正方形 省赛获奖

18.2.3正方形R·八年级数学下册新课导入今天我们来学习一个特殊的几何图形正方形正方形有什么性质？学习目标学习重、难点1.能说出正方形的意义及性质.2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系（共性与个性）.3.知道正方形的判定方法.

重点：正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.

难点：正方形的性质的运用.推进新课知识点1

正方形正方形的定义平行四边形是正方形。的有一组邻边相等并且有一个角是直角正方形与矩形菱形的关系菱形正方形有一个角是直角正方形即是特殊的矩形又是特殊的菱形。正方形既具有矩形的性质同时也具有菱形的性质。正方形矩形有一组邻边相等因此正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有4条对称轴.正方形的性质正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.练习1、把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.知识点1

平行四边形，矩形，菱形，正方形例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。证明：∵四边形ABCD是正方形。∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.平行四边形菱形正方形平行四边形矩形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.邻边相等有一个直角一组邻边相等有一个直角练习1.如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：∵ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，（m）连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），AC===40（m）S正方形ABCD=BC2=

（20）2=800（m2）所以正方形的对角线长40m，面积为800m2.随堂演练基础巩固1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直C.对角线相等

D.每一条对角线平分一组对角C2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（

）

（2）对角线互相垂直的矩形.（

）

（3）对角线相等的菱形.（

）

（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（

）√√√√综合应用3.如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，点M，N分别在AC，BD上，且OM=ON，求证：BM=CN.证明：由正方形的性质可得：OB=OC，∠BOM=∠CON=90°，又∵OM=ON,∴△BOM≌△CON,∴BM=CN.课堂小结正方形的性质正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形拓展延伸

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF-BF=EF.证明：∵∠BAF+∠DAE=90°，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE.又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF≌△DAE，∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。课后作业习题18.1复习巩固1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.它是一个矩形吗？为什么？解：它是一个矩形.理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD.∴ABCD是矩形.2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.ABCD证明：由四边形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形.3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次。就能得到矩形踏板.为什么？解：如图∵AB⊥AD，CD⊥AD.∴AB∥CD，∠A=90°，AD∥BC.∴四边形ABCD是矩形.ABCD4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A，∠B的度数.ACBD解：取AB得中点D，连接CD，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=AB=AD，∵AB=2AC，∴AC=AB，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠A=60°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=30°.5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求：（1）∠BAD，∠ABC解：（1）∵四边形ABCD是菱形.∴AC平分∠BCD.∴∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，∴∠BAD=∠BCD=60°，又∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.（2）AB，AC的长.解：设AC与BD交于点O，由（1）∠BAD=60°，AB=AD.知△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.在Rt△ABO中，AB=6，BO=BD=3，∴AO=∴AC=2AO=≈10.39.O6.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：因为AE∥BF.∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∠BAC=∠BCA，∴AB=AD=BC，∴四边形ABCD是菱形.综合应用7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？解：剪口应与折痕成45°角.8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了.纸盒的底面是什么形状？为什么？ABCDFGE解：纸盒的底面是矩形.如图：∵ABCD是正方形.∴∠ADC=90°，∠EDF=90°，同理∠E=∠F=90°，∴四边形DFGE是矩形.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点.∠ECD是多少度？为什么？

解：∵E是斜边AB上的中点，即CE是斜边上的中线，∴CE=AB=AE，∴∠A=∠ACE，

∵CD⊥AD，

∴∠B+∠BCD=90°，

∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD.∵∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=3∠A，又∠ADC=90°，∴∠A=22.5°∴∠ECD=∠ACD-∠ECA=67.5°-22.5°=45°10.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=DA=BC=CD，∵BM=DN，

∴AM=AN，∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN是平行四边形，又AM=AN，所以AMEN是菱形.同理可证EFCG是菱形.11.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB与点H，求DH的长.解：∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD，AO=AC=4BO=BD=3，∴AB==5，∵S△ABD=S菱形ABCD=∴AB·

DH=12，

∴DH=12.（1）如下图（1），四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0,0），（b，0），（0，d），求点C的坐标.

解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∴OD=BC，OB=DC，且CD⊥OD，CD垂直OB.∵D（0，d），B（b，0），∴C（b，d）（2）如下图（2），四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是（c，0）（0，d），点A，B在坐标轴上，求A，B两点的坐标.解：（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，∵C（c，0），∴A（-c，0），∵D（0，d），∴B（0，-d），（3）如下图（3），四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别为（0，0），（0，d）.求B，C两点的坐标.解：（3）∵四边形OBCD为正方形,∴OD=DC=BC，且CB⊥OB，CD⊥DO，又∵D（0，d），∴B（d，0），∴C（d，d）.13.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证明你的结论.解：四边形EFMN是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，又AE=BF=CM=DN，∴AN=DM=CF=BE，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，∴EN=NM=MF=FE，∴四边形EFMN为菱形.∵∠BFE+∠BEF=90°，∴∠BEF+∠AEN=90°。∴∠NEF=90°，∴四边形EFMN为正方形.14.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形.用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长.解：能拼成三种平行四边形.（1）如图1的矩形.其对角线长为m.（2）如图2的平行四边形，其两条对角线长分别为n，（3）如图3的平行四边形，其两条对角线的长分别为h，拓广探索15.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°