原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第五章 第2讲 等差数列配套课件

第2讲等差数列课标要求考情分析1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系1.对高考常考的等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等概念要记熟记准，并能熟练应用.2.掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法.3.平常学习过程中，能通过题目强化对基础知识的认识、理解和应用，以便解决与其他章节有联系的题目

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母______表示.d

2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中项4.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝___________5.等差数列的前n项和公式与函数的关系6.等差数列的常用性质(1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p是常数)都是等差数列.(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列.

(5)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列单调递增；若公差d<0，则数列单调递减；若公差d＝0，则数列为常数列.7.等差数列的最值小

在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn

存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn

存在最______值.题组一走出误区1.(多选题)下列命题正确的是()

A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列

B.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的

C.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数

D.若{an}是等差数列，公差为d，则数列{a3n}也是等差数列解析：对于A，同一个常数.

对于B，因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数列，所以命题正确.对于C，常数列的前n项和公式为一次函数.

对于D，因为{an}是等差数列，公差为d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(与n值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列.故选BD.答案：BD题组二走进教材2.(必修5P67A组第1题改编)在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，an＝298，则n＝()A.99B.100C.96D.101

解析：

a1＝1，d＝3，an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝298，n＝100.

答案：B答案：A题组三真题展现4.(2018年全国Ⅰ)设

Sn为等差数列{an}的前

n项和，若

3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12

解析：

3S3＝S2＋S4⇒3a1＋2d＝0，∴d＝－3，a5＝a1＋

4d＝2－12＝－10.故选B.

答案：B

5.(2020年全国Ⅱ)记

Sn为等差数列{an}的前

n项和.若

a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝__________.

解析：∵{an}是等差数列，且a1＝－2，a2＋a6＝2， 设等差数列{an}的公差为d， 根据等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d， 可得a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，整理可得6d＝6，解得d＝1，∴S10＝25.故答案为25.答案：25考点1等差数列的基本运算自主练习1.(2017年全国Ⅰ)记

Sn为等差数列{an}的前

n项和，若

a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8

解析：方法一，设公差为d，

a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝

2a1＋7d＝24，答案：CC.Sn＝2n2－8n2.(2019年全国Ⅰ)记

Sn为等差数列{an}的前

n项和.已知

)S4＝0，a5＝5，则( A.an＝2n－5B.an＝3n－10

解析：

S4＝4a1＋6d＝0，a5＝a1＋4d＝5，∴a1＝－3，d＝2，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝－3n＋n(n－1)

2×2＝n2－4n.故选A.

答案：A

3.(2020年新高考Ⅰ)设将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.

解析：因为数列{2n－1}是以

1为首项，以

2为公差的等差数列， 数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为n·1＋n(n－1)

2·6＝3n2－2n.答案：3n2－2n4.(多选题)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn

，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是()A.a10＝0C.S7＝S12B.S10

最小D.S19＝0

解析：∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，

∴a1＋9d＝0即a10＝0，A正确； 当d<0时，Sn

没有最小值，B错误；

S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；S19＝(a1＋a19)×19 2＝19a10＝0，D正确.故选ACD.答案：ACD

【题后反思】在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.考点2等差数列的基本性质及应用师生互动[例1](1)(2016年四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为

Sn，若

S10＝1，S30＝5，则

S40＝(

)A.7B.8C.9D.10解析：方法一，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

答案：B

(2)在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.

解析：由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.答案：10

(3)(2020年大数据精选模拟卷)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”()A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤

解析：原问题等价于等差数列中，已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值，由等差数列的性质可知：a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝a1＋a5

2＝3，则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤.本题选择D选项.

答案：DA.2B.3C.4D.14

因此，正整数n的可能取值有2，4，14.

故选ACD.

答案：ACD【题后反思】(1)利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列.

(4)可以把an

与Sn

结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.

【考法全练】

(2020年全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛(图

5-2-1)为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()图5-2-1A.3699块C.3402块B.3474块D.3339块

解析：设第n环天石心块数为an，第一层共有n环， 则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，27(9＋9×27)

设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多729块， 所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即3n(9＋27n)

2－2n(9＋18n)

2＝2n(9＋18n)

2－n(9＋9n)

2＋729，即9n2＝729，解得n＝9，所以S3n＝S27＝2＝3402.故选C.答案：C考点3等差数列前n项和的最值问题多维探究

[例2](1)(2014年北京)若等差数列{an}满足

a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.

解析：由等差数列的性质，及a7＋a8＋a9＝3a8，得a8＞0. ∵a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0. ∴a9＜0.∴公差d<0.故数列{an}的前8项和最大.

答案：8

(2)(2019年北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn

的最小值为________.

解析：等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2.

又a2＝－3，∴公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.

由等差数列{an}的性质得

n≤5时，an≤0；n≥6时，an>0， ∴Sn的最小值为S4

或S5，即为－10.答案：0－10

(3)(2013年全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn

，已知S10＝0，S15＝25，则nSn

的最小值为________.

解析：设等差数列{an}的首项为

a1，公差为

d，由等差数列前n项和公式可得答案：－49n(a1＋an)【题后反思】设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝2或Sn＝na1＋n(n－1)

2d.【考法全练】(2019年北京)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn

的最小值.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋10，a3

＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3

＋8)2

＝(a2＋10)(a4＋6)，即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.(2)方法一，由(1)知an＝2n－12，当n＝5或者n＝6时，Sn取到最小值－30.

所以当n＝5或者n＝6时，Sn取到最小值S5＝S6

＝25－55＝－30.

⊙利用函数的思想求等差数列的最值

[例3](2019年北京海淀模拟)等差数列{an}中，设

Sn为其前n项和，且

a1>0，S3＝S11，则当

n为多少时，Sn最大？

解：方法一，由

S3＝S11，得

方法二，由于Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn

最大.方法四，由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11

可知d<0，∴a7>0，a8<0，∴当n＝7时，Sn

最大.

【策略指导】求等差数列前n项和的最值常用的方法：①利用等差数列的性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质或图象求最值.d，

【高分训练】

在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝_______，S