2020-2021学年河南省郑州市七年级(下)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．（﹣2a）2•a3＝4a5 D．x4÷x4＝02．小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC3．某校歌咏比赛，七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（）A． B． C． D．4．如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形应该是（）A． B． C． D．5．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm6．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）7．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的是（）A．BC是△BCD的高 B．DE＝BC C．∠CEB＝∠ABC D．DE是△ACD的高8．数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是（）已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；（2）分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由⊕．A．♡表示“OD＝OE” B．☺表示“大于DE的长” C．☆表示“SAS” D．⊕表示“全等三角形的对应角相等”9．有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．1610．如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2 B．34cm2 C．36cm2 D．38cm2二、填空题（每小题3分，共15分）11．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝m．（1nm＝10﹣9m）12．如图，AE∥CD，若∠1＝37°，∠DAC＝89°，则∠BAE的度数＝°．13．在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为平方厘米．14．定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝．15．如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是．三、解答题（共55分）16．先化简，再求值：（2x3y+xy3）÷（xy）﹣（2x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣．17．如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东65°方向到补给地B，从补给地B沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短．小明解释理由如下，请你填空．因为CD⊥BC（已知），所以∠C＝90°（），且CD最短．因为AE∥BF（已知），所以∠A+＝180°（）．因为∠A＝65°，所以∠ABF＝180°﹣∠A＝115°．因为∠CBF＝25°（已知），所以∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝90°．所以∠C＝∠ABC（）．所以CD∥（）．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有直线l和线段AB（点A、点B在格点上）．（1）作出线段AB关于直线l对称的线段A′B′；（2）请在直线l上找到一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不写作法）；（3）在（2）的条件下，若点P到AB的距离为d1，点P到A′B′的距离为d2，则d1d2（填“＞”、“＜”或“＝”）．19．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：掷小石子所落的总次数（小石子所落的有效区域内，含边界）m50150300600…小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n103578149…n：m0.2000.2330.2570.248…（1）根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为（精确到0.01）；（2）当掷小石子所落的总次数m＝1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为；A.105B.249C.518D.815（3）请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米？20．【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度．【数学建模】将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理．如图，如果AB⊥CD于点A，，那么AC＝AD．【问题解决】说明AC＝AD的理由．21．如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿斜坡DC滚下，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0，…往返运动至小球停止．（在同一段路程中，路程S＝v平均•t，v平均＝）（1）下面的表格记录了小球第一次从点A向点D运动时，速度v与时间t的关系；那么在3s到5s之间速度v与时间t的关系式为；时间t（s）00.51233.544.556速度v（m/s）012465.554.540（2）根据表格中的数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2，则图2中的点E表示的实际意义是什么？（3）求小球第一次在斜坡CD上滚动的最大距离．22．（1）如图1，两条线段AD与BC相交于点O，如果∠B＝∠D，那么∠A与∠C的数量关系是，依据是；（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB，在点C的右侧取一点E，作∠BEF＝∠ACB，射线EF交边AC于点F，交边BC于点O，BE与EF的数量关系是，请说明理由（提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．（﹣2a）2•a3＝4a5 D．x4÷x4＝0解：A、原式＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式＝8a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式＝4a5，原计算正确，故此选项符合题意；D、原式＝1，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．2．小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC解：由OA＝OB只能得出O是AB的中点，故A选项错误，由OC＝OD只能得出O是CD的中点，故B选项错误，∠AOC和∠BOD是对顶角，始终是相等的，故C选项错误，∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故选项D正确，故选：D．3．某校歌咏比赛，七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（）A． B． C． D．解：∵七年级共有8个班，∴七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为．故选：B．4．如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形应该是（）A． B． C． D．解：根据要求动手操作可知，得到的图形是选项A．故选：A．5．下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；故选：B．6．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．7．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的是（）A．BC是△BCD的高 B．DE＝BC C．∠CEB＝∠ABC D．DE是△ACD的高解：A．△BCD中BC是斜边，故A错误，不符合题意；B．DE∥BC，但DE≠，故B错误，不符合题意；C．∵∠CEB＝∠A+∠ABE，∠ABC＝∠CBE+∠ABE，而∠A＝∠BCD，∠BCD≠∠CBE，∴∠CEB≠∠ABC，故C错误，不符合题意；D．DE是△ACD的高，故D正确，符合题意．故选：D．8．数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是（）已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；（2）分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由⊕．A．♡表示“OD＝OE” B．☺表示“大于DE的长” C．☆表示“SAS” D．⊕表示“全等三角形的对应角相等”解：作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE＝OD，（2）分别以点D，E为圆心、以大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．故选：C．9．有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．16解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2﹣4ab＝35，即a2+b2＝2ab+35①，由图2可得，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝102，即a2+b2＝51②，由①②得，2ab+35＝51，所以ab＝8，即长方形的面积为8，故选：B．10．如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2 B．34cm2 C．36cm2 D．38cm2解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，由三角形面积公式得：y＝×10×AB＝30，解得AB＝6，∴AE＝＝＝8，由图②可知当x＝12时，点P到达点C，点P在D、E之间，∴BC＝12，∴y＝a＝×BC×AB＝×12×6＝36，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．二氧化碳是一种碳氧化合物，分子直径约为0.35～0.51nm，用科学记数法表示0.35nm＝3.5×10﹣10m．（1nm＝10﹣9m）解：0.35nm＝0.35×10﹣9m＝3.5×10﹣10，故答案为：3.5×10﹣10．12．如图，AE∥CD，若∠1＝37°，∠DAC＝89°，则∠BAE的度数＝54°．解：在△ACD中，∠1＝37°，∠DAC＝89°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠1＝54°，∵AE∥CD，∴∠BAE＝∠D＝54°，故答案为：54．13．在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为24平方厘米．解：如下图所示：所求面积为：①②③④这四部分的面积之和＝＝24（平方厘米）．故答案为：24．14．定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝0.6或1.25．解：当AB腰时，则底边＝3cm；此时，优美比k＝＝0.6；当AB为底边时，则腰为4；此时，优美比k＝＝1.25；故答案为0.6或1.25．15．如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是．解：过D作DM'⊥AC于M'，连接DM，如图：长方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，∴S△ADC＝AD•CD＝AC•DM'，∴DM'＝＝，∵M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，∴DM1＝DM＝DM2，∴M1M2＝2DM，线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与M'重合，M1M2最小值为2DM'＝．故答案为：．三、解答题（共55分）16．先化简，再求值：（2x3y+xy3）÷（xy）﹣（2x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣．解：原式＝2x3y÷xy+xy3÷xy﹣（4x2﹣4xy+y2）＝4x2+y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4xy，当x＝2，y＝﹣时，原式＝4×2×（﹣）＝﹣4．17．如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东65°方向到补给地B，从补给地B沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短．小明解释理由如下，请你填空．因为CD⊥BC（已知），所以∠C＝90°（垂直的定义），且CD最短．因为AE∥BF（已知），所以∠A+∠ABF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠A＝65°，所以∠ABF＝180°﹣∠A＝115°．因为∠CBF＝25°（已知），所以∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝90°．所以∠C＝∠ABC（等量代换）．所以CD∥AB（内错角相等，两直线平行）．解：因为CD⊥BC（已知），所以∠C＝90°（垂直的定义），因为AE∥BF（已知），所以∠A+∠ABF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），因为∠A＝65°，所以∠ABF＝180°﹣∠A＝115°，因为∠CBF＝25°（已知），所以∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝90°，所以∠C＝∠ABC（等量代换），所以CD∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；∠ABF；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AB；内错角相等，两直线平行．18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有直线l和线段AB（点A、点B在格点上）．（1）作出线段AB关于直线l对称的线段A′B′；（2）请在直线l上找到一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不写作法）；（3）在（2）的条件下，若点P到AB的距离为d1，点P到A′B′的距离为d2，则d1＝d2（填“＞”、“＜”或“＝”）．解：（1）如图，A′B′为所作；（2）如图，点P为所作；（3）d1＝d2．故答案为＝．19．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看成点），记录如下：掷小石子所落的总次数（小石子所落的有效区域内，含边界）m50150300600…小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n103578149…n：m0.2000.2330.2570.248…（1）根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25（精确到0.01）；（2）当掷小石子所落的总次数m＝1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为；A.105B.249C.518D.815（3）请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米？解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25，所以如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；故答案为：0.25；（2）当掷小石子所落的总次数m＝1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能为1000×0.25＝250，只有249比较接近，故答案为：B；（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.25，解得：a＝1，估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米．20．【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度．【数学建模】将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理．如图，如果AB⊥CD于点A，∠ABC＝∠ABD，那么AC＝AD．【问题解决】说明AC＝AD的理由．解：如果AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD，那么AD＝AC．理由如下：∵AB⊥CD，∴∠BAD＝∠BAC，在△ABC与△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC＝AD，故答案为：∠ABC＝∠ABD．21．如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿斜坡DC滚下，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0，…往返运动至小球停止．（在同一段路程中，路程S＝v平均•t，v平均＝）（1）下面的表格记录了小球第一次从点A向点D运动时，速度v与时间t的关系；那么在3s到5s之间速度v与时间t的关系式为v＝﹣t+9；时间