2023人教版·文科数学新课标高考总复习专项演练：第十一章 概率 11-3 高考数学考点难点分析

11-3A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【解析】取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选C.【答案】C2．设p在0，5]上随机地取值，则方程x2＋px＋eq\f(p,4)＋eq\f(1,2)＝0有实根的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)【解析】一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)＋\f(1,2)))＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝eq\f([0，5]∩{（－∞，－1]∪[2，＋∞）}的长度,[0，5]的长度)＝eq\f(3,5).【答案】C3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)【解析】由于倾斜角范围为0，π)，故当0≤n≤8时，集合A中共有9个解，分别为0，eq\f(π,9)，eq\f(2π,9)，eq\f(3π,9)，eq\f(4π,9)，eq\f(5π,9)，eq\f(6π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(8π,9).其中当α为eq\f(5π,9)，eq\f(6π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(8π,9)时，此时α为钝角，直线l的斜率小于零．故直线l的斜率小于零的概率P＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)7．(2015·安徽阜阳二模)一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距台风中心不超过rkm的位置都会受其影响，且r是区间5，10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是________．【解析】以O为圆心，r为半径作圆，易知当r>5eq\r(2)时，轮船会遭受台风影响，所以P＝eq\f(10－5\r(2),10－5)＝eq\f(10－5\r(2),5)＝2－eq\r(2).【答案】2－eq\r(2)8．在区间1，5]和2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．【解析】∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】∵去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16)，∴不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)10．(2016·长沙模拟)已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间1，6]上取值，求满足a·b<0的概率．【解析】(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故满足a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)若x，y在连续区间1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为eq\f(21,25).B组专项能力提升(时间：15分钟)11．(2014·湖北)由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)【解析】如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(S四边形OACD,S△OAB)＝eq\f(2－\f(1,4),2)＝eq\f(7,8).【答案】D12．(2016·上饶模拟)一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是()A.eq\f(π,180)B.eq\f(π,150)C.eq\f(π,120)D.eq\f(π,90)【解析】屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2).故苍蝇被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).【答案】C13．(2014·辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．【解析】正方形内空白部分面积为eq\a\vs4\al(∫eq\o\al(1,－1))x2－(－x2)]dx＝eq\a\vs4\al(∫eq\o\al(1,－1))2x2dx＝eq\f(2,3)·x3eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,－1))＝eq\f(2,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，阴影部分面积为2×2－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，所以所求概率为eq\f(\f(8,3),4)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)14．(2014·福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．【解析】由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2eq\a\vs4\al(∫eq\o\al(1,0))(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(1,0)＝2e－e－(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概