空间向量解决立体几何问题演示文稿

空间向量解决立体几何问题演示文稿当前第1页\共有41页\编于星期三\7点（优选）空间向量解决立体几何问题当前第2页\共有41页\编于星期三\7点利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。当前第3页\共有41页\编于星期三\7点直线的方向向量和法向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：zxyAB1.直线的方向向量当前第4页\共有41页\编于星期三\7点αn直线的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.当前第5页\共有41页\编于星期三\7点利用空间向量决定点、直线和平面在空间中的位置1、如何确定一个点在空间的位置？OP2、如何确定一条直线在空间的位置？3、如何确定一个平面在空间的位置？O当前第6页\共有41页\编于星期三\7点因为方向向量与法向量可以确定直线和平面向量，所以我们可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。当前第7页\共有41页\编于星期三\7点知识点设直线的方向向量为分别为，平面的法向量分别为当前第8页\共有41页\编于星期三\7点习题讲解1、设分别是直线的方向向量，根据下列条件判断直线的位置关系。当前第9页\共有41页\编于星期三\7点习题讲解2、设分别是平面的法向量，根据下列条件判断平面的位置关系。当前第10页\共有41页\编于星期三\7点例题讲解定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。已知：直线和平面，其中，相交，，求证：当前第11页\共有41页\编于星期三\7点1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量。习题讲解依题意得：解：设平面ABC的一个法向量，令，则所以，平面ABC的一个法向量为1当前第12页\共有41页\编于星期三\7点第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.求平面的法向量的坐标的步骤当前第13页\共有41页\编于星期三\7点2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy习题讲解当前第14页\共有41页\编于星期三\7点解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.习题讲解AAABCDOA1B1C1D1zxy当前第15页\共有41页\编于星期三\7点解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).当前第16页\共有41页\编于星期三\7点二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab当前第17页\共有41页\编于星期三\7点例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD当前第18页\共有41页\编于星期三\7点证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

当前第19页\共有41页\编于星期三\7点(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL当前第20页\共有41页\编于星期三\7点例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy当前第21页\共有41页\编于星期三\7点解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(II),而

n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1当前第22页\共有41页\编于星期三\7点(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβα当前第23页\共有41页\编于星期三\7点例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1当前第24页\共有41页\编于星期三\7点证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD当前第25页\共有41页\编于星期三\7点2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.当前第26页\共有41页\编于星期三\7点例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD当前第27页\共有41页\编于星期三\7点解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.当前第28页\共有41页\编于星期三\7点(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下图).

naa

于是,因此θθnαα当前第29页\共有41页\编于星期三\7点例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO当前第30页\共有41页\编于星期三\7点解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴当前第31页\共有41页\编于星期三\7点（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2当前第32页\共有41页\编于星期三\7点例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值.BCzxyABCDS当前第33页\共有41页\编于星期三\7点解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的余弦值为.当前第34页\共有41页\编于星期三\7点3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,

这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB当前第35页\共有41页\编于星期三\7点例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1当前第36页\共有41页\编于星期三\7点解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴异面直线AC1与BD间的距离当前第37页\共有41页\编于星期三\7点(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ当前第38页\共有41页\编于星期三