新人教版第13章轴对称导学案

厦门市国祺中学初二数学导学案编制人：柯永钦审核人：张昆PAGEPAGE413.1轴对称（1）一、学习目标1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。二、温故知新（口答）1、如图（1），平分，则=_______=______。2、如图（2）,△ABD≌△ACD,AB与AC是对应边。试说出这两个三角形的对应顶点和对应边。ACACBD图（2）ACBO图（1）观察上面两个图形，你能发现它们有什么共同的的特点吗？三、自主探究合作展示探究（一）自学课本29页，完成以下问题。什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。（1）（2）（3）（4）（5）探究（二）自学课本30页，完成以下问题。1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．探究（三）问题：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？归纳：区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠，这个图形能够与另一个图形_________。联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）四、双基检测1、轴对称图形的对称轴的条数()A.只有1条B.2条C.3条D.至少一条2、下列图形中对称轴最多的是()A.圆B.正方形 C.角D.线段3、如下图，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.答：图形；理由是：.4、标出下列图形中点A、B、C的对称点。5、下列图形是否是轴对称图形，如果是，找出轴对称图形的所有对称轴。思考：正三角形有条对称轴；正四边形有条对称轴；正五边形有条对称轴；正六边形有条对称轴；正n边形有条对称轴；当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？13.1轴对称（3）一、学习目标1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。二、温故知新（口答）1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线.3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。三、自主探究合作展示【问题】如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．【新知应用】例题1：如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，图（1）你能作出这条直线吗?图（1）1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；（2）作直线CD．直线CD即为所求的直线．2、思考：（1）在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？（2）在上面作法的基础上，连接AB，直线CD是线段AB的垂直平分线吗？并说明理由．例题反思：图（2）例题2：如图（2），在五角星上作出它的一条对称轴。图（2）例题反思：四、双基检测1、如图（3），下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是?图（3）图（4）图（3）图（4）2、如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?图（5）图（5）3、如图（5），角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴。 4、如图（6），与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．图（6）图（6）13一、学习目标1、认识轴对称图形，探索并了解它的基本性质；2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形;3、能利用轴对称进行图案设计。二、温故知新（口答）1、什么是轴对称图形?2、请画出下列图形的对称轴。三、自主探究合作展示探究（一）自学：认真阅读教材P39的四辐图。1、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？2、归纳：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的、完全相同；（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的点；（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴。探究（二）1、请同学们尝试解决以下问题；如图（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。图（1）图（1）问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确?(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗?2、如图（2），已知点A和直线，试画出点A关于直线的对称点A′。A·图（2）图（2）3、例题：如图（3）已知△ABC，直线，画出△ABC关于直线的对称图形。图（3）图（3）例题反思：四、双基检测1、把下列图形补成关于对称的图形。2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是。3、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．13一、学习目标1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形；2、能够用轴对称的知识解决生活中的实际问题。二、温故知新1、把下列图形补成关于对称的图形。2、仔细观察第三个图形，你能尽可能多的从图中找出一些线段之间的关系吗？三、自主探究合作展示探究（一）图（2）BA如图（1）．要在燃气管道图（2）BA图（1）图（1）2、请同学们任意取点探究，并完成下列表格。=1=1=2=3=4…3、通过以上探究，你发现什么规律吗？4、根据你发现的规律，在图（2）中完成本题。探究（二）问题为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？四、双基检测图（3）（（99A1、如图（3），在铁路的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两厂到货场C的距离的和最小．问点C的位置如何选择？图（3）（（99A2、如图（4），如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC的中点D处发出的球，能否依次经BC,AB两边反射后回到D处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。AADBC图（4）BB3、如图（5），A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。图（5）图（5）13一、学习目标1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；2、掌握关于轴、轴对称的点的坐标特点。二、温故知新图（1）如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？图（1）（2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？三、自主探究合作展示探究（一）在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？已知点A(2，－3)B（－1，2）C（－6，－5）D（0.5，1）E（4，0）关于轴对称的点()()()()()关于轴对称的点()()()()()2、归纳：点（，）关于轴对称的点的坐标是；点（，）关于轴对称的点的坐标是图（2）图（2）图（3）图（3）探究（二）例题：如图(3)，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于轴和轴对称的图形。例题反思：四、双基检测1、分别写出下列各点关于轴和轴对称的点的坐标。（3，6）（-7，9）（-3，-5）（6，-1）（0，10）关于轴对称的点关于轴对称的点2、已知点(2a+b,-3a)与点(8,b+2).(1)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.(2)若点与点关于轴对称，则a=_____;b=_______.3、如图（4），△OBC关于轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．图（5）图（5）图（4）3、如图（5），利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于轴和轴对称的图形．13一、学习目标1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。二、温故知新1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）A、圆B、长方形C、线段D、三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？答：3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称三、自主探究合作展示（一）操作、实践：取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：AAABCB（C）BDC（1）（2）（3）重合的线段重合的角【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？图（1）图（2）图（1）图（2）例1：填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时，①∵AD⊥BC，∴∠_____=∠_____，____=____.②∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____=∠_____.③∵AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为例2：如图（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=______=______=2______．再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．解：例题反思：四、双基检测1、在△ABC中，AB=AC，（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________（3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是多少度？（4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是多少度？图（3）图（4）2、如图（3）所示，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC图（3）图（4）3、如图（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．13一、学习目标1、理解等腰三角形的判定方法；2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。二、温故知新1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为2、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是三、自主探究合作展示（一）【思考】（1）如图（1），位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？图（1）已知：在△ABO中，∠A=∠B图（1）求证：AO=AO证明：【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）（二）【新知应用】图（2）1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．图（2）请同学们完成下列问题（1）、已知：如图（2），是△ABC的外角，∠1=，AD∥求证：．分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=，因为∠1=，所以可设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．（2）、请同学们完整的写出解题过程证明：例题反思：图（3）2、如图（3），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？图（3）例题反思：四、双基检测图（4）1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后（如图（4）所示），你得到的三角形还是等腰三角形吗？为什么？图（4）图（5）2、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．图（5）图（6）3、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？图（6）4、如图（7），AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．图（7）图（7）13一、学习目标1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形；2、理解等边三角形的性质与判定。二、温故知新1、在△ABC中，AB=AC，（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________；（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________；（3）如果∠A＝60°，则∠B＝_________，∠C＝___________。2、在△ABC中，如果AB=AC=BC，则∠A＝_________，∠B＝___________，∠C＝_________。3、____________________________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的________三角形。三、自主探究合作展示【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。【新知应用】图（1）例题：如图（1），在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．图（1）图（2）变式：如图（2），如将上述条件改为作∠ADE=60°，点D、E分别在边AB、AC上，结论还成立吗？改为过边AB上点D作DE∥BC，交边AC于点E呢？图（2）例题反思：探究（三）图（3）等边三角形三条中线相交于一点。请在图（3）中画出图形，找出图中所有的全等三角形，并选择其中一组全等三角形进行证明。图（3）四、双基检测1、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么？图（4）2、如图(4)，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？图（4）3、已知：如图（5），△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．图（5）求证：DB=DE．图（5）13一、学习目标1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。二、温故知新（口答）1、等边三角形三边，三个角都等于，2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。三、自主探究合作展示探究（一）BACD图（1）1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABCBACD图（1）2、你能用所学的知识验证以上结论吗？方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD=°,BD=BC=AB。方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是三角形,BADC图（3）ACBDBADC图（3）ACBD图（2）探究（二）例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？图（4）分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=，BC=，又由D是AB的中点，所以DE=．图（4）例题反思：探究（三）A例题：如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，A∠A＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.BBCA图（5）┓例题反思：┓四、双基检测1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（）A、腰大于底边B、腰小于底边C、腰等于底边D、不能确定2、在Rt△ABC中，∠C=90度，∠A=30°，CD⊥AB于点D，AB=8cm,则BC=，BD=，AD=3、如图（6）,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.图（6）图（6）MCBDAMDBCA第13章轴对称复习（1）一、复习目标1、认识轴对称、轴对称图形，理解并掌握轴对称的有关性质；2、掌握简单图形之间的轴对称关系，能按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；3、了解线段的垂直平分线的概念，并掌握其性质；4、能利用轴对称的性质解决简单的实际问题。二、知识再现例1、如图（1），判断下列图形是不是轴对称图形.图（1）图（1）例题反思：例2、如图（2），判断每组图形是否关于某条直线成轴对称.图（2）图（2）例题反思：例3、如图(3)所示，已知△ABC和直线MN.求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）图（3）图（3）图（4）图（4）例题反思：例4、如图（4）所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.例题反思：三、双基检测1、一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像是()2、如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么=.图（5）3、如图(5)所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，求△BCE的周长.图（5）4、某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图（6）所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；图（6）（2）阐述你设计的理由.图（6）四、拓展提高如图(7)所示的是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出阴影部分的面积图（7）图（7）第13章轴对称复习（2）一、复习目标1、了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2、了解等边三角形的概念并探索其性质；3、理解含30°锐角的直角三角形的性质并能利用它解决简单的实际问题。二