高中数学-幂函数图像及性质教学设计学情分析教材分析课后反思

幂函数课标分析1.知识技能：了解幂函数定义，掌握一些常见幂函数的图像及性质和一般幂函数第一象限内图像特点2.过程与方法：通过形式来定义幂函数，比较幂函数和指数函数得出其特有的形式特点，观察图像归纳总结出其函数性质，数形结合找规律3.情感、态度和价值观：函数图像直接反应函数性质，同样由函数性质也能大致画出其图像，对图像与性质之间的关系进行探索体会教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。学情分析（1）学生已经接触过函数，已经确立了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识

，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）虽然前面学生已经学会用描点列表连线画图的方法来绘制指数函数，对数函数图像，但是对于幂函数的图像画法仍然缺乏感性认识。

（3）

学生层次参次不齐，个体差异比较明显。幂函数一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。二．学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。三．教学目标1．知识目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。2．能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。3．情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函数的定义。）深化认知（1）下列函数是幂函数的是：A．y=2x+1B．y=3x2C．y=x-3D．y=1（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？学生回答，老师点评。引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。（三）问题探究1.对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．填表以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．2.在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．学生回答，老师点评：幂函数的性质．（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像都过点（1，1）；（2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数;（3在（0，＋∞）上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数；（４）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。（四）解释应用例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影）①y=x②y=x③y=x④y=x学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（演示）例２．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：①0.75，0.76；②(-0.95)，(-0.96)；③0.23，0.24；④0.31，0.31学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．（五）归纳小结今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？（六）布置作业：课本第79页1、2、题思考：幂函数y=(m-3m-3)x在区间上是减函数，求m的值。附：板书设计课题…………问题一（1）……………….（2）………………（3）……………….（4）………………（5）……………….问题二：……………….定义：……………填表幂函数的性质．（1）………………（２）………………（３）………………（４）………………例1……………①y=x②y=x③y=x④y=x例２．（1）………………（２）………………（３）………………（４）………………拓展延伸……………布置作业…………….高中数学幂函数重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数的图像，了解他们的变化情况．知识梳理：1.幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数.要求掌握，，，，这五个常用幂函数的图象.2.观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当时，图象过定点；在上是函数.（2）当时，图象过定点；在上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数.轴和直线之间，图象由上至下，指数.诊断练习：如果幂函数的图象经过点，则的值等于 2．函数y＝（x2－2x）的定义域是3．函数y＝的单调递减区间为4．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（－），（－），1.1；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）31.4，51.5.例2已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值．例3幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.反馈练习：1．幂函数的图象过点，则的值为.2．比较下列各组数的大小：；；.3．幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是．4．设x∈(0,1)，幂函数y＝的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．5．函数y＝在区间上是减函数．6．一个幂函数y＝f(x)的图象过点(3,),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f(x)<g(x)的解集.巩固练习1．用“<”或”>”连结下列各式：，．2．函数的定义域是3．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是.4．已知，x的取值范围为5．若幂函数的图象在0<x<1时位于直线y=x的下方，则实数a的取值范围是6．若幂函数与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且函数g(x)的图象经过,则的表达式为7.函数的对称中心是，在区间是函数（填“增、减”）8．比较下列各组中两个值的大小9．若，求的取值范围。10．已知函数y＝．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．诊断练习：1。2。（－∞，0）（2，＋∞）3。（－∞，0）4。-1例1解：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21．∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小．（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．例2解：∵幂函数图象与、轴都没有公共点，∴，解得.又∵的图象关于y轴对称，∴为偶数，即得.例3解：∵是幂函数，∴，解得.当时，是奇函数，不合题意；当时；是偶函数，在上为增函数；当时；是偶函数，在上为增函数.所以，或.反馈1。2。.>,≤,<,3。(－∞,0);4.(－∞,1);5.（0，＋∞）;6．（1）设f(x)＝xa,将x＝3,y＝代入，得a＝,；设g(x)＝xb,将x＝－8,y＝－2代入，得b＝,；（2）f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3）(0,1)巩固练习：1．，2．提示：。3．5提示：∵是偶函数，且在是减函数，，当时，解得。4．提示：函数y=与y=的定义域都是R，y=的图象分布在第一、第二象限，y=的图象分布在第一、第三象限，所以当x时，＞，当x=0时，显然不适合不等式；当x时，＞0，＞0，由知x＞1。即x＞1时，＞。综上讨论，x的取值范围是。5．a>1函数的图象在0<x<1时位于直线y=x的下方，说明函数的图象下凸，所以.6．因为函数g(x)的图象经过，所以函数f(x)的图象就经过点7.（-3，1）(-∞，-3)；（-3，+∞）增提示：=.8．解析:9．解析：∵，据y=的性质及定义域，有三种情况：或或，解得。10．这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．结合课本例题要求，对例2和例3的位置做了调整，目的是在例题1例2中完成对本节课重点知识的集中演练，在例题的讲解中突出和本节课知识的联系，做好对学生思维的调动和引导。在随堂联系的处理上，原则性：参考课本例题和课本练习题的特点。过程展现：放手让学生自行解决，然后教师加以点拨评价。目的：巩固知识的同时，提高学生的参与热情，培养学生对数学课堂的情感体会，形成简单的对试题的形成和解决的思考。课后统一及个性作业，课后统一作业以课堂所学基本知识为主，重点训练学生的解题能力和规范书写能力，考察对课堂知识的掌握程度。而个性作业其宗旨是对课堂知识的进一步延伸和拓展，同时应注意题目对培养学生数学情感所起的积极作