的最大值和重心坐标．【解答】解：（1）由e==，a2﹣b2=c2，P在椭圆上，可得+=1，解得a2=4，b2=3，椭圆方程为+=1；设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=m，得（x1+x2﹣2，y1+y2﹣3）=m（1，），即，又+y12=1，+y22=1，两式相减得kAB==﹣?=﹣?=﹣；（2）设AB的方程为y=﹣x+t，代入椭圆方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，x1+x2=t，x1x2=t2﹣3，△=3（4﹣t2），|AB|=?=?，点P到直线AB的距离为d=，S△PAB=d|AB|=|2﹣t|?=（﹣2＜t＜2）．令f（t）=3（2﹣t）3（2+t），则f’（t）=﹣12（2﹣t）2（t+1），由f’（t）=0得t=﹣1或2（舍），当﹣2＜t＜﹣1时，f’（t）＞0，当﹣1＜t＜2时f’（t）＜0，所以当t=﹣1时，f（t）有最大值81，即△PAB的面积的最大值是；

根据韦达定理得x1+x2=t=﹣1，而x1+x2=2+m，所以2+m=﹣1，得m=﹣3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，因此△PAB的重心坐标为（0，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线斜率的计算，注意运用点差法，考查当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．20.冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值参考答案：（1），（，且）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.【分析】（1）由题设可知，的所有可能取值为1，，求，再根据,求；（2）（ⅰ）当时，，∴，令，则，利用数学归纳法证明；（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再设函数（），利用函数的单调性求的最大值.【详解】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然成立；②假设对任意的时，，下面证明时，；由题意，得，∴，∴，，∴，.∴或（负值舍去）.∴成立.∴由①②可知，为等比数列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.设（），，∴当时，，即在上单调减.又，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.【点睛】本题考查概率，函数，数列，数学归纳法证明的综合问题，本题对学生的能力要求较高，属于难题，重点考查学生分析问题和解决问题的能力.21.（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，是一个长方体，是一个四棱锥，其中，点平面且，（Ⅰ）在棱（含端点）上能否找到一点,使得∥平面,并请说明理由；

（Ⅱ）求该几何体的表面积.参考答案：解：