2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(含详解)

第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆、弦、半径等概念

确定圆的定理

点与圆的位置关系

圆心角、弧、

三角形的外接圆

圆心角、弦、弧、弦心距等概念

圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定］

圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定】

知识一、圆的确定

1.圆的概念

圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.

圆心：以上概念中的“定点”；以点。为圆心的圆称为“圆0”,记作0。.

半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长.

2.点与圆的位置关系

设一个圆的半径长为R,点P到圆心的距离为止则有以下结论:

当点P在圆外时，d>R；

当点尸在圆上时，d=R；

当点尸在回为时，04d<R.

反之亦然.

3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外

接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边

形叫做这个圆的内接多边形.

题型探究

【例1】若4(0-27)在以点8(-35,-27)为圆心，37为半径的圆上，求。的值.

【例2】在/?『△A8C中，NC=90,AC=3,BC=4,CP、CM分别是A3上的高

和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（)

A.点尸、M均在圆A内;B.点尸、M均在圆A外;

C.点P在圆A内，点M在圆4外;D.点尸在圆4外，点〃在圆A内.

【例3］如图，在△A8C中，AB=AC,BC=4,tan8=2,以AB的中点D为圆心，r

为半径作。。，如果点8在。。内，点。在。。外，那么一可以取（）

A.2B.3C.4D.5

现【例4】如图，作出Ay所在圆的圆心，并补全整个圆•

【例5】如图所示，已知矩形ABC。的边AB=3cm,BC=4cm,以点A为圆心，4cm为

半径作GM,判断点8,C,。与OA怎样的位置关系.

电【例6】如图，以点0,(1,1)为圆心，00,为半径画圆，判断点P(-l,1),点。

(1,0),点R(2,2)和。。，的位置关系.

X

举一反三

1.如图，平面直角坐标系中，点4是y轴正半轴上任意一点，B(-3,0),C(4,0),

则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在()

A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.x轴上

2.己知AABC中，AB=BC,若以点B为圆心,以AB为半径作圆，则点C在（)

A.在。B上B.在。8外C.在。B内D.不能确定

3.在直角坐标平面内，点A的坐标为（L0）,点B的坐标为（。,0）,圆A的半径为2.下列说

法中不氐硬的是（）

A.当。=一1时，点8在圆4上B.当时，点8在圆A内

C.当a<-l时，点B在圆4外D.当-l<a<3时，点8在圆A内

4.下列命题中，错误的是（）

A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等

C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合

5.在RtAACB中，ZC=90°,AC=3,8c=36，以点A为圆心作圆A,要使3、C两点中

的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是

6.如图，在“IBC中，Z.C=90,AB=5cm,BC=4cm,以A为圆心，3cM为半径作圆.试

判断:

B

4

(1)点C与OA的位置关系:

(2)点B与。4的位置关系;

(3)A3的中点O与04的位置关系.

o知识二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.相关概念

弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧;

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径;

圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角;

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.半圆、优弧、劣弧

半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

c

优弧：大于半圆的弧叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

如图，以A、C为端点的劣弧记作AC,读作“弧A。，；

以A、C为端点的优弧记作ABC,读作“弧ABC，.

3.等弧和等圆

能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等.若A3与49是等弧，记作

AB=A'B'.

半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆.

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得

到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

0题型探究

皿【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（）

A.B.C.D.

(2)下列说法中，不正确的是()

A.圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B.同圆中，所有半径都相等

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.长度相同的弧是等弧

(3)下列四个命题:

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等;

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等;

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

队[例8]一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为,

【例9】如图，在。0中，AB=AC,ZB=70°,则NS4C=

【例10］如图，已知G)O的半径是6,ZBOD=30°,BD=BC,CD=

A

风【例11】如图，0。和。是等圆，p是。。2的中点，过点p作直线A。交。于点A、

B,交。。2于点C、。・

求证：AB=CD.

Kl【例12］已知，如图，A3、CO是。0的直径，弦AEHCD,联结CE、BC,求证：BC

=CE.

D

W，【例13］如图，。。是AABC的外接圆，4。平分44C,/4QB=NBOC,判断AABC

的形状，并说明理由.

【例14］己知，如图,AB是。0直径,M、N分别是A0、80的中点，CMLAB,DN1AB.

求证：AC=BD.

“举一反三

1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两

个圆是同心圆，其中错误的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在。。中，AC=BD>ZAOD=150°,N8OC=80。，则/AOB的度数是（)

A.20°B.25°C.30°D.35°

3.如图，已知AB是。O的弦，C是A8的中点，联结OA,AC,如果NOAB=20。，那么

ZCAB的度数是

4.如图所示，AB.CD是。O的两条直径，CE//AB,求证：BC=AE•

D

5.如图，弧AC=MCB,D,E分别是半径OA,OB的中点，求证：CD=CE

6.已知：如图，。是NA尸。的角平分线P8上的一点，0。与A4相交于尸点，PC相

交于G,H点,试确定线段所与G”之间的大小关系，并证明你的结论.

0GH

©

J课后作业

1.下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

2.如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点。是△ABC外心的是（）

3.在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3,2）,点B的坐标是（3,-

4）.如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆。内,

另一点在圆O外，那么r的值可以取（)

A.5B.4C.3D.2

4.矩形A3CQ中，A8=8,8C=3行，点P在边AB上，且3P=3AP,如果圆P是以点P

为圆心，尸。为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

A.点B、C均在圆P外;B,点8在圆P外、点C在圆P内;

C.点B在圆P内、点C在圆P外;D.点B、C均在圆尸内.

5.下列说法中，正确的个数共有（)

(1)一个三角形只有一个外接圆;

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等;

（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.在直角坐标平面内，点Z的坐标为（L0），点B的坐标为（4。），圆d的半径为2.下

列说法中不正确的是（）

A.当4=一1时,点3在圆4上B.当4<1时，点3在圆d内;

C.当4＜一1时,点3在圆幺外D.当一1<4<3时，点3在圆〃内.

7.如图，在。。中，A8是直径，AC是弦，连接0C,若NACO=25。，则NBOC的度数是

()

A.40°B.50°C.55°D.60°

8.如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知

求证……”的形式，下列正确的是（）

B

,

A.已知：在。。中，AD=BC-求证：/AOB=/COD,AD=BC.

B.已知：在。。中,AB=CD-求证：/AOB=/COD,AB=CD.

C.已知：在。。中，AD=BC^ZAOB=ZCOD.求证：AD=BC.

D.已知1：在。。中，AB—CD'NAOB=NCOD.求证：AB—CD.

9.下列语句中正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所在直线是圆的对称轴

10.若。O所在平面内一点P到。O的最大距离为6,最小距离为2,则。。的半径为

11.已知RSABC中，ZC=90°,AC=3,BC=近，CD1AB,垂足为点D,以点D为圆心

作。D,使得点A在。D外，且点B在。D内.设。D的半径为r,那么r的取值范围是

⑵如图，△ABC中，ZA=70°,G)O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则ZBOC=_.

13.已知。。的直径是4,。。上两点8、C分。。所得劣弧与优弧之比为1：3,则弦BC

的长为.

14.如图，在△ABC中，NC=90。，乙4=25。，以点C为圆心，BC为半径的圆交48于点

D,交AC于点E,则80的度数为

B

D

15.如图，△A/C内接于OO,NA=50。，点。是3C的中点，连接OD,OB,OC,则NBOD=

A

16.如图所示，已知矩形48co的边4B=3cm,AD=4cm.

⑴以点A为圆心，4c机为半径作G)A,则点3,C,。与0A的位置关系如何？

(2)若以点A为圆心作。A,使B,C,O三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外,

则0A的半径r的取值范围是什么？

18.如图：AC=C8，。、E分别是半径。4和08的中点，求证：CD=CE.

19.已知如图，点A、点B、点C、点D都在。0上，连接OA、OB、OC、OD、AC、BD,

ZA=ZD.

C

D

求证：（1）AC=BD；

（2）AB=CD

20.如图，AB,AC,BC都是G)O的弦，且NAO8=N8OC,求证：ZBAC=ZBCA.

C

21.已知：如图，在。。中，弦钙〃CD.求证：AD=BC-

22.如图，AB,DE是。O的直径，C是。O上的一点，且AQ=CE.

(1)求证：BE=CE；

(2)若/B=50。，求/AOC的度数.

D

第16讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆、弦、半径等概念

确定圆的定理

点与圆的位置关系

三角形的外接圆

圆心角、弦、弧、弦心距等概念

圆心角、弧、弦、弦心2巨之间关系的定理

圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的

知识一、圆的确定

1.圆的概念

圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形.

圆心：以上概念中的“定点”；以点。为圆心的圆称为“圆0”,记作0。.

半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长.

2.点与圆的位置关系

设一个圆的半径长为R,点P到圆心的距离为止则有以下结论:

当点P在圆外时，d>R；

当点尸在圆上时，d=R；

当点尸在回为时，04d<R.

反之亦然.

3.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外

接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边

形叫做这个圆的内接多边形.

题型探究

【例1】若4(0-27)在以点8(-35,-27)为圆心，37为半径的圆上，求。的值.

【答案】2或-72.

［解析］：A点在08上，，BA=37,即J(a+35)2+(-27+27)2=2n,

解得4=2,a2=—72.

【例2】在册△ABC中，NC=90、AC=3,BC=4,CP、CM分别是A8上的高

和中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（)

A.点尸、M均在圆A内;B.点尸、M均在圆A外;

C.点P在圆A内，点M在圆4外;D.点尸在圆4外，点〃在圆A内.

【答案】C

【解析】

解：如图，；在RSABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,

c

43=5/32+42=5,

VCP,CM分别是AB上的高和中线,

/.AM=-AB=2.5,-AB^CP=-CB-CA,

222

.-.5CP=12,

.0=2.4,

•*-AP=JAC「CP2=B—2.4?=1.8,

VAP=1.8<2,AM=2.5>2,

.,.点尸在圆A内、点”在圆4外.

所以AB,。都不符合题意，C符合题意.

故选：C.

【例3］如图，在中，AB=AC,BC=4,tanB=2,以AB的中点D为圆心,

为半径作。。，如果点B在。。内，点。在。。外，那么厂可以取（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

如图，过点A作AF_LBC于点凡连接C。交A尸于点G,

BC=4,

:.BF=CF=2,

*/tanB=2,

•,­—=2,即AF=4,:.AB=^+¥=2#)，

•.•。为48的中点,

.*.8/)=6，G是AABC的重心,

14

・•・GF=-AF=-,

33

•••CG=J(1)2+22=,:.CD=^CG=屈,

；点B在。。内，点C在。。外,

<r<V13,

故选B.

【例4】如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.

【答案】如图所示.

0

B

【解析】在AB上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆

心.

【例5】如图所示，已知矩形A3CZ）的边AB=3cm,BC=4cm,以点A为圆心，4cm为

半径作OA,判断点C,。与OA怎样的位置关系.

【答案】点8在。A内，点C在。A外，点。在。A上

【解析】

解：连接AC,・.・A8=3cm,BC=AD=4cm,

AC=5cm,

：0A的半径为4,AB=3<4,

.•.点5在。A内,

,/£M=4,

/.点。在。A上

G4=5>4,

・・・点。在。A外.

AD

BC

电【例6】如图，以点0,(1,1)为圆心，00,为半径画圆，判断点P(-l,1),点。

(1,0),点R(2,2)和。0,的位置关系.

【答案】O'P>r,点P在。。‘外：O'QVr,点。在内；O7?=r,点R在。。'上.

【解析】

解：VOO'=r=yJ12+12=72，O'P=J(-1_1)2+(1_1)2=2

同理可得：O'Q=1,O'R=&,

：.O'P>r,点尸在。（7外;

。'。＜厂，点Q在。O'内;

O'R=r,点R在。。'上.

举一反三

1.如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B(-3,0),C(4,0),

则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可熊在()

A.第三象限B.第一象限C.第四象限D.x轴上

【答案】A

【解析】

解：•:B(-3,0),C(4,0),

/.边BC的垂直平分线在y轴的右侧,

•••三角形的外心。在不可能在第二象限或第三象限，故A错误;

当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心。在三角形内部，并在第一象限，故8正确;

当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心。在三角形外部，并在第四象限，故C正确;

当△ABC为直角三角形时，三角形的外心。在三角形斜边中点处，即在x轴上，故。正确,

故选：A.

2.已知△ABC中，AB=BC,若以点8为圆心，以AB为半径作圆，则点C在（)

A.在。B上B.在。B外C.在。8内D.不能确定

【答案】A

【解析】

'：AB=BC,

，点A,C均在以点8为圆心，以AB为半径的圆上.

故选：A.

3.在直角坐标平面内，点A的坐标为（1,0）,点B的坐标为（。,0）,圆A的半径为2.下列说

法中不氐砸的是（）

A.当a=-l时，点B在圆A上B.当a<l时，点B在圆A内

C.当a<-l时，点8在圆A外D.当-l<a<3H寸，点B在圆A内

【答案】B

【解析】

如图:

VA(1,O),A的半径是2,

：.AC=AE=2f

：.OE=1,OC=3,

A.当o=T时，点B在E上，即8在圆A上，正确，故本选项不合题意;

B.当o=-3时，B在4外，即说当时，点8在圆A内错误，故本选项符合题意;

C.当av-1时，AB>2,即说点B在圆4外正确，故本选项不合题意;

D.当-l<a<3时，8在A内正确，故本选项不合题意;

故选:B.

4.下列命题中，错误的是（)

A.三角形重心是三条中线交点B.三角形外心到各顶点距离相等

C.三角形内心到各边距离相等D.等腰三角形重心、内心、外心重合

【答案】D

【解析】

试题分析：A、三角形的重心是三条中线的交点，正确;

B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故正确;

C、三角形的内心是三角平分线的交点，到各边的距离相等，故正确;

D、等边三角形的重心、内心和外心才重合，故错误,

故选D.

5.在RSACB中，ZC=90°,AC=3,8c=36，以点A为圆心作圆A,要使3、C两点中

的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆4的半径长r的取值范围是

【答案】3<r<6

【解析】

解：：1?必人03中，ZC=90°,AC=3,BC=3G，

.,.AB=6,

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3,

点B在圆A外，则r<6,

因而圆A半径r的取值范围为3<r<6.

故答案为3<r<6；

6.如图，在AABC中，ZC=90,AB=5cm,BC-4cm,以A为圆心，3cm为半径作圆.试

判断:

B

(1)点C与。A的位置关系:

⑵点B与。A的位置关系;

(3)A3的中点。与0A的位置关系.

【答案】⑴点C在。A上；⑵点B在。A外；⑶点。在。A内.

【解析】

VZC=90°,AB=5cm,BC=4cm,

AC=3cm,BA=5cm,DA=2.5cm,

(1)VAC=r=3cm,

・••点C在。A上;

(2)*.*BA=5cm>3cm,

ABA>r,

・••点B在。A外;

(3)*.*DA=2.5cm<3cm,

ADA<r,

.•.点D在G)A内.

o知识二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1.相关概念

弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧;

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径;

圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角;

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.半圆、优弧、劣弧

半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：大于半圆的弧叫做优弧.

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

如图，以A、C为端点的劣弧记作AC,读作“弧AC，；

以A、C为端点的优弧记作ABC,读作“弧ABC：

3.等弧和等圆

能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等.若AB与是等弧，记作

AB=A'B'.

半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆.

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

5.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得

到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.

0题型探究

【例7】（1）下列图形中的角是圆心角的是（)

【答案】B

【解析】

解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求.

故选:B.

(2)下列说法中，不正确的是()

A.圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B.同圆中，所有半径都相等

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.长度相同的弧是等弧

【答案】D

【解析】

A、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A不符合题意.

B、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B不符合题意.

C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C不符合题意.

D、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D符合题意.

故选：D.

(3)下列四个命题:

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等;

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等;

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题

意;

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意;

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意;

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意,

真命题有3个,

故选：C.

[例8]一条弦把圆分成1:3两部分，则弦所对的圆心角为

【答案】90.

【解析】•••一条弦把圆分成I:3两部分,

，整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360。+4=90。,

；•弦所对的圆心角为90。.

【例9】如图，在。。中，AB=AC,ZB=70°,则NS4C=

A

【答案】40°.

【解析】•.,在。。中，AB=AC,AZC=ZB,VZB=70°,

z^4C=180°-Zfi-ZC=40°.

【例10］如图，已知0。的半径是6,NBOD=30。,BD=BC,CD=

【答案】6.

［解析】BD=BC,ZBOD=30°,ZBOD=ZBOC=30°,

.../COD=60。，VOC=OD.，AOCD是等边三角形,

CD=6.

网【例11］如图，。01和。。2是等圆，P是0。2的中点，过点尸作直线AO交于点A、

B,交。Q于点C、D.

求证：AB=CD.

D

4

o2

A

【答案】详见解析.

【解析】作«E_LAB于•£,。2尸，8于尸，

：P是002的中点，APEO,丝\PFO2,AOtE=O2F,

：。01和。O?是等圆，二/W=8.

电【例12】已知，如图，AB、CQ是。。的直径，弦AEUCD,联结CE、BC.求证：BC

CE.

【答案】详见解析.

9

【解析】：OA=OEf：.ZA=ZOEA,

VAE//CD,：.Z.BOC=ZA,ZEOC=ZOEA.

：.ZBOC=ZEOC,：.BC=CE.

氏【例13］如图，。。是A4BC的外接圆，A。平分/B4C,Z4OB=N8OC,判断AA8C

的形状，并说明理由.

A

【答案】等边三角形.

【解析】平分NBAC,，NS4O=NC4O,

,/OA=OC=OB,

DO97=DOV7=aOV7ViJOS7=aOV7：.

DOV7=aOV7•：

4ODV7=OVD7=OV97=OSV7T

/.AI3=BC=CA,，A4BC是等边三角形.

【例14］已知，如图,AB是。0直径,M、N分别是40、B0的中点，CMLAB,DN1AB.

求证：AC=BD.

【答案】详见解析.

【解析】连接OC、03,则。。=。£>,

•・・M、N分别是AO、80的中点，：.OM=ON,

VCM1AB,DNLAB,：.\OCMAODN,

:・ZCOM=ZDON,：.AC=BD.

举一反三

1.下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两

个圆是同心圆，其中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误;

②半圆是弧，正确;

③过圆心的弦是直径，故错误;

④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误,

故选：B.

2.如图，在。。中，AC=BD，ZAOD=150°,ZBOC=80°,则NAOB的度数是（)

c

B

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】D

【解析】

・・・AC=8。，

...AC-BC=BD-BC，

/.AB=CD^

:.ZAOB=ZCOD.

VZAOD=150°,ZBOC=80°,

ZAOB=；x(150°-80°)=35°,

故选:D.

3.如图，已知AB是（DO的弦，C是AB的中点，联结OA,AC,如果/OAB=20。，那么

ZCAB的度数是

【答案】350

【解析】

连接CB,OB,CO.

C

B

由题意AC=CB，

，AC=C8,且△ABC是等腰三角形，NCAO=NCBO

"：AO=OB,在AA08中

：.ZBAO=ZABO=20°

：.ZAOB=180°-N840-NA80=140。

・：AC=CB

NAOC=NBOC=yNAOB=70。

在△AOC中，AO=CO,

，/C4O=/4CO=(180°-70°)x1=55°

：.ZCAB=ZCAO-ZOAB=55°-20o=35°

故答案为35。.

4.如图所示，AB.CD是0。的两条直径，CE//AB,求证：BC=AE.

D

【答案】见解析.

【解析】

证明：连接OE,

­.•CE//AB,

:"BOC=NC,ZAOE=NE,

•：OC=OE,

/C=NE,

:2BOC=NAOE,

BC=AE-

5.如图，弧AC二弧CB,D,E分别是半径OA,OB的中点，求证：CD=CE

B

【答案】见解析.

【解析】

证明：连接OC.

­AC=BC^

AZAOC=ZBOC,

VOA=OB,D、E分别是半径OA和OB的中点,

AOD=OE,

VOC=OC（公共边），

.".△COD^ACOE,

.\CD=CE.

6.已知：如图，。是NA尸。的角平分线P8上的一点，0。与A4相交于尸点，PC相

交于G,H点,试确定线段所与G”之间的大小关系，并证明你的结论.

0GH

【答案】EF=GH,证明见解析

【解析】

解：EF=GH.

证明：作OM_LEF于M,ONJ_GH于N.

VO是NAOB的角平分线PB上的一点,

AOM=ON,

・・・EF=GH

©

J课后作业

1.下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【答案】A

【解析】

解：A、一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确;

8、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误;

C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选

项错误;

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误;

故选：A.

2.如图，根据下列尺规作图痕迹，其中表示点。是△ABC外心的是（）

【答案】c

【解析】

解：A、此选项作图痕迹是作角平分线的交点，。是内心，不符合题意;

B、此选项作图痕迹是作角平分线和垂直平分线的交点，。不是外心，不符合题意;

C、此选项作图痕迹是作三角形边的垂直平分线的交点，。是外心，符合题意;

D、此选项作图痕迹只作了边BC上的垂直平分线，。不是外心，不符合题意,

故选：C.

3.在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3,2）,点B的坐标是（3,-

4）.如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆。内,

另一点在圆O外，那么r的值可以取（)

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

•.•点A的坐标是（3,2）,点B的坐标是（3,-4）,

；.0A="+2?=/,

08=打+42=5,

:以点。为圆心，r为半径的圆。与宜线AB相交，且点A、8中有一点在圆。内，另一点

在圆。外,

：.yf]3<r<5,

/—4符合要求.

故选B.

4.矩形ABCD中，AB=8,8c=3石，点P在边A3上，且8尸=3AP,如果圆P是以点P

为圆心，P。为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

A.点B、C均在圆P外;B.点B在圆P外、点C在圆P内;

C.点8在圆P内、点C在圆P外;D.点B、C均在圆P内.

【答案】c

【解析】

：AB=8,点P在边AB上，且BP=3AP

；.AP=2,

22

根据勾股定理得出，r=PD=>/(375)+2=7,

PC=yjpB2+BC2=小6、(3厨=旧+(3石尸=9,

VPB=6<r,PC=9>r

・•・点B在圆P内、点C在圆P外，故选C.

5.下列说法中，正确的个数共有（)

(1)一个三角形只有一个外接圆;

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;

(3)在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等;

（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

(1)一个三角形只有一个外接圆，正确;

(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确;

（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确;

（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误;

故选C.

6.在直角坐标平面内，点d的坐标为（L0）,点3的坐标为（4。），圆d的半径为2.下

列说法中不正确的是（）

A.当4=一1时，点3在圆d上B.当4<1时，点3在圆幺内;

C.当4<-1时，点3在圆幺外D.当一1<4<3时，点3在圆d内.

【答案】B

【解析】

VA(1,0),0A的半径是2,；.AC=AE=2,；.OE=1,OC=3,

A、当a=-l时，点B在E上，即B在。A上，故本选项错误;

B、当a=-3时，B在G)A外，即说当a<l时，点B在圆A内错误，故本选项正确;

C、当a<-l时，AB>2,即说点B在圆A外正确，故本选项错误;

D、当-l<a<3时，B在。A内正确，故本选项错误；故选B.

7.如图，在。。中，AB是直径，4c是弦，连接0C,若Z4CO=25。，则NBOC的度数是

)

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【解析】

解：・・・O4=OC,

JNA=NACO=25。,

JNBOC=ZA+ZACO=25°+25°=50°.

故选：B.

8.如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等“改写成“已知

求证……”的形式，下列正确的是（）

B

A.已知：在。。中，AD=BC-求证：ZAOB=ZCOD9AD=BC.

B.己知：在。O中，AB=CD・求证：/AOB=/COD,AB=CD.

C.已知I：在。。中，AD=BC，ZAOB^ZCOD.求证：AD^BC.

D.已知：在。。中，AB=CD>NAOB=NCOD.求证：AB=CD.

【答案】B

【解析】

A.所对的圆心角应为NAOD,BC所对的圆心角应为/BOC,相等的圆心角应为

ZAOD=ZBOC,故A选项错误;

B.4B所对的圆心角为/AOB、所对的弦为AB,C。所对的圆心角为/COD、所对的弦为

CD,故B选项正确;

C.由题意可知，己知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故c选项错误;

D.由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误.

故选:B.

9.下列语句中正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.直径所在直线是圆的对称轴

【答案】D

【解析】

解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意;

8、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意;

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以此选项不符合题意:

。、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以。选项正

确.

故选：D.

10.若。O所在平面内一点P到。0的最大距离为6,最小距离为2,则。O的半径为

【答案】2或4

【解析】

解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（6-2）+2=2；

当点在圆内时，则这个圆的半径是（6+2）+2=4.

故答案为2或4.

11.己知RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=近，CD±AB,垂足为点D,以点D为圆心

作。D,使得点A在0D外，且点B在。D内.设。D的半径为r,那么r的取值范围是

79

【答案】「"屋

【解析】

解：:RSABC中，ZACB=90,AC=3,BC=S,

t7

・歹》•.

*8VTaD.\

»=z(")+z£)=avT

：AD・BD=CD2,

设AD=x,BD=4-x.

9

解得x="

・••点A在圆外，点B在圆内,

79

「的范围是

故答案为79

12.如图，△ABC中，ZA=70°,。。截△ABC的三条边所截得弦长相等，则NBOC=_.

【答案】125°

【解析】

VAABC'|'ZA=70o,O截4ABC的三条边所得的弦长相等,

.•.0到三角形三条边的距离相等，即0良XABC的内心,

•••Z1=Z2,Z3=Z4,Z1+Z3=1(180°-ZA)=g(180°-70o)=55°；

ZBOC=180°-(Zl+Z3)=l80°-55°=125°.

故答案为125。.

13.已知。。的直径是4,。。上两点3、C分。。所得劣弧