随机过程 第二章

随机过程第二章第一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四§2.1随机过程的定义在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变量，记为．

不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进第二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四行长时间的测量，并把结果自动记录下来，这作为一次试验结果，便得到一个电压--时间函数（即电压关于时间的函数）,如下图，这个电压--时间函数是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的，事实上，由于热骚动的随机性，在相同条件下每次测量都将产生不同的电压--时间函数．这样不断地独立重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压—时间函数，这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压．

第三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

称为参数集或参数空间,称为参数,一般表示时间或空间.

参数集通常有以下形式:当参数集为形式⑴时,随机过程也称为随机序列第五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四则2）若

3）若

则中的是指事件域或域即满足：第六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四说明:设为一S.P.1.,实质上为定义在上的二元单值函数.2.对每一个固定的为一随机变量时.该随机变量所有可能取值的集合,称为随机过程的状态空间.记为中的元素称为状态.3.对每一个确定的是定义在上的普通函数.记为,称为随机过程的一个样本函数.也称轨道或实现.样本函数的图形称为样本曲线．第七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四它的样本曲线与状态如下图所示考察时间内某电话交换台收到的呼叫次数，则是与有关系的随机变量．此时是与时间有关系的随机变量,于是是随机过程．如果要长时间内考察电话台的呼叫次数,则需要让变化起来，即趋于无穷大，则是一族随机变量．例2.2:第八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

tX(t)tt0状态X(t0)=4状态X(t0)=5样本曲线x1(t)x1(t)x2(t)样本曲线x2(t)状态空间S={0,1,2,….},T=[0,+∞)第九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例２.3具有随机初位相的简谐波其中为常数，服从上的均匀分布.由于初位相的随机性，在某时刻是一个随机变量．若要观察任一时刻的波形，则需要用一族随机变量描述.

则称为随机过程．第十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四tX(t)样本曲线x1(t)样本曲线x2(t)t0状态X(t0)状态X(t0)例2.4样本曲线与状态状态空间,参数集第十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四1．状态空间离散，参数集离散的随机过程，称为随机序列．２．状态空间离散，参数集连续的随机过程．３．状态空间连续，参数集离散的随机过程．４．状态空间连续，参数集连续的随机过程．

§2.2随机过程的分类和举例第十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四１．一维分布函数２．二维分布函数4．有限维分布函数族§2.3随机过程的有限维分布函数族３．维分布函数第十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四1.一维分布函数2.二维分布函数对任意t∈T,X(t)为一随机变量.称其分布函数F

(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.对任意固定的t1,t2∈T,X(t1),X(t2)为两个随机变量.称其联合分布函数F

(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2),x1x2∈R为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.设{X(t),t∈T}是S.P.第十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四3.n维分布函数

对任意固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)为n个随机变量.称其联合分布函数F

(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2…X(tn)≤xn)x1x2,…,xn∈R为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.定义称随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数,二维分布函数,…,n维分布函数,…,的全体为随机过程的有限维分布函数族.注:有限维分布函数族能够描述随机过程的统计特性.第十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四5．性质(1)对称性设是的任一排列，则第十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(2)相容性设,则第十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四柯尔莫歌洛夫定理以设满足对称性和相容性,则存在及定义在上的随机过程且随机过程为其有限为分布族第十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.5设，其中相互独立同服从正态分布，求的一维和二维分布．第十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.6设，其中是，而且具有概率分布

求(1)一维分布函数(2)二维分布函数A123P1/31/31/3第二十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.7

设随机过程X(t)=Vcosωt,t∈(-∞,+∞),其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.⑴确定{X(t),t∈(-∞,+∞)}的两个样本函数.⑵求t=0,t=3π/4ω时,随机变量的概率密度函数.⑶求t=π

∕2ω时X(t)的分布函数.

第二十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程已知出现正面与反面的概率相等.⑴求X(t)的一维分布函数F(1/2;x),F(1;x).⑵求X(t)的二维分布函数F(1/2,1;x1,x2).第二十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四六．有限维特征函数

1.准备（Stieltjes)积分

定义1

设f(x),g(x)是定义在[a,b]上的两个有界函数,对[a,b]的任一划分a=x0<x1<…<xn=b,记△=max{△xk}，任取

ξk∈[xk-1,xk],k=0,1,…,n.作和第二十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四若极限存在,且与[a,b]的分法及则称此极限为f(x)对函数g(x)在[a,b]上的Stieltjes积分.简称S积分.也称f(x)对g(x)在[a,b]上S可积.记注：S积分与R积分仅在作积这一步不同，R积分是S积分的特例ξk的取法无关.第二十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义2

设f(x),g(x)是定义在(-∞,+∞)上的两个函数,若在任意有限区间[a,b]f(x)对g(x)在[a,b]上S可积,且存在则称此极限为f(x)对g(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的Stieltjes积分.记第二十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四关于Stieltjes积分有如下性质⑴当g(x)为跳跃函数,且在xi(i=1,2,…)具有跃度pi时有⑵当g(x)存在导数g´(x)时,有利用Stieltjes积分可以统一离散型r.v.与连续型r.v.(或随机变量函数)的数学期望定义.如下

第二十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义设随机变量X的分布函数为F(x),若则X的期望为并有以下结论第二十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(1)设v.r.X的分布函数为F(x),y=g(x)是连续函数,若则v.r.Y=g(X)的期望为第二十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(2)一般设v.r.(X1,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn),g(x1,x2,…,xn)为连续函数.若则v.r.Y=g(X1,X2,…,Xn)的数学期望存在.且第二十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义1设随机变量的X的分布函数F(x),则称为随机变量X的特征函数.几点说明(2)一些重要分布的特征函数因为对任意t∈T,有|ejtx|=1,故E[ejtx]总存在.单点分布(1)特征函数总是存在的.P(X=c)=1,

c常数.则2.随机变量的特征函数第三十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四则特征函数二项分布k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.第三十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四Poisson分布k=0,1,2,…,

λ>0则特征函数第三十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四均匀分布r.v.X～U(a,b],密度函数为则特征函数正态分布r.v.X～N(µ,σ2),密度函数为第三十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四则特征函数特别X～N(0,1)时第三十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四指数分布r.v.X服从参数为λ(>0)的指数分布,概率密度为则特征函数第三十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(3)特征函数的性质a.设a,b,为常数，Y=aX+b,则b.若X与Y相互独立，则c.若r.v.X的n阶矩存在，则它的特征函数n次可导，且对第三十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(4)随机变量的分布函数与其特征函数相互唯一确定唯一性定理：在特征函数绝对可积的条件下，概率密度函数与特征函数构成一对Fourier变换．Bochner-辛钦：特征函数的充要条件是特征函数连续非负定且f(0)=1.第三十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义2

设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn),则称为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质第三十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义3(S.P.的有限维特征函数)设{X(t),t∈T}是一个S.P.对于固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n个随机变量,称为S.P.{X(t),t∈T}的n维特征函数.(ui∈R,i=1,2,…,n)第三十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四3．S.P.的有限维特征函数族

称为随机过程

的有限维特征函数族．第四十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四特征函数应用举例:第四十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第四十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四随机过程的数字特征有限维分布函数族虽然能够完整描述随机过程的统计特征,但是在实际中很难得到.因此,如同随机变量一样,也用数字特征来表征随机过程.即将随机变量的数字特征推广到随机过程中.但要注意其区别:随机过程的数字特征不再是确定的数,而是确定的时间的函数.第四十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四§4随机过程的数字特征

在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律.设是一是一个如果存在，记为则称为的均值函数即第四十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四２．随机过程的方差函数

设是一是一个如果存在，记为则称为的方差函数．称为过程

的均方差函数.第四十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四３．随机过程的协方差函数设是一是两个如果存在，记为则称为的协方差函数．第四十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四４．随机过程的相关函数为设是一是两个如果存在，记则称为的相关函数．５．随机过程的均方值函数设是一是一个如果存在，记为则称为的均方值函数．第四十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四６．随机过程的数字特征的关系随机过程的协方差函数、相关函数和均方值函数的关系为由此可以看出,随机过程的均值函数和相关函数是我们重点要掌握的数字特征重点研究内容第四十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四设，其中是常数，相互独立，同服从，试求数字特征．例2.9第四十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.10设其中是常数，试求的数字特征．第五十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四解第五十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第五十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

例2.11利用抛硬币的试验定义一个随机过程求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数.第五十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

例2.12设随机过程其中β是正常数,随机变量A与Θ相互独立,A～N(0,1),Θ～U(0,2π).试求过程的均值函数和相关函数.第五十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四解随机变量函数的数学期望公式第五十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.13设S.P.X(t)=Acosωt+Bsinωtt≥0,ω为常数.A,B相互独立,同服从正态分布N(0,σ2)求该过程的数字特征.解第五十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四五两个随机过程的联合分布和数字特征在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者两个以上的随机过程.例如:一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能同为随机过程.同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出的关系等.第五十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四§5两个随机过程的联合分布和数字特征

二维S.P.是设和两个为二维称第五十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义对于任意的是m+n维随机变量，称为二维随机过程

的m+n维分布函数．第五十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义称分别为二维随机过程

关于和关于的ｍ维边缘分布函数和ｎ维边缘分布函数．第六十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义如果对任意的

那么称随机过程

有和相互独立．第六十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

二维随机过程的数字特征１互相关函数定义设

是二维S.P.,

对是两个r.v.．为的互相关函数．存在，记为则称如果第六十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四２互协方差函数关系如果存在，记为则称为的互协方差函数．第六十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四和是两个S.P.，如果或则称定义设和不相关．第六十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四§6复随机过程

定义设和是定义在同一概率空间上的两个实随机过程，令则称为复随机过程．第六十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四1均值函数则２方差函数则定义设为复随机过程．的均值函数．为复随机过程为复随机过程的方差函数．第六十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四３（自）协方差函数则为随机过程

４（自）相关函数则为随机过程

的自协方差函数．的自相关函数．第六十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四５均方值函数则为随机过程

的均方值函数．第六十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四复随机过程数字特征之间的关系：第六十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定义设和是两个复S.P.，称为和的互协方差函数.称为和的互相关函数．第七十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.14设

，其中是正常数，ｎ为固定的正整数，是相互独立的随机变量，且，求的均值函数与相关函数．第七十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第七十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

例2.15已知实随机过程X(t)具有自相关函数RX(s,t),令

Y(t)=X(t+a)－X(t)

求RY(s,t).

第七十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四取s=t,则有解

先求出X(t)与Y(t)的互相关函数将(1)式代入(2)式,得第七十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四七几类重要的随机过程之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类.随机过程可以按照不同的标准进行分类.本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要的随机过程:◆

二阶矩过程◆正态过程◆正交增量过程◆独立增量过程◆Wiener过程◆Poisson过程第七十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四§7几类重要的随机过程

1二阶矩过程定义设是随机过程，如果则称是二阶矩过程.第七十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(1)相关理论:只考虑S.P.的均值函数与相关函数，而不考虑S.P.的有限维分布函数的理论．(2)二阶矩过程的均值函数和相关函数必然存在说明：第七十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四Cauchy-Schwarz不等式第七十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第七十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四（1）共轭对称性：（2）非负定性：即对定理设是二阶矩过程，则相关函数具有以下性质：和有：第八十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明第八十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明第八十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第八十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四2.正态过程补充:n维正态随机变量分布及性质第八十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第八十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四2正态过程如定义设是一随机过程，果对和是n维正态随机变量，则称为正态过程或高斯过程．第八十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四2正态过程是二阶矩过程．3正态过程的有限维分布由它的均值函数和协方差函数完全确定．说明1若是一族正态随机变量,但不一定是正态过程.第八十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四4正态过程在随机过程的重要性，类似于正态随机变量在概率论中的地位．第八十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.16设，其中相互独立，且都服从正态分布

是正态过程，并求它的有限维分布．的随机变量，是常数.试证明第八十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四3正交增量过程定义设是二阶矩过程，如果对任意的有则称为一正交增量过程.第九十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四注：若T取为有限区间

则对有特别的，当

时，有第九十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

性质是单调不减函数.设是正交增量过程，且则第九十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四4独立增量过程（I.I.p.)定义

设

是一随机过程，如果对和是相互独立的随机变量，则称是独立增量过程．第九十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四如果对于的分布仅依赖于而与本身取值无关，则称为平稳增量过程．如果既是平稳增量过程，则称为平稳的独立增量过程．独立增量过程，又是第九十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

性质定理独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确定．

第九十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明思路

由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应.只需证独立增量过程的有限维特征函数由其一维特征函数和增量特征函数确定．第九十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四的特征函数作变换证明：第九十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四则相互独立，且于是第九十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第九十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第一百页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四

不相重叠的时间区间上随机过程增量的统计相依性来定义的，前者增量是互不相关，后者增量是相互独立．关系正交增量过程不是独立增量过程，而独立增量过程只要有二阶矩存在，且均值函数恒为零的条件下是正交增量过程．正交增量过程与独立增量过程都是根据注第一百零一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四５Wiener过程

定义是平稳的独立增量过程．称实随机过程

是参数为的Wiener过程，如果第一百零二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定理设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则证明(1)由定义,显然成立.(2)由(1)易知有第一百零三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则独立性第一百零四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定理二Wiener过程是正态过程．第一百零五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则对任意的n≥1,以及任意的{W(t1),W(t2),…,W(tn)}是n维随机变量由Wiener过程的定义知相互独立所以是n维正态随机变量.第一百零六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四又由于所以是n维正态变量.所以{W(t),t≥0}是正态过程.第一百零七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四6、Poisson过程交通中事故流；…定义：如果表示直到t时刻为止发生的随机事件数,称实随机过程是计数过程(Countingprocess)。

在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题如：电话交换机上的呼唤流；编码（密码）中的误码流；均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,…第一百零八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四计数过程应满足：(1)(2)是非负整数(3)

(4)

表示时间间隔发生的随机事件数．)t)s一类很重要的计数过程是Poisson过程.第一百零九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(2)Poisson过程是平稳的独立增量过程服从参数是分布，即的Poisson定义：称计数过程是参数（强度，比率）为的Poisson过程，如果第一百一十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四性质:设是参数为的Poisson过程，则第一百一十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四称λ为事件的到达率λ是单位时间内事件出现的平均次数.因泊松过程{N(t),t≥0)是平稳独立增量过程，不妨设t>s>0

R(s,t)=E{N(t)N(s)}=E{N(s)[N(t)－N(s)+N(s)]}N(t)～P(λt).证：第一百一十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四=E{N(s)[N(t)－N(s)]}+E[N2(s)]

=E{N(s)}E{N(t)－N(s)}+E[N2(s)]C(s,t)=λmin(s,t)R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.一般地有第一百一十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四平稳性由定义第一百一十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四Poisson过程的等价定义称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果：等价性证明见教材56①②③④第一百一十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四平稳增量1o

由条件(2)～(4)，得：

Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝=P{N(t)=0}P{N(t+h)－N(t)=0}增量独立=Po(t)[1－λh+o(h)]第一百一十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四2o

当n≥1,根据全概率公式有

t](t+h]第一百一十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四两边同乘以eλt

后移项整理得当n=1,则第一百一十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四代入(2)式有第一百一十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四利用初始条件

对一切n≥0均成立.定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：定义2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件：(1)

N(0)=0；(2)

N(t)是独立增量过程；第一百二十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四(3)对一切0≤s<t,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即注特别有第一百二十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.17设{N(t),t≥0)是参数为λ的泊松过程,事件A在(0,τ)时间区间内出现n次，试求:P{N(s)=kN(τ)=n},0<k<n,0<s<τ第一百二十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第一百二十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四1)令X(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,求X(t)的均值函数和相关函数.2)证明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是强度为λ1+λ2的泊松过程.3)证明X(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,不是泊松过程.例2.18设N1(t)和N2(t)分别是强度为λ1和λ2的相互独立的泊松过程,第一百二十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第一百二十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,3)X(t)=N1(t)－N2(t)的特征函数为独立和的特征函数由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知X(t)不是泊松过程.是强度为λ1+λ2的泊松过程.第一百二十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，则N(t)表示时间区间[0,t)内到达的随机点数.到达时间(序列)表示第i个随机点的到达时刻,则称为Poisson过程的到达时间序列.第一百二十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四到达时间间隔(序列)它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到达时间间隔,则称为Poisson过程的到达时间间隔(序列)第一百二十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四显然有关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论第一百二十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定理

(到达时间间隔分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，是其到达时间间隔序列，则是相互独立同服从参数为λ的指数分布．证明独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程所以相互独立.第一百三十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四下证同分布T1,T2的独立性平稳性第一百三十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四T1,T2…Tn的独立性平稳性得证第一百三十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四该定理的逆命题成立第一百三十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定理(到达时间序列分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间服从Γ分布,密度为证明的分布函数第一百三十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第n个随机点的到达时刻再求导数第一百三十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明,见教材第一百三十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四爱尔朗分布第一百三十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四Poisson过程中到达时间的条件分布问题:设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果在[0，t)内仅有一个随机点到达,τ是其到达时间,则该随机点的到达时间τ服从怎样的概率分布?第一百三十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四如果在[0，t)内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间τ服从[0,t]上的均匀分布.即事实上,s<t时,有第一百三十九页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四更一般有以下问题设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,如果在[0,t)内有n个随机点到达，则n个到达时间服从怎样的概率分布??第一百四十页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四定理

设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,如果在[0,t)内有n个随机点到达，则n个到达时间和n个相互独立同服从[0,t]上的均匀分布的随机变量U1,U2,…,Un的顺序统计量

即第一百四十一页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四顺序统计量：是简单随机子样，对有样本值是数值，对它可以排序，是的样本值．这样得到的称之为顺序统计量．第一百四十二页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四的联合概率密度函数为：其他的联合概率密度函数为：其他第一百四十三页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明思想：什么是概率密度：对本定理，即要证：第一百四十四页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四证明第一百四十五页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第一百四十六页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四第一百四十七页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四例2.19假设乘客按照参数为λ的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻t启动，试求在[0,t]内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望．第一百四十八页，共一百六十六页，编辑于2023年，星期四解：设是第ｋ个乘客到达火车站的时刻则其等待时间为从而在[0,t]内到达火车站的乘客的等待时间总和为