第二章一元函数微分学910次课课程加持续

fx)在点x0可微的充要条件是函数fx)在点x0处可导,Afx0证必要性fx在点x0可微 \Dy=ADx Dy=A+o(Dx) limDyAlimo(Dx)ADxfi0Dx Dxfi Dx即函数f(x)在点x可导 且A=f(x 函数f(x)在点x0可导

limDyfx),即DyfxDxfi0从而Dyfx0)Dx+a=f(x0)Dx+

afi (Dxfif(x)在x0可微 且f(x0)=30、y=f(x)xx0Dyfx0Dyfx0Dxfi0(A)dy是比Dx高阶的无穷小 (B)dy是比Dx低阶的无穷小 Dy-dy是与Dx同阶的无穷小31、若limfxf(a)3yfxxxfi x- Dx0.1Dy0.1f(1)=(A)- (B) (C)1．(D) Dx(C)Dx低阶的无穷小

Dx同阶的无穷小(D)Dx高阶的无穷小【分析】dyfx0

=12yTNyTNPo(DxDy=f(MDoxx+xdy函数y=f(x)的微分dy就是过点M(x,y)的切线的纵坐标的改变量.Dx很小时,在点M的附近切线段MP可近似代替曲线段MN34(2006-34)yfxfx0,fx)0Dxxx0Dy与fx)x0处对应的增量与微分，若Dx0 0<dy<Dy Dy<dy<0

0<Dy<dy dy<Dy< 可 可导连续极限存在(limf(x)=f(x0)xfi35(2006-34)fx)

x£

fxx1

ax+

x>例36、设函数fx)x0

sin2x+x

cos1x

x„x=

,fx)

f(x)= sinsinx

x„x=

x038（2020-1）fx在区间(-1,1)内有定义，且limfx)0,x(A)当limfx)0fxx0处可导.(B)当limfx)0fxx0处可导x x(C)当f(x)在x=0处可导时，limf(x)=0 (D)当f(x)在x=0处可导时，limf(x)=x (C)¢=(sinx)¢=cos(tanx)¢=sec2(secx)¢=secxtan(ax)¢=axlna

(xa)¢=axa-(cosx)¢=-sin(cotx)¢=-csc2(cscx)¢=-cscxcot(ex)¢=e x)¢=

(lnx)¢= x

1-

=

1+

(arccotx)¢=

1+x2(v((x)v((x)v( (v(x)„

+un(x)]=u1(x)+2()+n(=(2( ++1(2(x) (u(x)

u(x+Dx)-u(x=lim v(x+Dx v(xv(x)

Dxfi D=limu(x+Δx)v(x)-u(x)v(x+ΔxΔxfi

v(x+Δx)v(x)Δ=lim[u(x+Δx)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+Δx)-v(x)]Δxfi=limΔxfi

v(x+Δx)v(x)Δxu(x+Δx)-u(x v(x)-u(x v(x+Δx)-v(x)Δx Δxv(x+Δx)v(x)Du v(x)-u(x) Dv=limDx Dx

u(x)v(x)-u(x)v(x)Dxfi

v(x+Dx)v(

[v(x)]2xx

f

;(2)f=sinx-cosx;(3)y=xtanxln(x-=(x )，则f(x-)h(1)g(1)g(1)等于 （B）-ln3- （C）-ln2- 如果函数ujx)在点x0可导而yf(u)在点u0jx0可导,则复合函数yf[jx)]x0可导且其导数为dxx=

=f

)j(x0即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量dy= 由yf(u)在点u0可导得limDy=f(uDufi0Du Dyf(ualima Dufi(u0 于是limDy=lim[f(u)Du+aDu]Dxfi0Dx

Dxfi

D Dx=f(u)limDu+limalimDu Dxfi0Dx Dxfi Dxfi0Dx(u0)j(复合函数的求 可以推广到有限次复合的情形yf(u),uj(v),v=y则复合函数y=f{ (x)]}的导数为

dy= dv (1)y(1)yarcsin2

y

x

y=ln(x+x2 (x) 3x+2

x=(1)y=f(ex+x2);(2)y=f(lnx)ef(x).

4

, =x 则f()tfi

11(2012-3)fx)

x‡1,，y=f[(fx2x-x

x<

xjy)在某区间Dy内单调、可导且(y)0那末它的反函数y=f(x)在对应区间Dx内也可导 且有f(x)

j(即反函数的导数等于直接函数导数的倒数证任取x˛Dx,给x以增量Dx(Dx0,xDx˛Dx由yfx)的单调性可知Dy0,

Dy= D因fx)连续(

DD所以Dyfi0(Dxfi因 f(x)=limDy=lim =Dxfi0即f(x)= j(

Dyfi0Dy

(例12yarcsinx的导数解因x=siny在 ˛(-p,p内单调、可导y且(siny)¢cosy

所以在Dx˛(-1,1)内有(arcsin

(sin

cos=1-x 1-x

1-sin1-sin21-x1-1-x

(arccosx)¢= 由方程Fx,y)0所确定的函数yyx)称为隐函数yfx形式称为显函数F(x,y)0 yf(x) 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?x2+例13函数y=y(x)由方程arctanyx2+x14(1999-2)yy(x)由方程lnx2yx3ysin

2 )-1]= 例16.x2xyy24在点(2,-2) 多个函数的乘、除和幂指函数ux)vx)的情形 例18.设y=(sinx)x，求 19.yx

2

(x(x+1)(x2-3(1+4x220.y(lnxxln

=xyxy

yxdy x=j(t

y=y(txj(tyy(t都有二阶导数且j(t)0dy=y(t) j(ty(t)j(ty(t) j(t

j(t)]3

x=t-ln(1+

dyy=t

+t2 的法线方程为

上对应于t=1x=arctan【详解】 t1+ t1+t11+t

x4

==

=1y1ln2-xp),xyp1ln2 =etsin=etcos

在t2

对应点处的切线方程 方法：1、利用f(x0)= f(x0)=f-(x0)=2、利用结论:f(x)=g(x), x£x0;,f(x)在x处连续，h(x), x>x limgx)limx) xfix xfix

fx0x- x£

f(x)

2x2-4x-

0x£1fx>

f(x)

x2

1 x„xx=

x特别：fxf(0)f(0)xx2、若f(x)为连续的偶函数，则0 f(t)dt为奇函数；若f(x)为连续的奇函数，则a f(t)dt为偶函数；x特别：fx以Tfx0fx0Tfx027.fxxf(-x)fx若f(-x0)=-k„0，则f(x0) k

-k

- 例28设函数fx)为可导的奇函数，且曲线yfx)在点(-例29(1998-3)fx)(-¥+¥)内可导，周期为4

f(1)-f(1-2

.2

(C)- (D)-2如果函数fx)的导数fxx处可导,(x))=(x(x)Dxfi 存在则称fx))为函数fx)在点x处的二阶导数d2 d2f(x) f¢(x),

dx

dx

f( y

d3.

f(4

(x),

y(4)

d4.dx4一般地,函数fx)的n1阶导数的导数称为函数fx)的n阶导数记作

f(n)(

y(n)

dn dnf(x) dxn dxn相应地,fx)称为零阶导数;fx)称为一阶导数fx)的各阶导数在xx0处的导函数值分别记为fx0),f¢(x0),,

(x

或y|x=x,y¢|xx,,

(n) x=方法：1、数学归纳法2、重要函数的高阶导数3、莱布尼兹4、幂级数展开（泰 f(

a(x-x)n

f(n)(x)=auxvxx处有nnk(u–v)(n)=(u)(n)–(v)(n)，(uv)(k

=Cnk=0

(u)(k)(v)(n-k(xn)(n)=(eax+b)(n =aneax+b,(ax)(n ln [sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+np)[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+n2p (n

n!a

ax+b

=(-1)n (ax+b)n+1[ln(ax+b)](n)=(-1)

n-1(n-1)!a(ax+b)1-1+1-1+

=31(2017-1)fx)

，则f(3)(0) 1+分析：f3xf(3(0)=0fx)

=1-x2+x4-x6+1+3f(3)(0)=a3!=332(2006-3)fxx2的某邻域内可导fxefx)f1f2e333.yxlnxy(10)（A）- （B） （C）8!

（D）-8! x9 x9 例34(2010-2)函数y=ln1-2x在x=0处的n阶导数y)= 例35(2015-2)函数f(x)=x2 2x在x=0处的n阶导数fn(0)=((x)=C(x (2f( (k (n-kfn =C0x2(2x)(n)+C12x(2x)(n-1)+C22(2x)( nf(n)(0)=C22(2x)(n-n

36.yx2exyn).37.n(1)y

;(2)y=sin2xx2+x- y=f[j(由方程F(x,y)=0确定的函 y=f(x)y=y(t)由参数方程x=j(t)确定的函 yy=y(t)38.f(x)(1)y=f(e-x);(2)y=lnf(x)

y=sin[f(x2

f

dy2xcos[fx2fx2d2y

2cos[f(x)]

(x)-2xsin[f(x)][

(x 2x+2xcos[f(x)]

(x)(x2(x2(x2

e

+=确定

dx2

=x

dd2

42(2012-2)y=y(x)x2-y+1=ey所确定的隐函数,.d2x|x=0= x2-y+1eyx代入 y=0得y(0)=0

y= y,

2-y†=ey(y)2+e 代入x=0,y= y(0)=0 y=tsint例y=tsint

d2y t t=4解：dxcost,dytcostdydtt 由d2 ddy ddy

=

dx

dtdxdxdxdx24

dxdxt=4

1cos1cost=4

=2.44.y=y(x)

x=t+ln(t-y=t3+t2+1

dx2t2+1t2+1=ln(t

t2+1)

dx2

= 1dy

2dy 2=dt

+ +1 =dxdt d

t

tt2+1t2+1dy=tdt=- =t2+1t2+1 dt

t2 t31(1995-2)设y=cos(x2)sin21，则 x解：y¢[cosx2)]sin21cosx2)[sin21 ¢2

1=-

)

+cos(xx

=-2xsin(x2)sin21-1cos(x2)sin 2(1993-3)yyx是由方程sinx2y2exxy20

= (2x+2ydy)cos(x2dx

+y2)+ex-y2-2xydy=dx dx

y2-ex-2xcos(x2+y2)2ycos(x2+y2)-2xy3、求由方程xyexey0所确定的隐函数的导数

x=0解方程两边对x求导y+xdy-ex+eydy= x0,y所以 dydx

x

=1.(x-1)((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

求y.解lny=1[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)]上式两边对x求导得

(x-

(x- x--

x-

x-(x-

x-

(x-4)]y¢=y + - - x- x- x- x-=

+

- - (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) x-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)5f(x)x=1f(1)1，求limfxfxfi

x2021-【分析】limfxf(1)

f(x)-fxfi

x2021-

xfi+x