演示文稿高等代数线性变换

（优选）高等代数线性变换ppt当前第1页\共有169页\编于星期二\11点，§1线性变换的定义一、线性变换的概念定义

线性空间V到其自身的映射称为线性空间V的一个变换.当前第2页\共有169页\编于星期二\11点定义

设V是数域P上的n维线性空间,

A:V®V为V的一个变换,若对任意a,bÎV

和数kÎP,都有

A(a+b

)=A(a)+A(b)A(ka)=kA(a)

则称A是线性空间V的一个线性变换.(lineartransformation).

称A(a)或Aa为向量a在线性变换A下的象(image)．当前第3页\共有169页\编于星期二\11点例1

(1)

设A:V

®

V,若关于任意aÎV,都有A(a)=0,则称A

为零变换,记作O.

(2)

设A:V®V,若关于任意aÎV,都有A(a)=a,

则称A

为恒等变换,(identitytransformation),记作E.注

零变换和恒等变换都是线性变换.

当前第4页\共有169页\编于星期二\11点例2

设A:

V®V,k是数域P中常数。定义

A(a)=

k

a,"aÎV则

A

是

V的一个线性变换。因为

A(a+b)=k(a+b)=ka+kb=A(a)+A(b)A(la)=k(la)=l(ka)=lA(a)通常称上述变换为数乘变换或位似变换.用K表示.

当k=0时，K为零变换O；

当k=1时，K为恒等变换E．当前第5页\共有169页\编于星期二\11点例3

设rq是把平面上的向量绕坐标原点反

时针旋转q角的变换.设a

=(x,y)T,rq

(a)=

(x’,y’)T,则(因为x’=|rq

(a)|cos(j+q

)

=

|rq

(a)|(cosjcosq

-

sinjsinq

)

=xcosq

-ysinq

同样

y’=

xsinq+

ycosq

)。当前第6页\共有169页\编于星期二\11点记

A=

则rq(a)=

Aa，称为旋转变换.可以证明旋转变换

rq是一个线性变换。（如何证明？）

当前第7页\共有169页\编于星期二\11点例4

设A:R3®R3,"a

=(a1,a2,a3),

定义A(a)=(a1,a2,0),

易证A是线性变换.它是把向量a投影到平面Oxy上,称为投影变换例5

设A:R2®R2,a

=(a1,a2),定义

A(a)=(a1,-a2),

则A是线性变换,称为镜面反射或反射变换.当前第8页\共有169页\编于星期二\11点

例6

线性空间P[x]或Pn[x]中,定义D为

求导数的变换，即

D

(f(x))=f’(x)

"f(x)

Î

Pn[x]D是一个线性变换，称为微分变换.例7

闭区间[a,b]上所有连续函数全体组成实数域R上的线性空间C0(a,b).

定义变换

J(f

(x))

=

则J是一个线性变换.当前第9页\共有169页\编于星期二\11点二、线性变换的简单性质1、设A是线性空间V的一个线性变换,则

A(0)=0,A(-a)=

-

A(a)2、线性变换保持向量的线性组合与线性关系式不变.即若

b

=k1a1+k2a2+…+ksas

则

A(b)=k1A(a1)+k2A(a2)+…+ksA(as)当前第10页\共有169页\编于星期二\11点3、线性相关的向量组经线性变换后其象向量组仍线性相关．即a1,，

a2，…，as线性相关则

A(

a1,)，A(a2)，…，A(as)也线性相关当前第11页\共有169页\编于星期二\11点注

线性无关向量组的象向量组未必线性无关．即a1，a2，…，as

线性无关推不出

A(a1)，A(a2)，…，A(as)也线性无关。当前第12页\共有169页\编于星期二\11点§2线性变换的运算设V是数域P上的线性空间,V的所有线性变换的集合记作L(V).

设A,B

Î

L(V)，若对于所有的aÎV，都有A(a)=

B(a)，则说A,B

是相等的，记作A

=

B

．

下面在L(V)中引入乘法、加法、数乘运算．当前第13页\共有169页\编于星期二\11点一、线性变换的乘法及其性质设A,BÎL(V),定义A与B

的乘积为V

的一个变换,"aÎV,有

(AB)(a)=A(B(a))．1.AB

也是线性变换．证因为"a,bÎV和"k,

lÎP,有

(AB)(ka+lb)=A(B(ka+lb))

=

A(kB(a)+lB(b))=

A(kB(a))+A(lB(b))

=kA(B(a))+lA(B(b))

=

k(AB)(a)+l(AB)(b)．当前第14页\共有169页\编于星期二\11点2、乘法适合结合律,即

(AB)C

=A(BC)

因为映射的合成满足结合律3、乘法不满足交换律,即一般地

AB

¹

BA

如求微分变换D与求积分变换J,有

DJ=

E,但一般地

JD¹

E4、单位变换的作用

AE=

EA=

A5、零变换的乘法

OA=AO=

O

当前第15页\共有169页\编于星期二\11点二、线性变换的加法及其性质

设A,BÎL(V),定义A与B的和为V的一个变换,使"aÎV,有

(A+B)(a)=A(a)+B(a)．1、A+B

也是V的一个线性变换．

因为对于所有的a,bÎV和数k，lÎP,有

(A+B)(ka+lb)=

A(ka+lb)+B(ka+lb)

=kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b)

=k(A+B)(a)+l(A+B)(b)

当前第16页\共有169页\编于星期二\11点2、(1)交换律

A+B=B+A

(2)结合律

(A+B)+C=A+(B+C)

(3)零变换

A+O=A

(4)负变换

A+(-A)=O

其中

(-A)(a)=-A(a),从而

(A-B)=(A+(-B))3、分配律

A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC当前第17页\共有169页\编于星期二\11点三、线性变换的数量乘法及其性质

设AÎL(V),

kÎP,定义k与A的数量乘

积为V的一个变换,使得

kA=KA

其中K为由k决定的数乘变换,即"a

ÎV

(kA)(a)=(KA)(a)=K(A(a))．1、kA也是线性变换．

当前第18页\共有169页\编于星期二\11点2、(1)1的数乘

1A=A

(2)数乘结合律

(kl)A=k(lA)

(3)数乘分配律

(k+l)A=kA+lA

(4)数乘分配律

k(A+B)=kA+kB定理

L(V)对于如上定义的加法与数量乘法构成数域P上的线性空间．当前第19页\共有169页\编于星期二\11点四、线性变换的逆变换

V的变换A称为可逆的,如果存在V的变换B,使

AB=BA=E

这时,变换B称为A的逆变换,记为A-1.可逆线性变换A的逆变换A-1也是线性变换当前第20页\共有169页\编于星期二\11点可逆线性变换A的逆变换A-1也是线性变换A-1(ka+lb)=

A-1[k(AA-1)(a)+l(AA-1)(b)]

=

A-1[A(kA-1(a))+A(lA-1(b))]

=

A-1[A(kA-1(a)+lA-1(b))]

=

(A-1A)(kA-1(a)+lA-1(b)）

=

kA-1(a)+lA-1(b)

当前第21页\共有169页\编于星期二\11点五、线性变换的多项式

An

=AA…A(n个)

规定

A0=E线性变换的幂满足如下指数法则Am+n=AmAn

,(Am

)n=Amn

(m,n³0)当前第22页\共有169页\编于星期二\11点当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为

A-n

=(A-1)n

(n是正整数)

注线性变换乘积的指数法则不成立,即一般地

(AB)n≠AnBn当前第23页\共有169页\编于星期二\11点设

f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a0是P[x]中一多项式,A是V的线性变换,定义

f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E

f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式当前第24页\共有169页\编于星期二\11点若在P[x]中

h(x)=f(x)+g(x)，

p(x)=f(x)g(x)，则

h(A)=f(A)+g(A)，p(A)=f(A)g(A)，特别地，

f(A)g(A)=g(A)f(A).即同一线性变换的多项式的乘法可交换当前第25页\共有169页\编于星期二\11点例在线性空间Pn[l]中,求微商是线性变换,用D表示.显然有

Dn

=O又变量的平移

f(l)|®

f(l+a)(aÎP)也是线性变换,用Sa表示.按Taylor公式

f(l+a)=f(l)+af’(l)+f’’(l)+…

+

f(n-1)(l)因此Sa实质上是D的多项式,即

Sa

=

E+aD+

D2

+…+

Dn-1当前第26页\共有169页\编于星期二\11点§3线性变换的矩阵一、线性变换作用在基上定理设e1,

e2,…,en是线性空间V的一组基,

a1,a2,…,an是V中任意取定的n个向量,则必存在唯一的线性变换A,使得

Aei

=ai

i=1,2,…,n当前第27页\共有169页\编于星期二\11点证

存在性任给a

=k1e1+k2e2+¼+knen,令

A:V

®

V

a|®

k1a1+k2a2+¼+knan则A是线性变换,且因

ei

=0e1+¼+0ei-1

+

ei+

0ei+1+¼+0enAei

=0a1+¼+0ai-1+ai+0ai+1+¼+0an

=

ai当前第28页\共有169页\编于星期二\11点唯一性设有两个线性变换A与B，使

Ae1=Be1,Ae2=Be2,…,Aen=Ben，

则对V中任一向量

a=k1e1+k2e2+¼+knen,

Aa

=

k1Ae1+k2Ae2+¼+knAen,

=k1a1+k2a2+¼+knan

Ba

=

k1Be1+k2Be2+¼+knBen,

=

k1a1+k2a2+¼+knan于是Aa=Ba.

由a的任意性,知

A

=B.当前第29页\共有169页\编于星期二\11点推论设e1,

e2,…,en是线性空间V的一组基,如果V的两个线性变换A与B在这组基上的作用相同,即

Aei=

Bei,则必有

A

=B.当前第30页\共有169页\编于星期二\11点推论设x1,

x2,…,xs是n维线性空间V的一组线性无关向量,

a1,a2,…,as是V中任意取定的s个向量,则必存在线性变换A,使

Axi

=

ai

i=1,2,…,s证将x1,

x2,…,xs扩成V的一组基,再由定理即得.注当s<n时,这样的线性变换不止一个.当前第31页\共有169页\编于星期二\11点注(1)

基向量的象可以是任意指定的.换言之,V中的每一组向量都可作为基向量在适当线性变换下的象.

(2)

一个线性变换被它在一组基上的作用完全决定.亦即,当基向量确定后,这样的线性变换是唯一的.当前第32页\共有169页\编于星期二\11点二、线性变换在一组基下的矩阵

定义设e1,

e2,…,en是数域P上n维线性空间V的一组基,A是V的线性变换,则基向量的象可唯一地被基线性表示为当前第33页\共有169页\编于星期二\11点称矩阵

为线性变换A在基e1,

e2,…,en下的矩阵.当前第34页\共有169页\编于星期二\11点采用矩阵形式记号，可写成

[Ae1,Ae2,…,Aen]

=[e1,e2,…,en

]

=[e1,e2,…,en

]A并记

A[e1,e2,…,en

]=[Ae1,Ae2,…,Aen]则得到

A[e1,e2,…,en

]=[e1,e2,…,en

]A当前第35页\共有169页\编于星期二\11点例1

设V是数域P上n维线性空间,则恒等变换在任一组基下的矩阵都是n阶单位矩阵E;

零变换在任一组基下的矩阵都是n阶零矩阵0;

由k决定的数乘变换在任一组基下的矩阵都是n阶数量矩阵kE.当前第36页\共有169页\编于星期二\11点例2

设P3的线性变换A为

A(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2)取一组基e1=(1,0,0),

e2=(0,1,0),

e3=(0,0,1).则

Ae1=e1

+e3

Ae2=

e2+e3

Ae3=0

,所以在e1,

e2,e3下A的矩阵为当前第37页\共有169页\编于星期二\11点例3

在由所有2阶实方阵所构成的线性空间R2×2

中，对取定的方阵

A0=可以定义变换

A

(X)=A0X，"XÎR2×2由矩阵的乘法性质不难验证，A是R2×2的一个线性变换，当前第38页\共有169页\编于星期二\11点取基

则AE11=aE11+0E12+cE21+0E22AE12=

0E11+aE12+0E21+cE22当前第39页\共有169页\编于星期二\11点AE21=bE11+0E12+dE21+0E22

AE22=0E11+bE12+0E21+dE22因此当前第40页\共有169页\编于星期二\11点例4

在线性空间Pn[x]中取定一组基

e1

=1，e2

=x，e3

=x2，…，en

=xn－1，

D为Pn[x]的微分变换，即

D

(f(x))=f’(x)

"f(x)

Î

Pn[x]

因为

D(e1)=0D(e2)=

e1D(e3)=2e2………D(en)=

(n－1)en－1当前第41页\共有169页\编于星期二\11点所以D

在这组基下的矩阵是:

当前第42页\共有169页\编于星期二\11点定理

设V是数域P上的n维线性空间,e1,

e2,…,en是它的一组基．则V的全体线性变换的集合L(V)和n阶矩阵全体的集合Pn×n之间存在一一对应的关系．亦即，每个线性变换A都对应唯一的一个n阶矩阵A；当前第43页\共有169页\编于星期二\11点反之，任给一个n阶矩阵A，都可以构造唯一的一个线性变换A以矩阵A为A这组基下的矩阵．当前第44页\共有169页\编于星期二\11点定理设V是数域P上的n维线性空间,

1,2,…,n是它的一组基.则V的线性变换和n阶矩阵之间的一一对应有以下性质：

(1)线性变换的和对应矩阵的和；

(2)线性变换的乘积对应矩阵的乘积；当前第45页\共有169页\编于星期二\11点(3)线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积；(4)可逆线性变换对应的矩阵是可逆的；且逆变换对应矩阵的逆矩阵．当前第46页\共有169页\编于星期二\11点证设A与B是两个线性变换,它们在基1,2,…,n下的矩阵分别是A和B，即

A

[1,2,…,n]=[1,2,…,n]AB

[1,2,…,n]=[1,2,…,n]B(1)因为

(A+

B)[1,2,…,n]=A[1,2,…,n]+B[1,2,…,n]

=[1,2,…,n]A+[1,2,…,n]B

=[1,2,…,n](A+B)所以线性变换A+B在基1,2,…,n下的矩阵是A+B。当前第47页\共有169页\编于星期二\11点(2)因为

(AB)[1,2,…,n]=A(B[1,2,…,n])=A([1,2,…,n]B)=(A[1,2,…,n])B=[1,2,…,n](AB)所以线性变换AB在基1,2,…,n下的矩阵是AB．

当前第48页\共有169页\编于星期二\11点(3)因为

(kA)[1,2,…,n]=k(A[1,2,…,n])=k[1,2,…,n]A

=[1,2,…,n](kA)故线性变换kA在基1,2,…,n下的矩阵是kA.当前第49页\共有169页\编于星期二\11点4)

假设

[A1,A2,…,An]=[1,2,…,n]A

若A可逆,记其逆变换为B，B在基1,2,…,n下的矩阵为B.则AB,BA在基1,2,…,n下的矩阵分别为AB,BA.因为AB=BA=E，所以

AB=BA=E，即矩阵A可逆.且A的逆变换B对应的矩阵B是A的逆矩阵。当前第50页\共有169页\编于星期二\11点三、向量的象的坐标现描述任一向量V在线性变换A下的象A与原象在同一基下的坐标间的关系。当前第51页\共有169页\编于星期二\11点定理设线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵是A,向量与A在该基下的坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T和Y=(y1,y2,…,yn)T，则

Y=AX当前第52页\共有169页\编于星期二\11点证由假设

A[1,2,…,n]=[1,2,…,n]A

=x11+x22+…+xnn

=[1,2,…,n]所以

A

=[A1,A2,…,An]

=[1,2,…,n]A

当前第53页\共有169页\编于星期二\11点由假设

A=[1,2,…,n]而1,2,…,n线性无关,所以

=A当前第54页\共有169页\编于星期二\11点四、线性变换在不同基下的矩阵定理设V是数域P上n维线性空间,V的线性变换A在V的两组基1,2,…,n与1,2,,n下的矩阵分别为A和B,从基1,2,…,n到1,2,,n的过渡矩阵是P,则

B=P－1AP当前第55页\共有169页\编于星期二\11点证由于

[1,2,,n]=[1,2,…,n]P又

A[1,2,,n]=A([1,2,…,n]P)=(A[1,2,…,n])P

=[1,2,…,n]AP=([1,2,,n]P－1)AP=[1,2,,n]P－1AP由于线性变换在取定基下的矩阵是唯一的,

可得

B=P－1AP

。当前第56页\共有169页\编于星期二\11点定义设A和B都是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得

B=P－1AP,则称A与B是相似的(similar),记作A~B.

矩阵之间的相似关系满足:(1)自反性：A~A；

(2)对称性：若A~B，则B~A；

(3)

传递性：若A~B,B~C,则A~C.

当前第57页\共有169页\编于星期二\11点性质1.若P-1A1P=B1,P-1A2P=B2,则(1)P-1(A1+A2)P=B1+B2；(2)P-1(A1A2)P=B1

B2；

(3)P-1(kA1)P=kB1．2.若A~B,则

f

(A)~

f(B),其中

f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0

当前第58页\共有169页\编于星期二\11点定理

n维线性空间V的线性变换A在V的不同基下的矩阵是相似矩阵;

反之,如果两个矩阵A和B相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.当前第59页\共有169页\编于星期二\11点证假设B=P－1AP。设A为线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵.

令

[1,2,,n]=[1,2,…,n]P

显然1,2,,n也是一组基,且A在这组基下的矩阵就是B.当前第60页\共有169页\编于星期二\11点例设V是数域P上二维线性空间,1,2是一组基,线性变换A在基1,2下的矩阵是

现在计算A在另一组基1,2下的矩阵,这里

[1,2]=[1,2].当前第61页\共有169页\编于星期二\11点由定理,A在1,2下的矩阵为当前第62页\共有169页\编于星期二\11点由于可计算得当前第63页\共有169页\编于星期二\11点§4特征值与特征向量一、线性变换的特征值与特征向量定义设V是数域P上的线性空间,

A是V的一个线性变换,如果对于数域P中的数0,

存在V中非零向量,使得

A

=0,成立,则称0为线性变换A的一个特征值，非零向量称为线性变换A的对应于(或属于)特征值0

的特征向量．当前第64页\共有169页\编于星期二\11点注

从几何上看,A作用于之上就相当于对特征向量作数乘变换,使之方向相同(0>0),方向相反(0<0),或为0．当前第65页\共有169页\编于星期二\11点例1

设A是线性空间R3中以xOy面为镜面的反射变换．于是A作用于基向量i,j,k的像是

A(i)=i,A(j)=j,A(k)=－k

即A的特征值是1（2重）和－1，xOy面上任意非零向量l1i

+l2j是属于特征值1的特征向量；

形如l3k

(l3

0)

的向量是属于特征值－1的特征向量．当前第66页\共有169页\编于星期二\11点例2

设C(a,b)是区间(a,b)内所有任意次可微实函数所构成的实线性空间,

D是C(a,b)的微分变换，对于每一个，有

D(ex)=ex所以任何实数

都是D的特征值，而ex是属于

的一个特征向量．

当前第67页\共有169页\编于星期二\11点二与矩阵的特征值与特征向量的关系

由于矩阵是一个特殊的线性变换，所以可以定义矩阵的特征值与特征向量。定义设A是数域P上的n

阶方阵。如果对于数域P中的数,存在非零n维(列)向量,使得

A

=

,成立,则称为矩阵A的一个特征值，非零列向量称为矩阵A的对应于(或属于)特征值

的特征向量。当前第68页\共有169页\编于星期二\11点定理设A是n维线性空间V的一线性变换,1,2,…,n是V的一组基.A在此基下的矩阵是A,则

0

是A的特征值,当且仅当0

是A的特征值;

是A的属于特征值0的特征向量,当且仅当在基1,2,…,n下的坐标x=(x1,x2,…,xn)T是A的属于特征值0的特征向量.

当前第69页\共有169页\编于星期二\11点上面定理说明：可通过求矩阵A的特征值和特征向量,来求相应的线性变换的特征值和特征向量.当前第70页\共有169页\编于星期二\11点三、矩阵特征值与特征向量的求法

定义

设A=[aij]是n阶方阵,

是一个文字,矩阵E－A的行列式称为矩阵A的特征多项式当前第71页\共有169页\编于星期二\11点定理

设A是n阶方阵。则（1）0是A的特征值,当且仅当0是A的特征多项式E－A

的根；（2）x0

是A的属于特征值0的特征向量当且仅当

x0是齐次线性方程组

(0E-A)x=0的一个非零解。当前第72页\共有169页\编于星期二\11点线性变换的特征值与特征向量的求法(1)在线性空间V中取一组基1,2,…,n,写出A在这组基下的矩阵A;(2)求出A的特征多项式E-A在数域P中全部的根,也就是线性变换A的全部特征值。当前第73页\共有169页\编于星期二\11点(3)把求得的特征值0逐个代入齐次方程组

(0E-A)x=0,对于每一个特征值0,求出该方程组的一个基础解系,它们就是属于该特征值的几个线性无关的特征向量在基1,2,…,n下的坐标,这样,也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.当前第74页\共有169页\编于星期二\11点例已知P2×2

的线性变换A如下：

A

(X)=MX－XM,XP2×2求A的特征值与特征向量.解

取P2×2的基E11,E12,E21,E22，可求得A在这组基下的矩阵为

当前第75页\共有169页\编于星期二\11点A的特征多项式为

所以A

的特征值为:1=2=0,3=－2,4=2当前第76页\共有169页\编于星期二\11点把特征值1=0代入(E－A)x=0，得到

它的基础解系是

(－1,1,0,0)T，(1,0,0,1)T

当前第77页\共有169页\编于星期二\11点因此,属于特征值0的两个线性无关的特征向量是

而属于特征值0的全部特征向量就是

k1X1+k2X2(k1,k2不全为零的数)当前第78页\共有169页\编于星期二\11点因此，属于特征值－2的一个线性无关的特征向量就是再将特征值－2代入(E－A)x=0，得到它的基础解系是

(0,1,0,0,)T，

当前第79页\共有169页\编于星期二\11点而属于特征值－2的全部特征向量就是

k3X3(k3任意非零的数)同理可求得属于特征值2的一个线性无关的特征向量就是而属于特征值2的全部特征向量就是

k4X4(k4任意不为零的数)．当前第80页\共有169页\编于星期二\11点例3

在空间Pn[x]中，线性变换

Df(x)=f’(x)

在基下的矩阵是当前第81页\共有169页\编于星期二\11点的特征多项式是齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量只能是任一非零常数。这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数。因此，的特征值只有0.通过解相应的当前第82页\共有169页\编于星期二\11点例4

平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，第一节例3中旋转在直角坐标系下的矩阵为它的特征多项式为

当k时,这个多项式没有实根.因此,当k时没有特征值.从几何上看,这个结论是显然的.当前第83页\共有169页\编于星期二\11点性质(一)相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值.(二)线性变换的特征值与基的选择无关.(三)属于同一特征值0

的特征向量全体连同零向量构成V的一个子空间V0

，称其为特征子空间，它的维数等于属于同一特征值0

的线性无关特征向量的最大个数。当前第84页\共有169页\编于星期二\11点（四）若1,2,,n是n阶方阵A=[aij]n×n的全部特征值,则为方便，记当前第85页\共有169页\编于星期二\11点（五）Hamilton-Cayley定理设A是数域P上一个矩阵,f()=E－A是A的特征多项式,则

f(A)=An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+(-1)nAE=0当前第86页\共有169页\编于星期二\11点证设B()是E－A的伴随矩阵,则

B()(E－A)=E－AE=f()E因为B()的元素都是E-A的各个代数余子式,都是的多项式,其次数不超过n-1.因此,B()可以写成

B()=n-1B0+n-2B1+…+Bn-1其中B0,B1,…,Bn-1都是nn数字矩阵.当前第87页\共有169页\编于星期二\11点再设

f()=n+a1n-1++an-1+an

,则

f()E=nE+a1n-1E++an-1E+anE,

B()(E-A)=nB0+n-1(B1-B0A)+n-2(B2-B1A)++(Bn-1

-Bn-2A)-Bn-1A

比较同次项系数,得当前第88页\共有169页\编于星期二\11点

以An,An-1

,···A,E依次从右边乘上式第

一式,第二式，···，第n式,第n＋1式,得

当前第89页\共有169页\编于星期二\11点把上式的n+1个式子一起加起来,左边变成零,右边即f(A),故f(A)=0.定理得证.当前第90页\共有169页\编于星期二\11点推论

设A是有限维空间V的线性变换.

f()是A的特征多项式(A在任一组基下的矩阵的特征多项式），那么f(A)=O.当前第91页\共有169页\编于星期二\11点§5对角矩阵本节的任务是讨论哪一些线性变换在一组适当基下的矩阵可以是对角矩阵;进而如何寻找这一组基.当前第92页\共有169页\编于星期二\11点定理设A是n维线性空间V的一个线性变换,A在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是,A有n个线性无关的特征向量。当前第93页\共有169页\编于星期二\11点定理属于不同特征值的特征向量线性无关.推论若n维线性空间V中,线性变换A的特征多项式在数域中有n个不同的根,即A有n个不同的特征值,则A在某组基下的矩阵是对角矩阵.当前第94页\共有169页\编于星期二\11点定理若1,,k,是线性变换A的不同的特征值,而

是属于特征值i

的线性无关的特征向量,(i=1,2,…,k)则向量组也线性无关当前第95页\共有169页\编于星期二\11点定理若1,,k,是线性变换A的不同的特征值,而

是属于特征值i

的特征子空间(i=1,2,…,k)则和是直和。当前第96页\共有169页\编于星期二\11点定理设A是n维线性空间V上的线性变换。是A的k

重特征值，则的维数不超过k。当前第97页\共有169页\编于星期二\11点定理

数域P上

n维空间V的线性变

换A在某组基下的矩阵是对角矩阵.

当且仅当（2）关于每个特征值，的维数等于它的重数。(1)在P中A的特征值有n个（重根按重数计算）；当前第98页\共有169页\编于星期二\11点定理

数域P上

n阶方阵A相似于对角矩阵.当且仅当(1)在P中A的特征值有n个（重根按重数计算）；(2)关于每个特征值

齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数。它的重数等于当前第99页\共有169页\编于星期二\11点例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？当前第100页\共有169页\编于星期二\11点解当前第101页\共有169页\编于星期二\11点解之得基础解系当前第102页\共有169页\编于星期二\11点解之得基础解系故不能相似于对角矩阵.当前第103页\共有169页\编于星期二\11点A能否对角化？若能对角例2解当前第104页\共有169页\编于星期二\11点解之得基础解系当前第105页\共有169页\编于星期二\11点所以可对角化.当前第106页\共有169页\编于星期二\11点当前第107页\共有169页\编于星期二\11点注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．当前第108页\共有169页\编于星期二\11点把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是当前第109页\共有169页\编于星期二\11点解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得当前第110页\共有169页\编于星期二\11点当前第111页\共有169页\编于星期二\11点2.求方阵的幂例4：设求解：可以对角化。齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:当前第112页\共有169页\编于星期二\11点齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:令求得即存在可逆矩阵,使得当前第113页\共有169页\编于星期二\11点当前第114页\共有169页\编于星期二\11点3.求行列式例5：设是阶方阵，是的个特征值，计算解：方法1求的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。设的特征值是即的特征值是当前第115页\共有169页\编于星期二\11点方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，即存在可逆矩阵,使得当前第116页\共有169页\编于星期二\11点4.判断矩阵是否相似解：方法1的特征值为令3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。例6：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，设问矩阵能否与对角阵相似？当前第117页\共有169页\编于星期二\11点即存在可逆矩阵,使得方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵能与对角阵相似。当前第118页\共有169页\编于星期二\11点例7：设阶方阵有个互异的特征值，

阶方阵与有相同的特征值。证明：与相似。证：设的n个互异的特征值为则存在可逆矩阵,使得当前第119页\共有169页\编于星期二\11点又也是矩阵的特征值，所以存在可逆矩阵,使得即即存在可逆矩阵,使得即与相似。当前第120页\共有169页\编于星期二\11点§6线性变换的值域与核定义设A是线性空间V的一个线性变换,A的全体象组成的集合称为A的值域,用AV表示.

所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A－1(0)表示．亦即

AV

={A

V}，

A－1(0)={V

A

=0}．当前第121页\共有169页\编于星期二\11点

定理线性变换A的值域与核都是子空间.

证首先AV非空,并且对于V中任何向量,

和kP，都有

A+A

=A(

+

)，

kA

=A(k)．即AV对V的加法和数乘封闭,故AV是V的子空间.同样，由于A(0)=0,故0A－1(0),A－1(0)非空．

当前第122页\共有169页\编于星期二\11点设,

是A－1(0)中任何向量和kP．由

A

=0，A

=0，可知

A(

+

)=0，

A(k

)=0所以，A－1(0)对加法和数乘封闭，故A－1(0)是V

的子空间．

当前第123页\共有169页\编于星期二\11点例

线性空间V的零变换O的值域是零子空间，核是整个空间V．

例线性空间V的可逆变换的值域是V，核是零子空间．

例线性空间Pn[x]的微分变换D

的值域是Pn-1[x]，核是一维子空间P．

当前第124页\共有169页\编于星期二\11点定义

值域AV的维数称为线性变换A的秩,记作r(A).

核A-1(0)的维数称为线性变换A的零度，记为nul(A)．

当前第125页\共有169页\编于星期二\11点定理设A是n维线性空间V的一个线性变换,

1,2,…,n是V的一组基.A在基1,2,…,n下的矩阵是A，则

(1)A的值域是由基1,2,…,n在A下像生成的子空间,即

AV=L(A1,A2,…,An)；

(2)A的秩等于A的秩，即

r(A)=dim(AV)=r(A)。

(3)A-1当前第126页\共有169页\编于星期二\11点证

(1)设是V中任一向量，可表示为

=

a11

+

a22

+…+

ann于是

A

=

a1A1+a2A2+…+anAn

L(A1,A2,…,An)故

A(V)

L(A1,A2,…,An)．

反之，显然有

L(A1,A2,…,An)

AV．所以

A(V)

=

L(A1,A2,…,An)当前第127页\共有169页\编于星期二\11点(2)由(1)得

r(A)=

r{A1,A2,…,An}

=r(A)．(?)

(3)任取A-1(0)中的向量

，则有A()=0，亦即对于基1,2,…,n的坐标(x1,x2,…,xn)T满足方程Ax=0，即有

A(x1,x2,…,xn)T

=(0,0,…,0)T

．反之,任取线性方程组Ax=0的一个解(a1,a2,…,an)T,则在基1,2,…,n下坐标为(a1,a2,…,an)T的向量就一定在A-1(0)中.当前第128页\共有169页\编于星期二\11点

定理设A是n维线性空间V的线性变换,则r(A)+nul(A)=n

证设1,2,…,n是V的一组基.A在基1,2,…,n下的矩阵是A，则r(A)=r(A)。由上定理之（3）知A-1当前第129页\共有169页\编于星期二\11点所以A-1(0)的维数等于线性方程组Ax=0的解空间的维数,即n-r(A),

故有

r(A)+nul(A)=n．

当前第130页\共有169页\编于星期二\11点

推论设A是n维线性空间V的线性变换,则下几条等价：

(1)r(A)=n；

(2)A是满射；

(2)nul(A)=0；

(4)A是单射。．当前第131页\共有169页\编于星期二\11点

例设A是n维线性空间V的线性变换,且A2=A，则A可以相似于对角阵当前第132页\共有169页\编于星期二\11点

证

先证明V是A-1(0)和AV的直和。再分别取A-1(0)和AV的一组基，合起来构成V的基，且A在该基下矩阵就是对角阵当前第133页\共有169页\编于星期二\11点§7不变子空间一.概念定义设A是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的子空间.如果W中的向量在A下的像仍在W中.换句话说,对于W中任一向量,有AW，就称W是A的不变子空间,简称A-子空间.当前第134页\共有169页\编于星期二\11点

例1

线性空间V的平凡子空间V和{0},

对于每个线性变换A,都是A-子空间.

例2

线性变换A的值域与核都是A-子空间.

证因为AVV,

有AAV,所以值域AV是A-子空间.又因为A-1(0),A=0A-1(0),所以A的核是A-子空间.当前第135页\共有169页\编于星期二\11点例3

设A是3维几何空间V中以某一过原点的直线L为轴,旋转一个角度的旋转变换.则旋转轴L是A的1维不变子空间;而过原点与L垂直的平面H是A的2维不变子空间.例4

线性空间V的任意一个子空间都是任何一个数乘变换的不变子空间.当前第136页\共有169页\编于星期二\11点例5

若线性变换A与B可交换,则B的核B-1(0)

与值域BV都是A-子空间.证

B-1(0),由于

B(A)=(BA)=(AB)=A(B)=A(0)=0,故AB-1(0),所以B-1(0)是A-子空间.

又BBV,A(B)=B(A)BV.所以BV也是A-子空间.注因为f(A)与A可交换,故f(A)的值域与核都是A-子空间.当前第137页\共有169页\编于星期二\11点二.特征子空间命题

A的属于特征值0的特征子空间V0是A的不变子空间,这里命题

A-子空间的和与交还是A-子空间.当前第138页\共有169页\编于星期二\11点三.线性变换在不变子空间上的限制

设A是线性空间V的线性变换,W是A的不变子空间.现在W中考虑A,即把A看成是W的一个线性变换,称为A在不变子空间W上引起的变换.记作A|W,常常仍用A来表示.

注意A和A|W的异同:A是V的线性变换,V中每个向量在A下都有确定的像;A|W是不变子空间W上的线性变换;当前第139页\共有169页\编于星期二\11点

对于W中任一向量

,有(A|W)=A.但对于V中不属于W的向量,(A|W)没有意义.例如,对于任一线性变换A,A|A-1(0)=0;另一方面,A在特征子空间上引起的变换是数乘变换,即当前第140页\共有169页\编于星期二\11点四.关于生成子空间如果线性空间V的子空间W是由向量组1,2,…,s生成的,即

W=L(1,2,…,s),则W是A-子空间的充分必要条件为A1,A2,…,

As全属于W.当前第141页\共有169页\编于星期二\11点证必要性是显然的.现在来证充分性.

如果A1,A2,…,