经济数学2PPT完整全套教学课件

经济数学EconomicMathematics函数及其在经济中的应用第一节函数关系

一家人去某地旅游，甲旅行社优惠政策为:父亲购买一张全票，其余人均享受半票。乙旅行社优惠政策为:购买集体票，按原价的2/3计收。试确定最优选择方案。假设：单个人的收费价格为α元，家庭有x个孩子，甲、乙旅行社的收费总和分别为y1和y2，则可以建立费用总和与子女数目之间的函数关系:它们均为线性函数，当x=1时，

y1=y2;当x＜1时，y2＜y1；当x＞1时，y1＜y2，由此可得；只有一个孩子的家庭，两个旅行社的收费相同；没有孩子的家庭可选择乙旅行社；有两个及两个以上孩子的家庭可选择甲旅行社函数及其在经济中的应用一、函数的定义定义1.1设两个变量ｘ和ｙ，当变量ｘ在某给定的非空数据D中取任意一个值时，变量ｙ的值由这两个变量之间的关系ƒ确定，称这个关系ƒ为定义在D上的一个函数关系，或称ｙ是ｘ的函数，记作ｙ=

ƒ（ｘ），ｘϵD。

数集D叫做这个函数的定义域，ｘ叫作自变量，ｙ叫作因变量。函数及其在经济中的应用求函数的定义域，即求使函数有意义的自变量的取值范围一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集。求解过程中，务必牢记下列常用基本初等函数的定义域，见表1-1.函数及其在经济中的应用二、函数的基本特性（一）函数的有界性

设函数ƒ（ｘ）的定义域为D，如果存在正数M，使得对每一个ｘϵD有∣ƒ（ｘ）∣≤M，则称函数ƒ（ｘ）在D上有界；否则称ƒ（ｘ）在D上无界。函数及其在经济中的应用（二）函数的单调性

设函数ƒ（ｘ）的定义域为D，区间

Ι上任意两点ｘ1及ｘ2，当ｘ1＜ｘ2时，不等式ƒ（ｘ1）≤ƒ（ｘ2）恒成立，则称函数ƒ（ｘ）在区间Ι上是单调增加的（图1-2）；若对于区间Ι上任意两点ｘ1及ｘ2，当ｘ1＜ｘ2时，不等式ƒ（ｘ1）≥ƒ（ｘ2）恒成立，那么就称函数ƒ（ｘ）在区间Ι上是单调减少的（图1-3），单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，区间Ι称为单调区间。函数及其在经济中的应用（三）函数的奇偶性

设函数y=

ƒ（ｘ）的定义域关于原点对称，且对于任意的ｘϵ

D都有：

ƒ（—ｘ）=ƒ（ｘ），则函数为D上的偶函数；

ƒ（—ｘ）=—ƒ（ｘ），则函数为D上的奇函数。

（四）函数周期性

对于函数y=ƒ（ｘ），如果存在不为0的数T，使得对于ｘϵ

D，都有（ｘ±T）ϵD，且ƒ（ｘ±D）=ƒ（ｘ）成立，则称函数y=ƒ（ｘ）为周期函数，T称为函数的周期，一般地，周期指的是函数的最小正周期。函数及其在经济中的应用三、复合函数定义1.2设函数y=ƒ（u），u=φ（ｘ），如果函数u=φ（ｘ）的值域与函数y=ƒ（u）的定义域相交非空，则由y=ƒ（u）和u=φ（ｘ）构成的函数y=ƒ[φ（ｘ）]称为复合函数，其中u为中间变量。

复合函数的形象描述如图1-4所示。函数及其在经济中的应用第二节初等函数模型一、反函数根据函数的定义，对于每一个自变量的值，都有唯一的函数值与之对应.而对于每一个函数值.却不一定有唯一的自变量值与之对应，如函数y=ｘ²，当

y=1时，就有ｘ=±1与之对应，但对函数y=ｘ³来说，情况却不一样，在它的值域中取不同的函数值，就会有不同的自变量值与之对应，这种不同的自变量值对应不同函数值的函数称为一一对应函数，对于一一对应函数.我们可以定义它的反函数。

定义1.3设函数y=ƒ（ｘ）为定义在D上的一一对应函数，值域为Z，如果对于每一个yϵD，都有一个确定的且满足y=ƒ（ｘ）的ｘϵ

D与之对应，则称ｘ=ƒ-1（y）为y=ƒ（ｘ）的反函数，记作y=ƒ-1（ｘ），反函数的定义域为Z，值域为D。函数及其在经济中的应用二、反三角函数

函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数统称为反三角函数．反三角函数的性质见表１-2函数及其在经济中的应用三、基本初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．函数及其在经济中的应用四、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的,并且可以用一个解析式表示的函数,称为初等函数．函数及其在经济中的应用第三节经济函数模型一、一致性存储模型

【订货问题】某工厂每年需要铁矿石１００万吨,且对该种原料的消耗是均匀的．已知该原料每吨的年库存费是０．０５元,分批进货,每次进货的费用为１０００元,试确定一年中该原料的库存费、进货费与批量的关系．解设批量为x万吨,库存费为C１(x)元,进货费为C２(x)元,则库存费和进货费与批量的关系为:

无论是厂家还是商家,不管在生产环节还是销售环节,都需设置仓库来存储原料和商品,因此库存问题就成了他们必须面对的问题．一致性存储模型是在“一致需求,均匀消耗,瞬间入库,不许缺货”的假设下建立的模型,它是库存模型中最简单,也是最典型的一种函数及其在经济中的应用二、需求与供给函数模型

试分析:(１)棉布的均衡价格是多少?(２)棉布的均衡销售量是多少?(３)如果政府对棉布的最高定价为３元/米,棉布的供需关系会发生怎样的变化?(４)如果政府对棉布征税,税额为１元/米,棉布的均衡价格会发生怎样的变化?函数及其在经济中的应用

(２)将均衡价格代入需求曲线或供给曲线即可得均衡销售量,所以均衡销售量Q＝２．(３)当P＝３时,价格低于均衡价格,这时需求会增加,供给会减少．

消费者对某种商品的需求量主要受到该商品价格的影响,将需求量与价格的函数关系称为需求函数,一般记作Qd＝Q(P),对应在坐标系中的图形称为需求曲线．同样,某种商品的供给量也受该商品价格的制约,将供给量与价格的函数关系称为供给函数,记作Qs＝Q(P),对应在坐标系中的曲线称为供给曲线,如图１-８所示．函数及其在经济中的应用可以看出,需求函数是价格的递减函数,而供给函数是价格的递增函数．我们还将需求曲线和供给曲线的交点E(Pe,Qe)所对应的价格称为均衡价格,记作Pe;对应的商品数量称为均衡数量,记作Qe．此时的需求量与供给量相等,需求价格等于供给价格．函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用三、成本、收入与利润函数模型

【盈亏分析】张同学在学校附近租了一间店面准备开蛋糕店．经测算,一年的房租及水电费等固定费用为１．５万元,每个蛋糕的原料费用为１５元,每年的销售量为２０００个,问:蛋糕的单价应定为多少时才能使蛋糕店不亏本?分析:当蛋糕店的总收入等于总成本,即利润为０时就不亏本了．假设:蛋糕的单价为x元/个,则蛋糕店的总收入为２０００x元．蛋糕店的总成本为固定成本和可变成本之和,即为１５０００＋１５Ｘ２０００＝４５０００（元）要使蛋糕店不亏本,必须使２０００x≥４５０００,解得x≥２２．５．因此,当蛋糕的单价不低于２２．５元/个时,可以使蛋糕店不亏本．函数及其在经济中的应用在上面的案例中,我们了解了成本、收入和利润等概念,下面给出它们的含义及函数模型．

某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部费用总额,由固定成本和可变成本组成．平均每单位产品的成本称为平均成本,总收入是指生产者出售一定数量的产品时所得到的全部收入．

设产品的数量为Q,总成本为C,固定成本为C０,可变成本为C１,平均成本为C,商品的单价为P,总收入为R,平均收入为R,利润为L,平均利润为L,则函数模型及平衡关系为:函数及其在经济中的应用

(１)生产８台该商品的利润与平均利润是多少?(２)生产活动的保本点(即无盈亏的生产量)是多少?(３)若每月销售该商品２０台,为了不亏本,单价应定为多少?函数及其在经济中的应用即生产８台该商品时,总利润为４万元,平均利润为０．５万元．函数及其在经济中的应用25Thankyou!经济数学EconomicMathematics极限与变化趋势分析变量的极限是描述和研究变量在无限变化过程中的变化趋势的数学模型,是微积分的基本概念之一。本章主要讨论极限的概念,介绍极限的基本运算方法,并运用极限分析建立资金的终值和现值计算模型。第一节变化趋势问题一、数列的极限定义２．１设数列{an},如果当n无限增大(n→∞)时,an无限接近于一个确定的常数A,则称A为该数列当n→∞时的极限,或称数列收敛于A,记作否则,称数列没有极限或数列发散．极限与变化趋势分析二、函数的极限（一）x→∞时函数ƒ(x)的极限定义２．２设函数f(x),如果当x无限增大(x→∞)时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数ƒ(x)当x→∞时的极限,记作

极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析第二节极限运算一、极限的运算法则极限与变化趋势分析二、求极限的基本方法（一）代入法当ƒ(x０

)、g(x０

)有意义,且g(x０

)≠０时,有极限与变化趋势分析

极限与变化趋势分析

极限与变化趋势分析三、等比级数极限与变化趋势分析第三节利息计算模型利息是经济活动中货币资本投资在一定时间后的价值．也可以说,利息是指掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得到的报酬．企业从银行贷款,必须付给银行贷款利息．个人储存一笔钱在银行,也能从银行得到存款利息．就其实质而言,利息是货币投资在经济活动中所获得的收益极限与变化趋势分析一、“１∞型”极限公式

极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析

极限与变化趋势分析二、极限公式的运用极限与变化趋势分析第四节个人所得税计算模型我国现行的个人所得税计算办法规定:个人所得税的起征点为５０００元(表２Ｇ３为７级税率表)．某单位所有员工的月收入(扣除险金等费用后)都不超过２００００元,试确定该单位员工每月应缴个人所得税(简称“个税”)的计算模型．极限与变化趋势分析一、分段函数在许多实际问题中,函数在其定义域内的对应关系不能用一个数学表达式表示．譬如邮递物品时产生的邮费和物品重量之间的函数关系;个人所得税的税额和个人收入之间的函数关系都不能用一个数学表达式予以表示．一般地,对于定义域内自变量的不同取值范围,其函数关系不能用同一个统一的数学表达式表示,而要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数．绝对值函数y＝∣x∣＝，函数的定义域为(－∞,＋∞),其图形如图２-６所示．符号函数y＝sgnx＝，函数的定义域为(－∞,＋∞),其图形如图２-７所示．极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析二、分段函数的极限例２．２５设函数ƒ(x)＝，考察解观察函数的图形(图２-９),分两种情形分别讨论．当ƒ(x)从左侧无限趋近于０时,记作x→０¯

,函数ƒ(x)无限趋近于１,记作当ƒ(x)从右侧无限趋近于０时,记作x→０＋,函数ƒ(x)无限趋近于０,记作极限与变化趋势分析三、函数的连续性在现实世界中,很多变量都是连续变化的,如气温的变化、生物的成长等．这种现象反映在数学上就是函数的连续性．定义２．４设函数ƒ(x)在x０的某个领域内有定义,如果存在且等于函数值ƒ(x０

)，即，则称函数ƒ(x)在点x０处连续,称x０为函数f(x)的连续点;否则称函数ƒ(x)在x０处间断,称x０为函数f(x)的间断点。根据连续的定义,函数ƒ(x)在点x０处连续,必须满足三个条件:极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析极限与变化趋势分析49Thankyou!经济数学EconomicMathematics经济最优化为分析在经济领域中常常会遇到,在一定条件下如何使“利润最大”“成本最低”“方案最优”等问题．这类问题的解决,很多时候可以归结为求函数的最大值和最小值,本章主要介绍导数的概念和导数的基本运算法则,建立运用导数求函数极值及最值的方法,分析解决经济最优化问题．经济最优化为分析第一节变化率问题

【切线问题】

一张圆形的餐桌上需要安装一块圆形的玻璃,玻璃店的师傅在制作时,会先在方形的玻璃上画出圆形,划掉多余部分后进行不断的打磨．师傅打磨的过程在数学上就是作圆周切线的过程．

我们知道,圆周的切线就是与圆有唯一交点的直线,那么曲线y＝ƒ(x)的切线又是什么呢?如图３－１所示,设曲线y＝ƒ(x)上的点M(x０,y０

),在该曲线上另取一点N(x０＋Δx,y０＋Δy),作割线MN,当点N沿曲线趋向于M时,若割线的极限位置为MT,则直线MT就是曲线在点M(x０,y０

)的切线．经济最优化为分析

可以计算,割线MN的斜率为当Δx→０时,N点沿曲线趋向于M点,因此得到切线MT的斜率为由上式可知,曲线在点M(x０,y０

)的切线的斜率为函数在某点的增量Δy与自变量增量Δx之比的极限．设函数y＝ƒ(x),那么就是函数的变化率,它反映了因变量随自变量变化的快慢程度．我们将这种特殊的极限叫作函数的导数．经济最优化为分析一、导数的定义定义３．１设函数y＝ƒ(x)在x０处及其邻域内有定义,当自变量x在x０处有增量Δx(Δx≠０)时,函数y＝ƒ(x)取得相应的增量经济最优化为分析二、导数的基本公式我们给出了根据导数定义求函数的导数的方法,但是如果对于每一个函数,都直接按定义去求它的导数,那将是极其复杂和困难的．因此,我们将一些基本初等函数的导数作为求函数导数的基本公式．经济最优化为分析经济最优化为分析第二节导数运算例３．７某产品投放市场所产生的利润L是产量x的函数,已知L(x)＝－３x２＋２４０x－１５００,试分析:(１)当日产量从x＝３０增加到x＝４０时利润的增加量;(２)当日产量从x＝３０增加到x＝４０时利润的增加率;(３)当日产量x＝３０时利润的增长率．经济最优化为分析一、导数的四则运算法则经济最优化为分析经济最优化为分析二、导数的复合运算法则定理３．２设函数y＝ƒ(u)在u处可导,u＝φ(x)在x处可导,则复合函数y＝ƒ

[φ(x)]在x处可导,且有经济最优化为分析三、隐函数求导法函数y＝ƒ(x)称为显函数,而方程F(x,y)＝０确定的函数称为隐函数．如y＝x²、y＝sin

x都是显函数,而由方程x²＋y²＝２５、xy＋lny＝１确定的函数为隐函数．隐函数很多时候不能转化为显函数,但我们可以利用复合函数的求导法则求出隐函数的导数．设方程F(x,y)＝０确定y是x的函数,并且可导．将方程两边同时对x求导,并将y看成x的函数,便可得到隐函数的导数了．

经济最优化为分析四、二阶导数

例３．１７求函数y＝x⁴的二阶导数．解y′＝(x⁴)′＝４x³;

y″＝(４x³)′＝１２x²．要求函数的二阶导数,只需对函数连续两次逐阶求导即可．经济最优化为分析五、二元函数的偏导数

经济最优化为分析经济最优化为分析例３．１９求函数z＝５x²y³

的偏导数ƒ′x(x,y)、ƒ′y(x,y),并求ƒ′x(１,－１)、f′y(－１,２)．解ƒ′x(x,y)＝(５x²y³

)′x＝１０xy³．

ƒ′y(x,y)＝(５x²y³

)′y＝１５x²y²．ƒ′x(１,－１)＝１０×１×(－１)³＝－１０．ƒ′y(－１,２)＝１５×(－１)²×２²＝６０．经济最优化为分析第三节经济最优化模型

经济最优化为分析一、函数增减性的判别

函数的增减性和其导数的符号有关,我们可以从图３-２中找到它们之间的关系．定理３．３设函数f(x)在区间(a,b)内可导:

(１)若在(a,b)内f′(x)＞０,则函数f(x)在区间(a,b)内单调增加;

(２)若在(a,b)内f′(x)＜０,则函数f(x)在区间(a,b)内单调减少．经济最优化为分析经济最优化为分析二、函数极值的判别设函数ƒ(x)在区间(a,b)内有定义,x０∈(a,b),如果:

(１)在x０的某一邻域内,有ƒ(x)≤ƒ(x０),则称函数在x０处取得极大值ƒ(x０

),x０称为函数的极大值点;

(２)在x０的某一邻域内,有ƒ(x)≥ƒ(x０

),则称函数在x０处取得极小值ƒ(x０

),x０称为函数的极小值点．

函数的极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点．经济最优化为分析（一）极值存在的必要条件

定理３．４(极值存在的必要条件)如果函数ƒ(x)在x０处可导,且在x０处取得极值,那么一定有ƒ′(x０

)＝０．经济最优化为分析（二）极值存在的充分条件定理３．５

(极值存在的第一充分条件)设函数ƒ(x)在x０的某一邻域内连续且可导(ƒ′(x０

)可以不存在),如果:

(１)当x＜x０时,ƒ′(x)＞０;当x＞x０时,ƒ′(x)＜０,则ƒ(x)在x０处取得极大值;

(２)当x＜x０时,ƒ′(x)＜０;当x＞x０时,ƒ′(x)＞０,则ƒ(x)在x０处取得极小值;

(３)当x从x＜x０变化到x＞x０时,ƒ′(x)的符号没有发生改变,则ƒ(x)在x０处没有极值．经济最优化为分析经济最优化为分析综上所述,可得函数的极大值为ƒ(１)＝２,极小值为ƒ(２)＝１．判断函数单调性和极值的一般步骤:

(１)确定函数的定义域;

(２)求函数的导数;

(３)求函数的驻点和连续但不可导点;

(４)用驻点和连续不可导点将定义区间划分为若干小区间,列表考察每个小区间内导数的符号,判断函数的增减性和极值点;

(５)确定函数的单调区间,计算函数的极值．经济最优化为分析

定理３．６(极值存在的第二充分条件)设函数ƒ(x)在x０的某一邻域内有定义,且ƒ′(x０

)＝０,ƒ″(x０

)存在,如果:

(１)

ƒ″(x０

)＜０,则函数ƒ(x)在x０处取得极大值;

(２)ƒ″(x０

)＞０,则函数ƒ(x)在x０处取得极小值;

(３)ƒ″(x０

)＝０,需进一步判断．经济最优化为分析三、函数的最大值和最小值

设函数ƒ(x)在区间[a,b]上有定义,如果

(１)对一切x∈[a,b],有f(x)≤f(x０),则称ƒ

(x０

)为ƒ(x)在区间[a,b]上的最大值．

(２)对一切x∈[a,b],有f(x)≥f(x０),则称ƒ(x０

)为ƒ(x)在区间[a,b]上的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值,取得最大值或最小值的点x０称为最值点．在实际问题中,如果函数在区间内有最大值或最小值,且函数在区间内有唯一的极值点,那么可以利用实用最值判别法判定函数的最值．经济最优化为分析经济最优化为分析经济最优化为分析经济最优化为分析

解

先建立利润函数,再确定函数的最值即可．由题意可得:总成本函数为总收入函数为

R（x）=20x

故利润函数为

根据利润最大化原则,令L′(x)＝－x＋１８＝０,得x＝１８．

因为L″(x)＝－１＜０,所以L(x)在x＝１８处取得最大值．即当企业生产１８台设备时可以获得最大利润,最大利润为L(１８)＝１４２万元．经济最优化为分析

【定价问题】

某商店以每件１００元的价格购进一批衬衫,若零售价定为１５０元/件,估计能卖出３００件;若每件零售价每降低１０元,则可多卖出２０件,试分析应向批发商购进多少件、每件零售价多少元时才能获得最大利润,最大利润是多少．

经济最优化为分析

82Thankyou!经济数学EconomicMathematics微分及其在经济中的应用第一节改变量的估值问题有一正方形金属薄片受热膨胀,试估计其面积的改变量．

假设:正方形的边长为x,其面积S＝x²,当金属受热后,其边长的改变量为Δx(图４-１),则相应面积的改变量为

ΔS＝(x＋Δx)²－x²＝２xΔx＋(Δx)²

边长的量Δx很小时,面积的改变量ΔS可以近似地表示为２xΔx,即ΔS≈２xΔx．

此时,我们将２xΔx称为函数在x处的微分,记作dy,即

dy＝２xΔx一般地,设函数f(x)在x处可导,当自变量有微小的增量Δx时,函数的增量也就是函数的改变量,可以近似地用f′(x)Δx表示．函数及其在经济中的应用一、微分的定义

定义４．１设函数y＝f(x)可导,对自变量x取增量Δx,将f′(x)Δx称为函数在x处的微分,记作dy．即

dy＝ƒ′(x)Δx

由微分的定义可以推得

dx＝(x)′·Δx＝Δx

于是,函数的微分可以写成

dy＝

ƒ′(x)dx

即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积．函数及其在经济中的应用二、微分的运算我们给出了根据定义求函数的微分的方法,我们也可以根据导数的基本公式和运算法则推导出微分的基本公式和运算法则,为方便使用,现归纳如下:（一）微分的基本公式函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用（二）微分的运算法则函数及其在经济中的应用第二节边际分析

例４．８秋收季节,一农妇到田间拾麦穗,第一天能拾回１０斤麦穗,以后每天拾到的麦穗会越来越少．假设每天都少拾回１斤麦穗,而农妇每天需要多消耗的麦穗为２斤,那么什么时候农妇就不应该再去拾麦穗了?

分析:到第９天的时候,农妇拾回的麦穗数量为２斤．预计第１０天时她拾回的麦穗数量为１斤,少于她多消耗的麦穗数量,所以第１０天农妇就不应该去了．经济学中,将１斤称为农妇第１０天时拾麦穗的边际收入．

例４．９产品投放市场所产生的利润L是产量x的函数,已知L(x)＝－３x２＋２４０x－１５００,试分析当产量为x＝３０单位时,是否应该增加产量?

分析:假设产量增加１个单位,根据利润是否增加就可以判断是否应该增加产量．当Δx＝１时,

ΔL＝L(３０＋Δx)－L(３０)≈L′(３０)Δx＝L′(３０)

L′(x)＝(－３x２＋２４０x－１５００)′＝－６x＋２４０

ΔL≈L′(３０)＝６０经济学中,将６０称为产量为３０单位时的边际利润．函数及其在经济中的应用例４．１０从宁波开往杭州的大巴票价为５６元,开车前一位乘客匆匆赶来,见甲公司的车上还有空位,要求以４０元的价格上车,被拒绝．他又找到乙公司的车,乙公司同意以４０元的价格让他上车．分析哪家公司更精明,为什么?

分析:乙公司更精明,因为增加一位乘客,公司的收入增加４０元,而成本的增加不会超过４０元．即公司的边际收入为４０元,而边际成本不会超过４０元,此时的边际利润大于０．函数及其在经济中的应用一、边际与边际函数设函数y＝ƒ(x),当自变量x在x０处增加一个单位(Δx＝１)时,函数相应的改变量Δy＝ƒ(x０＋Δx)－ƒ(x０

)在经济学中称为边际．

由于Δy≈dy＝ƒ′(x０

)Δx＝ƒ′(x０

),因此也把ƒ′(x０)称为函数在x０处的边际,而将导函数ƒ′(x)称为边际函数．

定义４．２设可导函数y＝ƒ(x),我们将ƒ′(x０

)称为函数在x０处的边际,而将导函数ƒ′(x)称为边际函数．函数及其在经济中的应用二、边际成本、边际收入与边际利润（一）边际成本设成本函数C＝C(Q),其中Q为产量,将导函数C′(Q)称为边际成本函数,记作MC．将C′(Q)称为产量为Q０时的边际成本．

边际成本的经济意义是:当产量达到Q时,再生产１个单位产品需要增加的成本．函数及其在经济中的应用（二）边际收入设总收入函数为R(Q),其中Q为产品的销售量,则导函数R′(Q)称为边际收入函数,记作MR．将R′(Q０)称为销售量为Q０时的边际收入．边际收入的经济意义是:当销售量达到Q时,再销售１个单位产品所增加的收入．函数及其在经济中的应用（三）边际利润在所有产品均能售出的情况下,总利润函数为L(Q)＝R(Q)－C(Q),其中Q既是产量也是销售量,则导数L′(Q)＝R′(Q)－C′(Q)称为边际利润函数,将L′(Q０)称为产量或销售量为Q０时的边际利润．边际利润的经济意义是:当销售量达到Q时,再生产销售１个单位产品所获得的利润．函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用函数及其在经济中的应用第三节弹性分析

函数及其在经济中的应用例４．１７某商店对某商品的价格进行了调整,由销售记录可以得到调价前后一周单价P和需求量Q的有关数据(表４-１)．试分析该商品需求量对价格的灵敏度．函数及其在经济中的应用

结果说明,需求量的变化幅度是单价变化幅度的４倍,当商品的单价变化１％时,商品的需求量会变化４％(负号表示单价上涨时需求量下降,单价下跌时需求量上升)．此时,可以认为商品的需求量对价格变化的反应是灵敏的．在实际生活中,我们会发现不同商品的需求量对价格的灵敏度是不同的．大部分商品价格下跌时需求量会上升,价格上涨时需求量会下降,而有的商品即使价格上涨,需求量也不会发生大的变化．一般地,在函数y＝f(x)中,相对改变量表达了变量的变化幅度,而y对x的相对变化率则表达了y对x变化的灵敏度．在经济学中,这种相对变化率称为弹性．函数及其在经济中的应用一、弹性与弹性函数设函数y＝ƒ(x),在相对变化率的计算中,我们用函数的微分dy代替函数的改变量Δy,则可以得到弹性的定义．

定义４．３设函数y＝ƒ(x)在x附近有定义,在x０处可导,自变量在x０处的改变量(微分)为dx,函数在x０处的微分为dy,则函数y＝ƒ(x)在x０处的弹性记作函数及其在经济中的应用二、需求弹性

函数及其在经济中的应用106Thankyou!经济数学EconomicMathematics经济总量问题分析第一节原函数总量是经济量在某个持续过程中的积累,是经济系统中效果评价的重要指标．数学中以微元法为主要思想的积分学提供了非均匀连续积累的经典模型和完美运算体系．本章主要介绍不定积分的概念、基本积分法、定积分及计算方法．在此基础上运用微元法建立经济总量的计算模型和方法,并尝试分析解决一些经济问题．

【曲线方程】

已知曲线在任一点的切线斜率为２x,且曲线经过点(１,２),求此曲线方程．分析:利用切线斜率和函数的导数关系解决问题．设曲线方程为y＝F(x),由题意可知F′(x)＝２x,且x＝１,y＝２,可以求得

F(x)＝x²＋C将x＝１,y＝２代入解得C＝１,所以曲线方程为y＝x²＋１．经济总量问题分析

【总收入问题】

某工厂生产一种产品,日总收入的变化率(边际收入)是日产量x的函数:R′(x)＝３０－0.2x(单位:元/件)．该工厂生产这种产品的能力是每小时３０件．试分析怎样安排生产才能使这种产品的日总收入最大,并求此最大收入．

分析:可以利用函数最值的求法确定总收入最大时的日产量,根据生产能力合理安排生产,但要求出最大总收入必须先求出总收入函数．令R′(x)＝３０－０．２x＝０,解得x＝１５０,因为R″(x)＝－０．２＜０,所以日产量为１５０件时总收入最大．由于该厂的生产能力是每小时３０件,故每天可以安排１５０÷３０＝５小时的时间生产该种产品．经济总量问题分析

经济总量问题分析一、原函数定义５．１设函数y＝f(x)在区间(a,b)内有定义,如果存在函数F(x),使得对任意的x∈(a,b),都有

F′(x)＝ƒ(x)或dF(x)＝ƒ(x)dx则称F(x)为ƒ(x)的一个原函数．经济总量问题分析

例５．２求函数ƒ(x)＝sinx的原函数．

解

因为(－cosx′)＝sinx,所以－cosx是sinx的一个原函数,而ƒ(x)＝sinx的全体原函数可以表示为－cosx＋C,其中C为任意常数．经济总量问题分析二、不定积分

定义５．２设函数y＝ƒ(x)在区间(a,b)内有定义,F(x)是ƒ(x)的一个原函数,称ƒ(x)的全体原函数为函数ƒ(x)的不定积分,记作∫ƒ(x)dx,即

∫ƒ(x)dx＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ经济总量问题分析经济总量问题分析例５．３求∫２xdx．解因为(

x²

)′＝２x,所以∫２xdx＝x²

＋C

经济总量问题分析三、不定积分的基本公式因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由导数的基本公式可以得到对应的积分的基本公式．为方便使用,将不定积分的基本公式列述如下．经济总量问题分析从不定积分的定义中,我们可以得到或验证以下性质:性质１不定积分的导数(微分)等于被积函数(被积表达式),即∫[ƒ(x)dx]′＝ƒ(x)或∫dƒ(x)dx＝ƒ(x)dx

性质２一个函数的导数(微分)的不定积分等于这个函数与一个任意常数的和,即

∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C四、不定积分的性质性质１和性质２表示导数(微分)运算和积分运算互为逆运算,可以相互抵消．但如果先导数(微分)运算后积分运算,那么抵消后要加上积分常数．经济总量问题分析

性质３两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和,即∫[ƒ(x)±g(x)]dx＝∫ƒ(x)dx±∫g(x)dx

推论

有限个函数代数和的不定积分等于这些函数不定积分的代数和,即

∫[ƒ１(x)±ƒ２(x)±…±ƒn(x)]dx＝∫ƒ１(x)dx±∫ƒ２(x)dx±…±∫ƒn(x)dx

经济总量问题分析经济总量问题分析第二节基本积分法

经济总量问题分析一、凑微分法经济总量问题分析上面计算不定积分的过程中,我们引入了中间变量u,通过变量代换(换元)使积分简化,从而求出积分．在不定积分的计算过程中,如果不定积分∫g(x)dx可以写成∫ƒ[φ(x)]dφ(x)的形式,那么我们可以通过换元的方法将积分转化为∫ƒ(u)du．如果积分∫ƒ(u)du容易求出,那么就可以顺利得到结果,这个方法叫作第一类换元积分法,也叫作凑微分法．具体过程如下:经济总量问题分析经济总量问题分析经济总量问题分析经济总量问题分析二、分部积分法如果u＝u(x)和v＝v(x)具有连续的导数,则由函数乘积的微分公式d(uv)＝udv＋vdu移项可得udv＝d(uv)－vdu,两边积分得

∫udv＝uv－∫vdu这个公式叫作分部积分公式,当积分∫udv不易求出,而积分∫vdu容易求出时,就可以使用这个公式,运用分部积分公式求积分的方法叫作分部积分法．分部积分法常常用来求乘积函数的积分,而运用的关键是u和dv的选择．一般地,u的选择顺序为:反三角函数(如arcsinx，arctanx)、对数函数(如lnx,ln２x)、幂函数(如x,x²)、三角函数(如sinx,cosx)和指数函数(如ex,e－x)经济总量问题分析

例５．１３求不定积分∫xexdx