第一课时基本不等式

第二章2.2

基本不等式第一课时 基本不等式课标要求素养要求通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a>0，b>0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.重要不等式对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.2.算术平均数与几何平均数给定两个正数a，b，数a＋b2称为a，b

的算术平均数；数ab称为a，b

的几何平均数.3.基本不等式(1)基本不等式如果a，b

都是正数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b

时，等号成立，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(1)“当且仅当”的含义：①当a＝b

时取等号，即a＝b⇒a＋b2＝

ab；②仅当a＝b

时取等号，即a＋b2＝

ab⇒a＝b.(2)基本不等式可变形为

a＋b≥2

ab，ab≤2a＋b2

.点睛点睛(2)基本不等式的证明法一(比较法)

因为

a，b

都是正数，所以a＋b2—

ab＝a＋b－2

ab＝（

a－

b）22

2≥0，即a＋b22≥

ab.而且，等号成立时，当且仅当(

a－

b)

＝0，即

a＝b.法二(几何法)

如图，AB

是圆的直径，点C

是AB

上的一点，且AC＝a，BC＝b.过点C

作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，由图形可以看出基本不等式ab≤a＋b2的几何解释.易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2＝CA·CB，即CD＝

ab.这个圆的半径为a＋b

a＋b2

2，显然，它大于或等于

CD，即

≥

ab.其中当且仅当点C

与圆心重合，即a＝b

时，等号成立.因此，基本不等式ab≤a＋b2的几何意义是“半径不小于半弦”.1.思考辨析，判断正误×(1)a＋b2≥ab对任意实数a，b

都成立.()提示

只有当

a>0

且

b>0

时，a＋b2≥ab才能成立.(2)若a>0，b>0

且a≠b，则a＋b>2ab.(

)√(3)若a>0，b>0，则ab≤2a＋b2

.(

)

√2.下列不等式成立的是(

A

)A.ab≤B.ab≥a2＋b2

a2＋b22

2C.a＋b≥2

ab

D.a＋b≤2

ab解析

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤a2＋b22，故选A.3.(多选题)若a>b>0，则下列不等式成立的是(ABD

)A.2>

ab

B.

2aba＋b<a＋b

a＋b2C.

2aba＋b>a＋b22abaD.

ab>

＋b解析

由

a>b>0，得

ab<a＋b2，22

aba＋b即

>

ab，所以a＋b

<1，a＋b即2ab

<ab，故选ABD.4.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是

③

(填序号).b

a①a＋b≥2；②a－b≥2

ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.解析

根据a2＋b22≥ab，a＋b2≥ab成立的条件判断，知①②④错，只有③正确.课堂互动题型剖析2题型一 与基本不等式有关的比较大小问题【例1】A.a<b<

ab<a＋b

a＋b2

2B.a<

ab<

<bC.a<

ab<b<a＋b

a＋b2

2D.

ab<a<

<b设0<a<b，则下列不等式中正确的是(

B

)∵0<a<b，∴a<a＋b2<b，排除A，C

两项.解析

法一又

ab－a＝

a(

b－a)>0，即ab>a，排除D

项，故选B.法二

取

a＝2，b＝8，则

ab＝4，a＋b2＝5，所以

a<

ab<a＋b2<b.利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.思维升华思维升华【训练1】比较大小：x2＋2x2＋12(填“>”“<”“≥”或“≤”).≥解析x2＋2

1

2

2x

＋1

x

＋1＝

x2＋1＋

≥2x2＋1当且仅当

x2＋1＝

1

.即

x＝0

时，等号成立.题型二

用基本不等式证明不等式角度

1

无附加条件的不等式证明a2

b2

c2【例

2－1】

已知

a，b，c>0，求证：

b

＋

c

＋

a

≥a＋b＋c.a2证明

∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得b

＋b≥2a，b2

c2c

＋c≥2b，

a

＋a≥2c，a2

b2

c2a2

b2

c2∴

b

＋

c

＋

a

＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c故b

＋c

＋a

≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c

时，等号成立.角度

2

有附加条件的不等式证明1

1

1【例

2－2】

已知

a，b，c

为正数，且

a＋b＋c＝1，证明：a＋b＋c≥9.1

1

1证明

a＋b＋c＝a

b＋

＋a＋b＋c

a＋b＋c

a＋b＋cc

＝3＋b

a＋c＋a＋c

ba＋b

a

c

b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c1＝3时，等号成立.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.思维升华思维升华【训练2】已知

a，b，c

是全不相等的正实数，求证：a＋b＋c－a

a＋c－bb＋a＋b－cc>3.b

a

c

a

c

bb

a

c

a

c

bb

c

c

a

a

b证明

因为

a，b，c

全不相等，所以a与b，a与c，b与c全不相等，所以a＋b>2，a＋c>2，b＋c>2，三式相加得，a＋a＋b＋b＋c＋c>6，

b

c

ac

a

b所以a＋a－1＋b＋b－1＋c＋c－1>3，即a

b＋

＋b＋c－a

a＋c－b

a＋b－cc>3.题型三

利用基本不等式直接求最值x＋解

∵x>012，∴

x

>0，4x>0.∴1212x

＋4x≥2

x

·4x＝8

3.x当且仅当12

4x，即

x＝

3时取最小值

8

3，＝12∴当

x>0

时，x

＋4x

的最小值为

8

3.12(2)当x<0

时，求x

＋4x

的最大值；解

∵x<0，∴－x>0.则

12

＋(－4x)≥2

12

·（－4x）＝8

3，－x

－x－x当且仅当

12

＝－4x

时，即x＝－

3时取等号.∴12x

＋4x≤－8

3.12∴当

x<0

时，

x

＋4x

的最大值为－8

3.x(x>04x

a

a＋x≥2

4x·x＝4

a，a当且仅当4x＝x，即a＝4x2＝36

时取等号，∴a＝36.在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.思维升华思维升华【训练3】A.16B.25

C.9

D.36解析

因为x>0，y>0，且x＋y＝8，已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(

B

)所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2x＋y2

＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4

时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.课堂小结课堂小结1.利用基本不等式：ab≤a＋b2解决问题注意其应用前提条件是a>0，b>0.22.两个不等式

a2＋b2≥2ab

与a＋b≥

ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b

时，a＋b2＝

ab；另一方面：当a＋b2＝

ab时，也有a＝b.分层训练素养提升3一、选择题

41.不等式

a2＋a2≥4

中，等号成立的条件是(

D

)A.a＝4C.a＝－

2B.a＝

2D.a＝±

2解析

此不等式等号成立的条件为

a2

4＝a2，即a＝±2，故选D.A.s≥tC.s≤tB.s>tD.s<t解析

∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.2.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(

A

)3.已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(

D

)A.a2＋b2

B.2

abC.2ab

D.a＋b解析

因为0<a<1，0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，所以2ab<a2＋b2<a＋b.又因为

a＋b>2

ab(因为

a≠b)，所以a＋b

最大，故选D.4.(多选题)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(

ACD

)

A.a2＋1>a

B.a2＋9>6aC.(a＋b

1＋1≥4

D.a＋1b＋1≥4)a

b

a

b

1232

2解析

设

a>0，b>0，因为

a

＋1－a＝a－2

＋4>0，所以

a

＋1>a，故

A

成立；因为a2＋9－6a＝(a－3)2，当a＝3

时，B

不成立；

1＋1因为(a＋b)a

b＝1＋a＋b＋b

a b

a1≥2＋2

a·b＝4，b

a当且仅当a＝b，即a＝b

时取等号，故C

成立；1

1

1

1因为a＋a≥2，b＋b≥2，所以a＋ab＋b≥4，当且仅当a1

1＝a，b＝b，即a＝b＝1

时取等号，故D

成立.故选ACD.5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(

A

)C.

ab<v<a＋b2D.v＝A.a<v<

ab

B.v＝

aba＋b2则

v＝

2s

＝2s＋s

1＋1a

b

a

b.1

1

2解析

设甲、乙两地的距离为s，由于a<b，∴a＋b<a，∴v>a，1

1

1

又a＋b>2

ab，∴v<

ab.故a<v<ab，选A.二、填空题x<y6.已知

a，b

是不相等的正数，x＝

a＋

b2，y＝

a＋b，则

x，y

的大小关系是.解析x2＝a＋b＋222ab

a＋b＋a＋b，y2＝a＋b＝

.∵a＋b>2

ab(a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y.7.已知a>b>c，则（a－b）（b－c）与a－c2的大小关系是

.（a－b）（b－c）≤a－c2解析

∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴2＝a－c

（a－b）＋（b－c）2≥

（a－b）（b－c），当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c

时取等号.b

a8.给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使a＋b≥2成立的条件有_①③④

(填序号).解析

当b

a

b

aa，b均为正数时，a＋b≥2，故只需a，b

同号即可，∴①③④均可以.三、解答题9.设a>0，b>0，且a＋b1

1＝a＋b，证明：a＋b≥2.1

1a＋b证明

由

a>0，b>0，则

a＋b＝a＋b＝

ab

，由于

a＋b>0，则

ab＝1，即有

a＋b≥2

ab＝2，当且仅当a＝b

时取得等号，∴a＋b≥2.10.已知a，b，c

都是正数，求证：a＋b＋c－ab－bc－ac≥0.证明

∵a，b，c

都是正数，∴a＋b≥2

ab，b＋c≥2

bc，a＋c≥2

ac，∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(∴a＋b＋c≥

ab＋

bc＋ab＋

bc＋

ac)，ac，即a＋b＋c－ab－bc－ac≥0.(当且仅当a＝b＝c

时，等号成立)11.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(

A

)A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一解析

∵a＋b≥2

ab，∴ab≤

2a＋b2

＝4，当且仅当a＝b＝2

时取等号.∵c＋d≥2

cd，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2

时取等号.故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2

时取等号.12.设a，b为非零实数，给出下列不等式：①②解析

由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；①≥ab；②a2＋b2

a2＋b22

2≥a＋b22；③a＋b2≥

ab

a＋ba

bb

a；④＋≥2.其中恒成立的是(填序号).2

4＝

＝a2＋b2

2（a2＋b2）

（a2＋b2）＋（a2＋b2）4≥a2＋b2＋2ab4＝（a＋b）24＝2a＋b2

，可知②正确；a＋b

ab当

a＝b＝－1

时，不等式的左边为

＝－1，右边为b1a＋＝－2，可知③不正确；2当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.13.设

x>0，求证：x＋

2

32x＋

≥2.1证明

∵x>0，∴x＋12>0，2x