离散控制系统的经典法设计

第12章离散控制系统的经典法设计吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统当前第1页\共有42页\编于星期三\7点主要内容概述控制系统的离散化方法PID控制器及其算法当前第2页\共有42页\编于星期三\7点12.1概述数字控制器的设计大体上分成两大类：经典法设计和状态空间法。经典法设计可分两种方法：离散化法和直接法。离散化法则是先设计连续系统的控制器，然后通过某种离散化方法转化成数字控制器，这种方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹法、W平面的伯德图法等等。当前第3页\共有42页\编于星期三\7点12.2控制系统的离散化方法前向差分法；后向差分法；双线性变换法；脉冲响应不变法；阶跃响应不变法；零、极点匹配法等六种方法。当前第4页\共有42页\编于星期三\7点前向差分法已知控制器的传递函数为传递函数转化成微分方程再将微分方程改写成积分形式=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积

当前第5页\共有42页\编于星期三\7点前向差分法（续1）由差分方程求其Z变换

脉冲传递函数当前第6页\共有42页\编于星期三\7点前向差分法（续2）比较s与z的关系得：故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数D(s)中的s用代替即可。必须强调用前向差分关系将连续控制器离散化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很少应用。当前第7页\共有42页\编于星期三\7点后向差分法推导过程同前向差分法，只是变为后向矩形积分。脉冲传递函数比较s与z的关系得：连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化后，离散系统一定稳定。当前第8页\共有42页\编于星期三\7点双线性变换法推导过程同前向差分法，只是变为梯形积分。对上式取Z变换

脉冲传递函数当前第9页\共有42页\编于星期三\7点双线性变换法（续1）比较s与z的关系得：该变换保证系统的稳定性不改变。三种变换关系总结如下：当前第10页\共有42页\编于星期三\7点前三种方式的稳定性讨论1.前向差分z与s的关系

令︱z︱为1，对应s平面为一个圆，则以1/T为半径的极点映射到Z平面单位圆内。

对于整个S左半平面映射Z平面是1为边缘的整个Z平面。

当前第11页\共有42页\编于星期三\7点前三种方式的稳定性讨论（续1）2.后向差分z与s的关系可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心，1/2为半径的圆，s左半平面映射到圆内。当前第12页\共有42页\编于星期三\7点前三种方式的稳定性讨论（续2）3.双线性变换z与s的关系

z的模为1，可见为单位圆

当前第13页\共有42页\编于星期三\7点三种变换法的运用举例例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线性变换法将传递函数离散化成脉冲传递函数。解：(1)三种变换法的离散化①前向差分法当前第14页\共有42页\编于星期三\7点三种变换法的运用举例（续1）②后向差分法③双线性变换法当前第15页\共有42页\编于星期三\7点三种变换法的运用举例（续2）通过转换成脉冲传递函数对应的极点(2)三种变换法的稳定性①前向差分法极点在单位圆外，系统不稳定。当前第16页\共有42页\编于星期三\7点三种变换法的运用举例（续3）②后向差分法极点在单位圆内，系统是稳定的。当前第17页\共有42页\编于星期三\7点三种变换法的运用举例（续4）③双线性变换法极点在单位圆内，系统是稳定的。通过这三种方法得到的离散化结果与通过的数学关系的离散化结果比较，双线性变换法更接近准确值。当前第18页\共有42页\编于星期三\7点阶跃响应不变法使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与连续控制器的阶跃响应采样值相等。设D(z)为离散控制器，D(s)为连续控制器。即当前第19页\共有42页\编于星期三\7点脉冲响应不变法离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连续控制器的脉冲响应采样值相等。T是补偿采样引进的1/T因子。例12.2已知连续控制器的传递函数

试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续控制器离散成数字控制器。解：(1)阶跃响应不变法当前第20页\共有42页\编于星期三\7点阶跃脉冲响应不变法举例(2)脉冲响应不变法当前第21页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。映射规则如下：(1)D(s)的全部有限零点和极点按照映射到Z平面。(2)D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为z=-1。(这是近似映射关系)解释如下：当前第22页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法（续1）相当于jω轴上从0到π/T这段对应于Z平面从z=1到z=-1的半个单位圆。当ω=ωs/2=π/T时，该ω是信号的最高频率，高于此频率则不满足采样定理。另外通常D(s)具有低通特性，即因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z)的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一个s→∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个(z+1)因子，有两个s→∞的零点，在D(z)的分子上补一个(z+1)2，以此类推。当前第23页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法（续2）(3)让数字控制器的增益在某一主频处与模拟控制器的增益匹配，即①若D(s)具有低通特性则令②若D(s)具有高通特性则令③若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性则在一个特殊频率处令当前第24页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法举例例12.3已知连续控制器的传递函数

试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数字控制器。解：(1)将连续系统的有限零极点映射到Z平面①有限零点②有限极点当前第25页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法举例（续1）(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应于D(z)分子上的(z+1)因子。当前第26页\共有42页\编于星期三\7点零极点匹配等效法举例（续2）(3)匹配增益因子通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递函数为：当前第27页\共有42页\编于星期三\7点六种离散化方法的特点设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极点匹配映射法和双线性变换法较好。1.前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。2.后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别，采用高采样率可减少这种差别。3.脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频率混叠问题，只适用于连续控制器具有陡峭的衰减特性，且为带限信号的场合。当前第28页\共有42页\编于星期三\7点六种离散化方法的特点（续1）4.阶跃响应不变法：相当于连续环节串联一个零阶保持器后取Z变换常用来求取控制系统的对象或其他环节的离散等效。无稳定性问题。5.双线性变换法：无稳定性问题，导至频率特性的严重畸变，在伯德图的设计中或系统要求较高时，则要对变换式进行修正。6.零极点匹配等效法：无稳定性问题，这种映射有较好的逼近特性，首推此法。当前第29页\共有42页\编于星期三\7点12.3PID控制器的基本原理当前第30页\共有42页\编于星期三\7点PID控制器的离散化表示连续域描述PID控制器的微分方程通过后向差分法离散化：其中Ki为积分系数，Kd为微分系数当前第31页\共有42页\编于星期三\7点PID控制器的两种形式(1)位置式PID上页公式数字控制器的控制量u(k)与执行机构的阀门开启位置一一对应，因此叫位置式PID算式(2)增量式PID优点是改善积分饱和，手动自动切换冲击小，系统超调减少，动态时间缩短，动态性能改善。当前第32页\共有42页\编于星期三\7点PID控制器的各种算法1.不完全微分PID控制算法误差变化率的大小决定微分控制量的大小，而误差值的绝对大小不影响微分控制量强弱。当突然大幅度改变给定值时，会导至误差突然大幅度改变，引起很大的误差变化率，因此产生很强的微分控制量，在一个采样周期全部输出，使控制系统出现超调和振荡，系统的调节性能下降。当前第33页\共有42页\编于星期三\7点不完全微分PID控制算法（续1）引进不完全微分PID算法，其传递函数如下：其中：U(s)为PID控制器的输出；E(s)为偏差(控制器的输入)；Krp实际的比例放大系数；Tri实际的积分时间常数；Trd实际的微分时间常常数。微分项为：比例和积分项为：当前第34页\共有42页\编于星期三\7点不完全微分PID控制算法（续2）不完全微分PID算式的差分方程为：当前第35页\共有42页\编于星期三\7点积分分离PID算法积分控制是通过对误差的积分产生控制量来提高控制精度，但是当偏差很大时，投入积分控制会带来负作用，这时由积分项产生的控制量将很强，导致系统长时间的超调和大幅度的振荡，产生积分饱和。数字控制系统中要消除这种现象，可以采用积分分离的方法解决，当误差很大时，不投入积分，当误差比较小时加入积分，改善系统的稳态控制精度，可以设定一个阀值a，按照下边方式控制。当前第36页\共有42页\编于星期三\7点变速积分PID算法积分控制应该是误差大时减小积分作用，防止超调和积分饱和，误差小时，加强积分迅速减少稳态误差，提高系统的控制精度。设置积分系数是误差的函数，即f(e(k))变速积分PID的积分项为当前第37页\共有42页\编于星期三\7点变速积分PID算法（续）总的变速积分PID算式(1)能完全消除积分饱和；(2)减少超调量，稳定性得到改善；(3)能适应较复杂的情况；(4)参数整定简单，参数之间相互影响小。(5)积分分离控制属于开关控制，而变速积分控制连续性好，且控制平稳。优点：当前第38页\共有42页\编于星期三\7点带死区的PID算式在计算机控制系统中，为了防止执行机构频繁动作，引起系统的不稳定则可以采用带死区的PID控制算式特点是当系统对稳态控制精度要求不很高，如液位控制等。当前第39页\共有42页\编于星期三\7点本章小结本章首先介绍了控制系统的六种离散化方法：前向差分法、后向差分法、双线性变换法、阶跃响应不变法、