湖北省荆门市钟祥市东桥职业高级中学2021年高三数学文月考试题含解析

湖北省荆门市钟祥市东桥职业高级中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)对任意不相等的实数x1，x2都满足(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，若a＝f(21.2)，，则a，b，c的大小关系为A.c<a<b

B.c<b<a

C.b<a<c

D.b<c<a参考答案：B2.下列命题中是真命题的是

（

）①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题

②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题A、①②③④

B、①③④

C、②③④

D、①④参考答案：B略3.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）．

．

．

．参考答案：A由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，高为1.∴原几何体的体积为,选A.4.某程序框图如图所示，若输入输出的n分别为3和1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（）A．i≥7？ B．i＞7？ C．i≥6？ D．i＜6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件n为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件n为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为1．故在图中空白的判断框中应填入的条件可以为i≥7？故选：A．5.已知点，椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分，则椭圆的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C∵的斜率存在，可设直线为：，带入椭圆方程可得：,设则，，又直线恰好平分，∴即，∴，，∴2∴，∴，∴，又∴故选：C

6.已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23参考答案：C【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C7.已知在同一坐标系中，函数的图象是下图中的参考答案：C略8.已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是(

)A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2参考答案：D【考点】导数的几何意义．【分析】已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选D．【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．10.由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=?，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是(

) A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素参考答案：C考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答： 解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为P,以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为Q，则正方体体对角线AC1在P、Q公共部分的长度为

.参考答案：

画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.

12.已知向量均为单位向量，若它们的夹角是，则等于

.参考答案：略13..已知实数x，y满足，则的最大值是______________.参考答案：4

14.函数

图象如图所示，则

。参考答案：答案：15.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：16.已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为

． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式． 【分析】f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率． 【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b2x+1， ∴f′（x）=x2+2ax+b2， 要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根， 即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b， 又a，b的取法共3×3=9种， 其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1）， （3，0），（3，1），（3，2）共6种， 故所求的概率为P=． 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用． 17.对任意的都有,且满足:,则（1）

;（2）

．参考答案：（1）2

（2）19三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，，故.且，故所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，即的两个正根为所以，即所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是19.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及，设椭圆方程为，将点的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．（Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，通过，求解∠APB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），故抛物线方程为x2=4y…设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为，即，同理l2的方程为，令，即，显然x1≠x2，故，即点Q的横坐标是，点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），故点Q的轨迹方程是y=﹣1…（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，此时两条切线方程分别为，此时，若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程联立消元得…由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，故，整理得…切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．综上可知：∠APB的大小为定值，得证…【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD中点，点F在BC上，且.（1）证明EF⊥平面PAE；（2）若，求平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值.参考答案：(1)证明见详解；(2).【分析】（1）根据平面，可得，再证，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为平面，平面，故可得；设底面正方形的边长为4，故可得，，，故在中，满足，故可得；又平面，且，则平面，即证.（2）因为平面,平面，故可得，又底面为正方形，故可得，故以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示：设，故可得设平面的法向量为，则，则取，则.不妨取平面的法向量.则.设平面与平面所成二面角的平面为，则.即平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）根据等差数列的定义和