原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积配套课件

第2讲

空间几何体的表面积和体积课标要求考情分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式从近几年的高考试题来看，本部分内容是高考的必考内容，考查形式可以是直接求几何体的面积和体积，也可以是根据几何体的体积、面积求某些元素的量，与三视图相结合求几何体的面积、体积是课改以来高考的热点，在备考时应予以重视.同时要特别注意内切球与外接球相关的计算问题，全国卷多年都有考查1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2πrh(续表)4πR22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形，它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：包括等面积法和等体积法.

(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了通过具体作图得到三角形或三棱锥的高，而通过直接计算得到高的数值.题组一走出误区1.(多选题)下列结论正确的是()A.多面体的表面积等于各个面的面积之和B.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差C.已知球O的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则

D.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS

答案：ABC题组二走进教材2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()答案：B

3.(必修2P28

练习2改编)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a，则球的体积为________.题组三真题展现4.(2020年天津)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π

解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，所以，这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选C.答案：C

5.(2020年浙江)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为________.

解析：设圆锥底面半径为

r，母线长为l，则答案：1考点1几何体的面积自主练习

1.(2017年全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.答案：14π

3.(2018年全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()答案：B

4.某大学生带领团队研发了一款绿色饮料，包装容器如图8-2-1所示，容量为500mL，容器由瓶盖及瓶身下部2个圆柱体，和瓶身上部一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积.则该容图8-2-1解析：由题知该容器由2个圆柱体和一个圆台组成，但瓶盖部分不计入容积，答案：396

【题后反思】求该几何体的表面积时，先要确定该几何体的结构特征，再利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面的面积.考点2几何体的体积师生互动

[例1](1)(2020年江苏)如图8-2-2，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.

图8-2-2

(2)(2020年新高考Ⅱ)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A­NMD1的体积为____________.

解析：如图

8-2-3，因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点.

图8-2-3答案：13

(3)(2018年全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________.答案：8π

(4)(2018年江苏)如图8-2-4，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

图8-2-4

答案：43

(5)(多选题)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图8-2-5，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其

下0.02cm3

的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是()图8-2-5A.沙漏中的细沙体积为1024π 81cm3B.沙漏的体积是128πcm3C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD.该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)

解析：根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，故选ACD.答案：ACD算.另外不要忘了锥体体积公式中的

.

【题后反思】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计【考法全练】

(2019年全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图8-2-6，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.图8-2-6

又长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144cm3，

所以该模型的体积为V＝V2－V1＝144－12＝132cm3，

其质量为0.9×132＝118.8g.答案：118.8考点3立体几何中的折叠与展开多维探究

[例2](2017年全国Ⅰ)如图8-2-7，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________.图8-2-7解析：如图8-2-8，设正三角形的边长为x，则图8-2-8

【考法全练】

1.(2020年押题导航卷)如图8-2-9所示，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△DAH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当正方形ABCD的边长为________cm时，四棱锥体积最大.图8-2-9

解析：连接OG交CD于点M，则OG⊥DC，点M为CD的中点， 连接OC，△OCM为直角三角形，

设正方形的边长为2x，则OM＝x，由圆的半径为4，则MG＝4－x，

设E，F，G，H重合于点P，则PM＝MG＝4－x>x，则0<x<2，答案：16 5

2.(2018年广东阶段性测评)一块边长为6cm的正方形铁皮按如图8-2-10(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图8-2-10(2)放置.若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积(单位：cm3)为()(1)

(2)图8-2-10

解析：由题和图D63(1)可知，PM＋PN＝6(cm)，且PM＝PN.(1)(2)图D63cm，PM＝

由△PMN为等腰直角三角形，得MN＝33cm.如图D63(2)设MN的中点为O，则PO⊥平面ABCD，答案：D

⊙组合体的相关运算

[例3]Rt△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c(其中c为斜边)，分别以a，b，c边所在的直线为旋转轴，将△ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是V1，V2，V3，则()答案：D【高分训练】

(2019年全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”如图8-2-11(1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图8-2-11(2)是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为