定积分在几何上的应用

定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?2021/5/91表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某函数f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“分割,近似,求和,取极限”定积分定义一个整体量;2021/5/92二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元法)近似值精确值2021/5/93四、旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的立体体积一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用2021/5/94一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及

x

轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形面积为2021/5/95例1.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有2021/5/96例2.

求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式2021/5/97例3.

求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:2021/5/982.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为2021/5/99对应

从0变例4.

计算阿基米德螺线解:到2

所围图形面积.2021/5/910例5.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积2021/5/911二、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.则称2021/5/912(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长2021/5/913(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长2021/5/914(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):2021/5/915例6.

求连续曲线段解:的弧长.2021/5/916例7.

计算摆线一拱的弧长.解:2021/5/917三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,2021/5/918特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有2021/5/919柱壳体积说明:

柱面面积（以摆线为例）2021/5/920例8.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.2021/5/921四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:2021/5/922侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为2021/5/923例9.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式2021/5/924例10.

求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转2021/5/925内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小2021/5/9263.