高中数学-数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.1数学归纳法课标分析数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法，也是中学数学的一个重要内容.数学归纳法知识容量之大、方法精妙之极、思想维度之广、文化内涵之丰，单一地肯定或者否定它是什么方法，或许有失偏颇.尽管数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的技术手段和工具，数学思想又是数学中处理问题的基本观点，是数学基础知识与基本方法本质的概括，但由于数学方法与数学思想互为表里，都建立在一定的知识基础上，反过来又促进知识的深化提高和向能力转化，我们从数学方法与数学思想的结合点来探讨数学归纳法之表象与实质、形式与过程，将有助于更好地认识和理解数学归纳法，从而使其发挥更好的教育教学功能.数学归纳法主要体现了“归纳”、“演绎”、“递推”、“模型”，其中“归纳”是数学归纳法产生的基础，“演绎”是数学归纳法自身发展的推力，“递推”使数学归纳法从有限走向无限，而“模型”则使数学归纳法为人们所广泛应用.此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。

2.3.1数学归纳法教材分析一、内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教B版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。二、目标分析陈述性知识：通过归纳、类比，准确理解数学归纳法的原理与实质.程序性知识：在教师指导下，初步学会数学归纳法证明问题的基本步骤.（1）知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用.

（2）过程与方法：经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力.（3）情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美.教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤

教学难点：正确理解第二步递推思想的实质根据以上目标的确定，教学上力求体现三种能力：探究能力、交流能力、实践能力。在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生观察思考、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点突破，进而达到预期的教学目标。2.3.1数学归纳法学情分析此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程,真正理解数学归纳法两个步骤的内在联系，把握概念的本质有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。2.3.1数学归纳法教学设计（一）创设情境1．情境1：请同学们求解下列各式，对规律作出归纳.13=13＋23=13＋23＋33=13＋23＋33＋43=……________________________________________可以得出的一般结论是13＋23＋33＋…＋n3=？思考:这个结论是正确的吗？怎么验证？设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.2.情境2:多米诺骨牌视频问题1：在游戏中，要使所有多米诺骨牌全部倒下，需要手动推倒几块骨牌？问题2：要使余下的多米诺骨牌全部倒下，骨牌在摆放时还需要满足什么条件？设计意图：从生活走向数学，进一步体会归纳意识，类比思考提出的问题，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习.让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。（二）方法形成问题3：能不能利用多米诺骨牌游戏的原理，类比得到证明问题的方法？多米诺骨牌游戏原理类比得到证明命题的方法一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行（1）（归纳奠基）证明当取第一个值_________时命题成立；（2）（归纳递推）假设____________时命题成立，证明______________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，上述证明方法叫做数学归纳法.设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点.数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.（三）证明猜想13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2设计意图：通过证明猜想使学生探究尝试，一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．（四）深化理解1.分析下述证明的过程中的错误.证明：假设当时等式成立，即，那么即当时等式也成立．因此对于任何等式都成立．2.用数学归纳法证明：，分析下述证明是否正确？证明:(1)当n=1时，左端==右端，等式成立（2）假设n=k时，原等式成立，即：于是当n=k+1时，有，故n=k+1时，原等式成立根据数学归纳法原理知等式对一切均成立.设计意图：通过易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.（五）总结归纳数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可．少了第一步，假设就不能变成真实的存在，缺了第二步，就不能把无限论证变成有限论证.(1)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，证明时应视具体情况而定．(2)证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据.（六）典型例题例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．例2．用数学归纳法证明：当时，．设计意图：例题1，2的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个例题能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点.（七）课堂小结（八）当堂检测1．若命题在时命题成立，则有时命题成立．现知命题对时命题成立，则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立C．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立D．以上说法都不正确2.用数学归纳法证明,则从到时,左边应添加的项为()A．B．C．D．设计意图:检测学习效果，同时2的变式思考题则起着承上启下的作用,它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔．2.3.1数学归纳法评测练习1.用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋…＋xn＋1=”成立时，验证n=1的过程中左边的式子是 (A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋…＋x22某个命题与自然数n有关，如果当n=k时成立那么可推得n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立3.数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n＞1）的过程中，第二步证明从n=k到n=k＋1成立时，左边增加m个项，则m等于 (A)2k－1 (B)2k－1 (C)2k (D)2k＋14.数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）…（n＋n）=2n·1·3…（2n－1）时，证明从n=k到n=k＋1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以 (A)2k＋2(B)（2k＋1）（2k＋2）(C) (D)5.已知,证明不等式时,比多的项数为A.BC.D.6.用数学归纳法证明1－＋－,则从k到k＋1时,左边应添加的项为(A)(B)(C)－(D)－7.则Sk+1=(A)Sk+(B)Sk+(C)Sk+(D)Sk+2.3.1数学归纳法效果分析根据本节课的学习目标设定来看，本节课顺利的使学生了解了数学归纳法。多米诺骨牌游戏的展示使学生很自然的总结出数学归纳法的一般步骤，典例的细致讲解和分析也达到了预期效果。老师设计的问题也有不少同学顺利的解决，能够帮助学生真正理解数学归纳法两个步骤的内在联系，把握概念的本质。通过当堂检测反映出学生能很好的掌握本节课的内容，但对一些较活的问题还存在一定难度。2.3.1数学归纳法观课记录滕老师：李老师轻松愉快的创设情境非常的好，用多米诺骨牌引入，让学生轻松的步入课堂，例题处理形式多样，有学生板演、口答、集体回答、有小组讨论，难点处理得当。尹老师：教师板书设计合理、科学条理性强，字迹工整美观，教态庄重，富有感染力，课堂语言精炼准确、生动形象，有启发性。语调高低适宜，快慢适度，富于变化；课上多媒体使用熟练准确，并达到良好效果。张老师：李老师遵循教学规律，从学生认知基础及心理特点出发，准确把握教材，选择合理的教学方法，抓住了关键，课堂结构严谨，环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中。徐老师：“数学归纳法”是高中教学的一个难点，用多米诺骨牌引入让学生亲身经历数学科学方法的提炼过程，体会数学来源于生活也服务于生活；让学生体会知识形成过程，体验再发现、再创造的快乐。2.3.1数学归纳法教学反思一、反思教学设计的成功之处第一点：通过引例说明不完全归纳法的不可靠性，得到一个问题情境，继而引导学生寻求一种能够证明与正整数n有关的命题的科学方法，从而使学生感受到学习新知识的必要性和重要性。第二点：在演示多米诺骨牌动画之后，让学生总结出“多米诺骨牌”效应产生所具备的两个条件，怎样把“多米诺骨牌”效应产生所具备的两个条件与数学归纳法原理联系在一起？我设计了通过类比“多米诺骨牌”效应产生的两个条件去判断引例猜想是否正确。1、“第一块骨牌必须倒下”就这个数列问题而言，应该为“n=1时，a1=1，猜想成立”。2、“第k块骨牌倒下，使得第k+1骨牌倒下时，解决了传递性问题”就这个数列问题而言，应该为“如果n=k时，猜想成立，我们能够证明n＝k+1时，命题成立，解决了递推问题“。从教学效果来看这一设计使得学生很好的理解了数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。第三点：根据以往教学中的经验，学生即使理解了数学归纳法原理及其证明过程，但在实际解题时，证明过程仍是问题百出，因而在完成探究的过程中两个步骤缺一不可，并且在证明n＝k+1时命题成立，一定要用到归纳假设，以及