2022年江苏省南京某中学中考数学段考试卷（4月份）

2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份）

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）

1.（2分）聘的值等于（）

A.2B.-2C.±2D.西

33381

2.（2分）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报

告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次.用科学记数法表示800000000是（）

A.8X108B.0.8X109C.8X109D.O.8X1O10

3.（2分）计算22+2X2X（-3）+（-3）2的结果是（）

A.1B.-1C.2D.-2

4.（2分）计算（-34）2的结果是（）

A.-3?B.9x6C.9x5D.-9/

5.（2分）七（1）班某次数学测试成绩的平均数为“，方差为儿之后发现遗漏了一名同学

的成绩，这名同学的成绩比“少5分.重新统计后，全班成绩的平均数为“'，方差为〃.下

列说法正确的是（）

r1fr

A.a'<〃,b<bB.a<a,b>bC.a'>a,b'>bD.a>a9b'<b

6.（2分）将函数y=-2x+4的图象绕图象上一点尸旋转〃。（45V/1V90）,若旋转后的图

象经过点（3,5）,则点尸的横坐标不可能是（）

A.-1B.0C.1D.2

二、填空题（本大题共10小题.每小题2分，共20分，请把答案填写在相应位置上）

7.（2分）16的平方根是；16的立方根是.

8.（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

9.（2分）分解因式a（a-4b）+4廿的结果是______.

10.（2分）计算（百^-在）Xsin60°的结果是.

11.（2分）若方程/+2x-11=0的两根分别为小、n,贝!]%2〃+利”2的值为.

12.（2分）如图，在平行四边形A8CD与正方形4EFG中，点E在BC上.若NB4E=38°,

ZCEF=\3°,则NC=°.

G

13.（2分）若将一个圆心角为60°,半径为4的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥

的底面半径为.

14.（2分）如图，将菱形A3CZ）沿直线EF翻折，点C落在边4B上的点G处，若EGLCZ）,

15.（2分）函数y=-丁+x的部分图象如图所示，当），>0时，x的取值范围是

16.（2分）已知四边形ABCC的对角线AC,8。交于点。，下列命题:

①若AB=C£）,ZABC=ZADC,则四边形48CD是平行四边形；

②若OA=OC,ZABC=ZADC,则四边形A8C£>是平行四边形；

③若AD=BC,ZABC=ZBCD=90°,则四边形ABC。是矩形；

④若AB=C£>,OA=OC,/ABC=90°,则四边形ABC。是矩形

其中所有真命题的序号是.

三、解答题（本大题共11小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）

'5x-2>3

17.（7分）解不等式组|x/3x.

--R<

22

121

18.（7分）化简J工）小三二工，并直接写出“为何整数时，该代数式的值也为整数.

aa

19.（8分）刘阿姨到超市购买大米.第一次按原价购买，用了105元.几天后，遇上这种

大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10依.这种大米的原价是多少？

20.（8分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学

习和身体健康状况都有一定的影响.为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳

远水平测试.随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：〃?）绘制成不完整的

频数分布表和频数分布直方图.

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组频数

a

1.6«2.012

2.0Wx<2.4b

2.4Wx(2.810

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

（1）表中a=,b=；

（2）样本成绩的中位数落在范围内；

（3）请把频数分布直方图补充完整；

（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4WxV2.8范围内的有多

少人？

学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图

21.（8分）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径.

（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；

（2）如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是工，也有同学认为是至■.你

48

认为概率是多少？简述理由.

①②

22.（8分）如图，。，E分别是△48C的边AB,4c的中点，CF//AB,CF与OE的延长线

相交于点F,连接AF、CD.

（1）求证：四边形4OCF是平行四边形；

（2）当aABC满足什么条件时，四边形AZ）CF是矩形？为什么？

23.（8分）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量根（万公斤）之间的函数

表达式为p=/q+18,第二年大米产量n（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之

25

间的函数表达式为〃=25（p-1）.

（1）若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？

（2）若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？

24.（8分）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在4处获悉后，测出该

渔轮在海军舰艇的北偏东45°,距离为1/海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°

的方向行进.海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在2处相遇，求渔

轮的航程BC和海军舰艇的航程AB.

（参考数据：sin53°=cos37°-0.80,cos53°=sin37°40.60,tan67.4°=2.4）.

25.（8分）如图，在正方形ABC。中，E是8。上一点，过8、C、E三点的。。与C£）相

交于点凡连接AE、BF.

（1）求证：MADEsXBDF：

（2）当BE=4B时，求证：直线AE是。。的切线.

26.（9分）在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（-2,4）、（3,2）,连接A8.

（1）若一次函数），=区+5的图象与线段A8有公共点，则k的取值范围是；

（2）若反比例函数y=zn/x的图象与线段AB有公共点，则，"的取值范围是；

（3）已知点P是x轴上的一点且横坐标为〃（«>0）,若一条抛物线经过（0,5）、（2,

4）和点P,请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的〃的取值范围.

27.（9分）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，04=3,08=4,OC=5.求乙408

的度数.（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）

（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC,使点A,B,C分别落在三个圆上.（保留作

图的痕迹，写出必要的文字说明）

（3）如图③，直线q〃b〃c.怎样找到等边三角形ABC,使点A,B,C分别落在三条直

线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

a

b-------------------------------------------------------------------------------

c--------------------------------------------------------------------------------

③

BC

①②

2022年江苏省南京一中中考数学段考试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）

1.（2分）聘的值等于（）

A.2B.-2C.±2D.西

33381

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【解答】解：原式=2,

3

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于

基础题型.

2.（2分）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报

告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次.用科学记数法表示800000000是（）

A.8X108B.0.8X109C.8X109D.O.8X1O10

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：将800000000用科学记数法表示为：8X1O8.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“XI。，的形式，其

中lW|a|<10,"为整数，表示时关键要正确确定“的值以及〃的值.

3.（2分）计算22+2X2X（-3）+（-3）2的结果是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减即可.

【解答】解：22+2X2X（-3）+（-3）2

=4+2X2X（-3）+9

=4-12+9

=1.

故选：A.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运

用.

4.（2分）计算（-3/）2的结果是（）

A.-3?B.9x6C.9x5D.-9x6

【分析】根据事的乘方和积的乘方的运算法则求解.

【解答】解：（-3?）2=获

故选：B.

【点评】本题考查了累的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键.

5.（2分）七（1）班某次数学测试成绩的平均数为“，方差为〃，之后发现遗漏了一名同学

的成绩，这名同学的成绩比。少5分.重新统计后，全班成绩的平均数为加，方差为〃.下

列说法正确的是（）

A.a'<a,b'<bB.a'<a,b'>bC.a'>a,b'>bD.a'>a,b'<b

【分析】根据算术平均数和方差的定义判断即可.

【解答】解：•••遗漏的同学的成绩比。少5分，

a'<a,b'<b,

故选：A.

【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握平均数的定义及方差的性

质.

6.（2分）将函数y=-2x+4的图象绕图象上一点尸旋转鼠°（45<n<90）,若旋转后的图

象经过点（3,5）,则点P的横坐标不可能是（）

A.-1B.0C.ID.2

【分析】把P点的横坐标代入丫=-2x+4求得纵坐标，在坐标系中作出经过点P和点（3,

5）的直线以及直线y=-2x+4,观察图象即可判断.

【解答】解：观察图象可知，当P的横坐标为2时，P的坐标为（2,0）,过点（2,0）,

（3,5）的直线与直线y=-2x+4的夹角小于45°或大于90°,

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键.

二、填空题（本大题共10小题.每小题2分，共20分，请把答案填写在相应位置上）

7.（2分）16的平方根是±4；16的立方根是比

【分析】根据平方根和立方根的定义解答.

【解答】解：16的平方根是±4,16的立方根是药正.

故答案为：±4,V16-

【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键.

8.（2分）若式子471在实数范围内有意义，则x的取值范围是介-1.

【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解.

【解答】解：根据题意得：x+l20,

解得X》-1,

故答案为：尤2-1.

【点评】主要考查了二次根式的意义和性质.

概念：式子4（4>0）叫二次根式.

性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

9.（2分）分解因式a（a-4b）+4户的结果是（“-2b）2.

【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可.

【解答】解:原式=1-4ab+4b2=（a-2b）2,

故答案为：（a-2b）

【点评】本题考查运用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关

键.

10.（2分）计噂（任-患）Xsin60°的结果是3—乌.

【分析】根据乘法分配律，求出算式的值即可.

【解答】解：（g-祗）Xsin60°

=G.x率

哼一祗X亨

=3-叵

2_

故答案为：3-1•.

2

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，

和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有

括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

11.（2分）若方程f+2x-11=0的两根分别为，〃、n,则,“2月+,*"2的值为22.

【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得，"+〃、〃的值，并将其代入变形后的

代数式求值即可.

【解答】解：,••一元二次方程7+2x-11=0的两根分别为小，n,

.,.m+n--2,mn--11,

m^n+mn1—mn（m+n）=-11X（-2）—22.

故答案是：22.

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形

相结合解题是一种经常使用的解题方法.

12.（2分）如图，在平行四边形A8C。与正方形AEFG中，点E在8c上.若N3AE=38°,

ZCEF=\3°,则NC=130°.

【分析】由条件可求得NBEA,在aABE中由三角形内角和定理可求得再利用平行

四边形的性质可求得NC.

【解答】解：•••四边形AEFG为正方形，

AZA£F=90°,

:.NAEB+NCEF=9Q°,

AZAEB=90°-ZCEF=90°-13°=77°,

VZB+ZBA£+ZBEA=180°,

.•./B=180°-38°-77°=65°,

四边形ABCD为平行四边形，

J.AB//CD,

AZB+ZC=180°,

AZC=1800-ZB=115°,

故答案为：115.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用条件和三角形内角和定理求得NB是解

题的关键.

13.（2分）若将一个圆心角为60°,半径为4的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥

的底面半径为_2.

-3-

【分析】圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，，依题意，得

2.6071X4,

180

解得r=2.

3

故答案为：2.

3

【点评】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、

圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.

14.（2分）如图，将菱形A8C。沿直线M翻折，点C落在边A8上的点G处，若EGLCD,

AB=5,BG=\,则CE的长为4

【分析】过点C作AB延长线于点H,根据菱形的性质和翻折的性质证明四边形ECHG

是正方形，设EC=GH=EG=CH=x,根据勾股定理列方程即可解决问题.

【解答】解：如图，过点C作AB延长线于点

四边形A8C。是菱形，

：.AB=BC,DC//AB,

'：EG±CD,

：.EG±AB,

:.NEGH=NGEC=NECH=90°,

四边形ECHG是矩形，

：.EC=GH,EG=CH,

由翻折可知：EC=EG,

四边形EC4G是正方形，

:.EC=GH=EG=CH,

设EC=GH=EG=CH=x,

"：AB=BC=5,BG=\,

：.BH=GH-BG=x-1,

在中，根据勾股定理得：

BH2+CH2=BC2,

(x-1)2+3?=52,

解得x=4或x=-3（舍去）,

：.CE=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，

勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

15.（2分）函数>=-f+x的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是xV-1或

【分析】先解出方程-f+x=O,根据函数图象解答即可.

【解答】解：当y=0时,-x3+x=O,

解得：JC1=O,X2=1>X3=7,

由图象可知：当x<-1或0<x<l时，y>0,

故答案为：x<-1或0<x<l.

【点评】本题考查的是二次函数与不等式，灵活运用数形结合思想是解题的关键.

16.（2分）已知四边形ABC。的对角线4C,BD交于点0,下列命题：

①若AB=C£）,ZABC=ZADC,则四边形4BCO是平行四边形；

②若OA=OC,ZABC=AADC,则四边形ABCQ是平行四边形；

③若AQ=8C,ZABC=ZBCD=90°,则四边形ABC。是矩形；

④若AB=CD,0A=0C,NA8C=90°,则四边形A8C£>是矩形.

其中所有真命题的序号是③.

【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定等知识逐项判定即可.

【解答】解：①根据AB=CZ）,ZABC^ZADC,无法判定四边形A8CD是平行四边形，

故错误，为假命题；

②根据0A=0C,ZABC^ZADC,无法判定四边形ABC。是平行四边形，故错误，为

假命题：

③由AQ=BC,NABC=NBC£>=90°,结合AC=AC,可以判定AB=C£>,两组对边都

相等的四边形为平行四边形，为真命题;

④根据AB=CQ,OA=OC,NABC=90°,无法判定四边形ABCO是平行四边形，故错

误，为假命题；

故答案为：③.

【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定等知

识是解答此题的关键.

三、解答题（本大题共11小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）

f5x-2>3

17.（7分）解不等式组《

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式5x-223,得：

解不等式三-5V1-至，得:x<3,

22

则不等式组的解集为1WXV3.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.（7分）化简J1）4•g并直接写出“为何整数时，该代数式的值也为整数.

aa

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值

代入，使得代数式的值为整数.

【解答】解：原式=贮1+且4±

aa

—al.a

a（a+1）（a-l）

=1

当a=-2时，原式=-1.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则.

19.（8分）刘阿姨到超市购买大米.第一次按原价购买，用了105元.几天后，遇上这种

大米8折出售，她花了140元，比第一次多购买了10依.这种大米的原价是多少？

［分析］设这种大米的原价是每千克X元,根据第二次比第一次多购买了10版列出方程，

求解即可.

【解答】解：设这种大米的原价是每千克X元，

根据题意，得卫_-盘=10,

0.8xx

解得：%—7.

经检验，x=7是原方程的解.

答：这种大米的原价是每千克7元.

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

20.(8分)2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学

习和身体健康状况都有一定的影响.为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳

远水平测试.随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩(单位：，加绘制成不完整的

频数分布表和频数分布直方图.

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组频数

1.2Wx<1.6a

1.6«2。12

2.0«2.4b

2.4«2.810

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

(I)表中a=8,h=20；

(2)样本成绩的中位数落在2.0WxV2.4范围内;

(3)请把频数分布直方图补充完整；

(4)该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4<x<2.8范围内的有多

少人？

学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图

【分析】（1）由频数分布直方图可得。=8,由频数之和为50求出6的值;

（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；

（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；

（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4<x<2.8范围内的占改，因此估计总体

50

1200人的也是立定跳远成绩在2.4Wx<2.8范围内的人数.

50

【解答】解：（1）由统计图得，a=8,6=50-8-12-10=20,

故答案为：8,20；

（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0Wx<2.4

组内，

故答案为：2.04V2.4；

（3）补全频数分布直方图如图所示：

学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图

（4）1200x22=240（人），

50

答：估计该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4Wx<2.8范围内的有240人.

【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解各个数量之间

的关系是正确解答的关键.

21.（8分）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径.

（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率;

(2)如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是工，也有同学认为是立.你

48

【分析】(1)由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随

机的选择一条路径，观察图可得：它有4种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用

概率公式求解即可求得答案.

(2)根据给出的图和概率公式直接得出答案即可.

【解答】解：(1)•••一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都

会随机的选择一条路径，

，它有4种等可能路径，

；获得食物的有2种路径，

二获得食物的概率是2=工；

42

(2)蚂蚁获得食物的概率是

333218

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

22.(8分)如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，CF//AB,C尸与OE的延长线

相交于点F,连接AF、CD.

(1)求证：四边形AOC尸是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AQC尸是矩形？为什么？

A

【分析】（1）只要证明AO=C凡AD//CF,即可解决问题；

（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”可以推导：AC=BC.

【解答】（1）证明：是AC的中点，

：.AE=CE,

,JCF//AB,

：.ZDAE=ZFCE,

；NAED=NCEF,

：.AAED^ACEF（ASA）,

：.AD=CF,

"."AD//CF,

四边形ADCF是平行四边形；

（2）当AC=BC时，平行四边形AOC尸是矩形.

理由：在△ABC中，D、E分别是AB,AC边上的中点，

：.AE=EC,

"：EF=DE,

...四边形ADCF是平行四边形，

"：AC=BC,AC=DF,

：.DC±AB,

平行四边形AZJCF是矩形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质.证明一个四边形

是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.

23.（8分）某地市场上第一年大米价格p（元/公斤）与销售数量打（万公斤）之间的函数

表达式为p=@+18,第二年大米产量〃（万公斤）与第一年大米价格p（元/公斤）之

25

间的函数表达式为〃=25(p-1).

(1)若该地市场第一年大米的销售数量为100万公斤，预计第二年该地大米产量为多少？

(2)若该地市场第一年大米的销售总价达到最大值，预计第二年该地大米产量为多少？

【分析】(1)将，"=100代入p=@+18,求出P的值，再将P的值代入〃=25(p-1),

25

求出〃的值即可；

2

(2)设第一年大米的销售总价为w(万元)，根据题意得w=-J-m+1gm，当m取对

25

称轴75时，卬取得最大值，求出此时p的值，进一步求出〃的值即可.

【解答】解：(1)当m=100时，p=/B+ig=-12+18=6,

25

当p=6时，〃=25(p-1)=25X5=125,

预计第二年该地大米产量为125万公斤；

(2)设第一年大米的销售总价为w(万元)，

2

根据题意得，w=pm=K=^A_m+|gm，

Zb

1o

当m=--丁=75时，卬最大，

6

止匕时p=@+18=-9+18=9,

25

An=25(p-1)=25X8=200,

...预计第二年该地大米产量为200万公斤.

【点评】本题考查了一次函数与二次函数的应用，理解题意并根据函数性质代入求值是

解题的关键.

24.(8分)如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该

渔轮在海军舰艇的北偏东45°,距离为1S历海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°

的方向行进.海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在8处相遇，求渔

轮的航程BC和海军舰艇的航程AB.

(参考数据:sin530=cos370-0.80,cos530=sin370-0.60,tan67.4°~2.4).

【分析】分别过点A、B、C延长方向线，根据题意可得ND4C=45°,NCBF=53°,

NABE=67.4°,DF=AE,AD=EF,在RtZXAOC中，利用锐角三角函数的定义求出AD,

QC的长，从而求出EF的长，再设3C=x海里，在Rt^BCF中，利用锐角三角函数的

定义求出C凡B尸的长，从而求出。凡AE,BE的长，然后在RlZ\ABE中，利用锐角三

角函数定义列出关于x的方程，进行计算从而求出BC,AE,BE的长，最后根据勾股定

理求出AB的长，即可解答.

【解答】解：分别过点A、8、C延长方向线，交点如图所示，

由题意得：

ZDAC=45°,53°,NABE=674°,DF=AE,AD=EF,

在RtaAQC中，AC=16近海里，

.•.AQ=AC・cos45°=16&xML=16（海里），

_2

CD=AC«sin45°=16&义亚=16（海里），

2

；.AZ）=EF=16海里，

设3C=x海里，

在RtZxBCF中，CF=BC,sin53°弋0.8丫（海里），

8尸=BC・cos53°心0.6x（海里），

：.BE=EF-BF=（16-0.6x）海里，

AE=DF=DC+CF=（16+0.8x）海里，

在中，tan67.4°=箜=&2遇二心2.4,

BE16-0.6x

•**x=10,

经检验：x=10是原方程的根，

.♦.8C=10海里，

AE=16+0.8X10=24（海里），

BE=16-0.6X10=10（海里），

-AB=VAE2+BE2=7242+102=26（海里），

渔轮的航程BC约为10海里，海军舰艇的航程AB约为26海里.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

25.（8分）如图，在正方形ABC。中，E是BD上一点,过8、C、E三点的00与CZ）相

交于点F,连接AE、BF.

（1）求证：/\ADE^/\BDF；

（2）当时，求证：直线AE是。。的切线.

【分析】（1）先利用SASijEHJIAADE^ACDE,再根据圆周角定理得到/OBF=N£）CE,

推出ND4E=NOBF,即可得出结论；

（2）先证明是。。的直径，再证明/区4£'+/£>4£：=/8匹4+/。£8=90°,即N0EA

=90°,即可得出结论.

【解答】证明：（1）连接CE,

•..四边形A8CO是正方形，且8。是对角线,

：.AD=CD,ZADE^ZCDE=45°,

在△AOE与△COE中，

'AD=CD

<ZADE=ZCDE>

DE=DE

.♦.△ADEmACDE(SAS),

：.ZDAE=ZDCE,

:B,E,F,C共圆，

NFBE=ZFCE,

即NDBF=4DCE,

：.ZDAE=ZDBF,

又,.,NAOE=NB£>F=45°,

/\ADEs/\BDF；

(2)连接OE,

•.•四边形A8CO是正方形,

AZBCF=ZBAD=90°,

.••B尸是。。的直径，

'：OB=OE,

：.NOBE=NOEB,

"：ZDAE=NDBF,

：.ZDAE=ZOEB,

<BE=AB,

:.NBAE=NBEA,

即NOE4=90°,

又：0E是00的半径，

直线AE是。0的切线.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，

熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.

26.(9分)在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-2,4)、(3,2),连接A8.

(1)若一次函数>=丘+5的图象与线段A8有公共点，则k的取值范围是代-1或左

一2一

(2)若反比例函数y=m/x的图象与线段AB有公共点，则机的取值范围是-②加〈

0或0</«W6；

(3)已知点P是x轴上的一点且横坐标为〃(〃>0),若一条抛物线经过(0,5)、(2,

4)和点P,请直接写出抛物线与线段AB的公共点的个数及对应的〃的取值范围.

【分析】(1)分别求出直线y=fcr-2过点A、点B时火的值，再结合函数图象即可求出

k的取值范围；

(2)根据反比例函数的性质，结合图象求端点A、B处的胆值即可；

(3)分别作出抛物线经过点A和点B时的图象，根据函数图象与线段A8的关系判断〃

的取值范围.

【解答】解：(1)当直线y=Ax+5过点A(-2,4)时，

得：-2k+5=4,

解得：仁工

2

当直线y=fcr+5过点3(3,2)时,

得：3甘+5=2,

解得：k=-1.

如图1,若一次函数y=fcr+5与线段AB有公共点，则％的取值范围是kW-1或kN4,

2

故答案为：kW-1或女

2

(2)当反比例函数丫=典(加＜0)的图象过点A(-2,4)时，

x

得：工L=4,

-2

解得：，77=-8,

当反比例函数丫=典(/«＞0)的图象过点8(3,2)时，

x

得：&=2,

3

解得：,”=6,

如图2,若反比例函数＞=&(机片0)的图象与线段AB有公共点，则m的取值范围是-

8Wm<0或0<〃?W6,

故答案为：-8Wm<0或0〈%W6.

(3):抛物线y=o?+bx+c经过(0,5)、(2,4)和点尸(〃，0),

'c=5

/.<4a+2b+c=4,

o

,an+bn+c=0

'n-10

a=5

2n-4n

c=5

9

.♦.尸n-107-n-20x5,

09+

2n-4n2n-4n

当0V〃V2时，a>0,b<0,如图3,

若x=3,则y=9a+3，+5=9a-g(4a+l)+5=3a+工>2,

22

...此时，抛物线与线段A8有两个公共点；

当2V〃W2遥时，a<0,b>0,如图4,

%=3,y=2,

贝ij9。+3%+5=2,

由4a+2H5=4,得b=」(4a+l),

2

：.9a-^-(4a+l)+5=2,

2

解得：片」，

2

2

此时，抛物线y=-1?+工+5与线段4B有两个公共点，

22

令-An2+_ljj+5=0,

22

解得：

2

；2<〃<2遥，

••/?—-------;

2

若x=-2,y=4,则4a-2H5=4,

将6=」(4«+1)代入得：4a-2Xl_A(4a+l)J+5=4,

22

解得：a--A,b—0,