演示文稿等差数列求和公式

（优选）等差数列求和公式ppt讲解当前第1页\共有54页\编于星期二\11点1.数列前n项和的定义一般地，称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝__________________.Sn与通项an之间的关系：a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an新课讲解当前第2页\共有54页\编于星期二\11点2.等差数列的前n项和公式求和公式变形：当前第3页\共有54页\编于星期二\11点等差数列前n项和公式的函数特征(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，d＝0)；当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时a1≠0，d＝0)；当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．

当前第4页\共有54页\编于星期二\11点题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.【例1】

在等差数列{an}中．例题讲解当前第5页\共有54页\编于星期二\11点当前第6页\共有54页\编于星期二\11点当前第7页\共有54页\编于星期二\11点1.在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.跟踪练习当前第8页\共有54页\编于星期二\11点题型二利用Sn与an的关系求an解

(1)①当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.②当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.当前第9页\共有54页\编于星期二\11点化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an＞0，∴an＋1－an＝2，又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.当前第10页\共有54页\编于星期二\11点当前第11页\共有54页\编于星期二\11点(2)已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？解

(1)a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.1.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.跟踪练习当前第12页\共有54页\编于星期二\11点当前第13页\共有54页\编于星期二\11点当前第14页\共有54页\编于星期二\11点题型三

求数列{|an|}的前n项和【例3】当前第15页\共有54页\编于星期二\11点＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. (1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)当前第16页\共有54页\编于星期二\11点当前第17页\共有54页\编于星期二\11点1.已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．解由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.跟踪练习当前第18页\共有54页\编于星期二\11点方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略

关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．【示例】下表给出一个“等差数阵”：47(

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)…a1j…712(

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)…a2j…(

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)…a3j…(

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)…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………当前第19页\共有54页\编于星期二\11点其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解

(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a45＝49.当前第20页\共有54页\编于星期二\11点(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7＋5(j－1)；……第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.当前第21页\共有54页\编于星期二\11点2.3.1

等差数列的求和公式

(第二课时)当前第22页\共有54页\编于星期二\11点1.等差数列前n项和的性质(1)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.(2)m2d新课讲解当前第23页\共有54页\编于星期二\11点(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①若，则S偶－S奇=②若，则当前第24页\共有54页\编于星期二\11点思考：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，又Sn＝An2＋Bn，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，∴an＝2An－A＋B(n∈N*)∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.当前第25页\共有54页\编于星期二\11点2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中最大最小最小最大当前第26页\共有54页\编于星期二\11点题型一等差数列前n项和性质的应用(2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．(3)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,1）若,求；2）若，求【例1】(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.例题讲解当前第27页\共有54页\编于星期二\11点当前第28页\共有54页\编于星期二\11点当前第29页\共有54页\编于星期二\11点当前第30页\共有54页\编于星期二\11点当前第31页\共有54页\编于星期二\11点规律：等差数列中，Sm=n,Sn=m，则Sm+n=－(m+n)当前第32页\共有54页\编于星期二\11点1.等差数列中，(1)am=n，an=m，求证：am+n=0(2)Sm=Sn，求证：Sm+n=0(3)Sm=n,Sn=m，求证：Sm+n=－(m+n)跟踪练习当前第33页\共有54页\编于星期二\11点3.等差数列中，S30=90，a3+a6+a9+…+a30=36(1)求d(2)求a1+a4+a7+…+a282.等差数列中，S3=45，Sn=360,Sn-3=225,求n当前第34页\共有54页\编于星期二\11点【例2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.解

法一设此数列首项为a1，公差为d，

∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.当前第35页\共有54页\编于星期二\11点跟踪练习1.一个等差数列有奇数项，奇数项和为132，偶数项和为120，求项数。当前第36页\共有54页\编于星期二\11点题型二

等差数列前n项和的最值问题当前第37页\共有54页\编于星期二\11点当前第38页\共有54页\编于星期二\11点当前第39页\共有54页\编于星期二\11点1.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．解

(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一

a1＝9，d＝－2，跟踪练习当前第40页\共有54页\编于星期二\11点＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴S5最大．当前第41页\共有54页\编于星期二\11点2.等差数列中，(1)求Sn最大值；求Sn最大值；(3)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|当前第42页\共有54页\编于星期二\11点已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有题型三

裂项相消法求数列的和【例3】当前第43页\共有54页\编于星期二\11点当前第44页\共有54页\编于星期二\11点1.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝6，S3＝12.(1)求数列{an}的通项公式；跟踪练习当前第45页\共有54页\编于星期二\11点(1)求数列{an}的通项公式；题型四等差数列的综合应