步步高2017版高考数学理全国甲卷大二轮总复习与增分策略配套课件专题七概率统计6份打包第2讲

第2讲

概

率专题七 概率与统计栏目索引高考真题体验1热点分类突破2高考押题精练3解析高考真题体验1

2

3

41.(2016·课标全国乙)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.1

B.13

2C.23D.56√1

2

3

4解析

将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，6

3故所求概率为P＝4＝2，选C.解析1

2

3

42.(2016·课标全国乙)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(

)A.13B.12C.2

D.33

4√1

2

3

4解析

如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，401根据几何概型得所求概率

P＝10＋10

，故选＝2B.解析1

2

3

43.(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、

丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(

)A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球√B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析

取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况完全随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.1

2

3

41

2

3

42

2

4试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－1×1＝3，

34∵2

次独立试验成功次数

X满足二项分布

X～B

2，

，则E(X)＝2×423＝3.4.(2016·四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面3向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是

2

.解析

由题可知，在一次试验中，解析答案考情考向分析返回以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用；将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.热点一 古典概型和几何概型1.古典概型的概率mP(A)＝

n

＝A中所含的基本事件数基本事件总数.2.几何概型的概率构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)＝试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积.)热点分类突破例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )B.110

5A.3

1C. D.110

20√解析解析

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，10所以概率为1

.故选C.(2)(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆∴|5k|k2＋1<3，解得－3<k<3，4

4由几何概型得P3＝

4

－－

341－(－1)34＝

.3(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为

4

.解析

由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，解析答案思维升华思维升华解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.B.

136

18A.1

1C.

D.112

6跟踪演练

1

(1)已知函数

f(x)＝1ax3－1bx2＋x，连续抛掷两颗骰子得到点3

2数分别是

a，b，则函数

f′(x)在

x＝1

处取得最值的概率是(

)√解析解析

f′(x)＝ax2－bx＋1(a，b∈N*，且1≤a≤6，1≤b≤6)，其对称轴方程为x＝

b

＝1，即b＝2a，2a抛掷两颗骰子得到的点数一共有{(a，b)|a，b∈N*,1≤a≤6,1≤b≤6}共36种等可能出现的情况，其中满足b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3种情况，36

12所以其概率为P＝

3

＝

1

，故选C.(2)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A.1

2B. C.3

D.4√17

17

17

17解析

直角三角形的较短边长为3，则较长边长为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛一枚幸运小花朵时，34

17小花朵落在小正方形内的概率为4

＝

2

，故选B.解析热点二 相互独立事件和独立重复试验1.条件概率在A

发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝P(AB)P(A).相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B).独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为nPn(k)＝Ckpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.一般地，在n

次独立重复试验中，用X

表示事件A

发生的次数，设每次n试验中事件A

发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ckpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，称X

服从参数为n，p

的二项分布，记作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).例

2

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A

和

B，系10统A

和系统B

在任意时刻发生故障的概率分别为1

和p.50(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49，求p

的值；解

设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C

)＝1－1

·p＝49，解得p＝1.10

50

5解析答案(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.解析答案思维升华解

设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.则D＝D0＋D1，且D0、D1互斥.00

3依题意，得P(D

)＝C

(1101–

)

，P(D

)3

11

11310

102＝C

(1－

)

，0

1所以P(D)＝P(D

)＋P(D

)＝

729

＋243

＝2431

000 1

000

250.所以系统A

在3

次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.思维升华思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.跟踪演练2

(1)把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于(

)A.1

B.1

C.12

4

6D.13√解析解析

由于素数点为2,3,5，合数点为4,6，则P(A)＝1，P(B)＝1，且事件A与事件B

互斥，2

32

3

6可得P(AB)＝1×1＝1，P(A)11

32则所求概率为P(B|A)＝P(AB)＝6＝1，故选D.(2)如图所示，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为1

，路段CD发生堵车的概6率为1

).若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是10

A→E→F→B

.答案解析解析

路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率16

10

5

20P

＝1－(1－1)×(1－

1

)×(1－2)＝11，路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率25

8

5

25P

＝1－(1－1)×(1－1)×(1－1)＝11.25

20因为11<11，所以应选择路线A→E→F→B.热点三 离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi≥0

(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.均值公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.均值的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.4.方差公式D(X)＝

[x1

－E(X)]2·p1

＋[x2

－E(X)]2·p2

＋…＋[xn

－E(X)]2·pn

，标准差为5.方差的性质

(1)D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).D(X).例

3

甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关.甲能攻克的概率为2，乙能攻克的概率为3，丙能攻克的概率为4.3

4

5(1)求这一技术难题被攻克的概率；解

记“这一技术难题被攻克”为事件A，则其对立事件A

为“这一技术难题三人都没有攻克”.故所求概率P(A)＝1－(1－2)×(1－3)×(1－4)＝1－11

1＝593

4

5

3×4×5

60.解析答案(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a

万元.奖励规则如下：若只有一人攻克，则此人获得全部奖金

a

万元；若只有两人攻克，则奖2金奖给此二人，每人各得a万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每3人各得a万元.设乙、丙两人得到的奖金数的和为X，求X

的分布列和均值.解析答案思维升华解

设甲得到的奖金为ξ万元，由题意可知攻克难题的奖金是a万元，所以乙、丙两人得到的奖金之和为X＝a－ξ(万元).3

2由题意可知，ξ

的所有可能取值为0，a，a，a.其与X的取值关系如下表：ξ0a3a2aX＝a－ξa2a

3a20解析答案思维升华故P(X＝a)＝P(ξ＝0)＝1

1

13(1－4×5)596019＝59；P(X＝2a

＝P(ξ＝a)＝3)

32

3

43×4×5596024＝59；a

aP(X＝2)＝P(ξ＝2)＝2

3

1

1

43(4×5＋4×5)596014＝59；解析答案思维升华P(X＝0)＝P(ξ＝a)＝2

1

13×4×5592＝59.60故X的分布列为Xa2a

3a20P195924591459

2

59所以E(X)＝a×19＋2a24＋a

14＋0×

2

＝42a59 3

×59

2×59

59 59.思维升华思维升华求解随机变量分布列问题的两个关键点求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率.求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解.跟踪演练3

某中学根据2002～2015

年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m、1、n，已知三个社团他都能进入的概率为

1

，至少进入一个社3

244团的概率为3，且m>n.(1)求m与n的值；解

依题意，1

13mn＝24，13341－(1－m)(1－

)(1－n)＝

，解得

1m＝2，14n＝

.解析答案(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及均值.解析答案返回解

由题设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P(X＝0)＝12×3×4

43＝1；P(X＝1)＝12×3×4

42

2

3＝1；P(X＝2)＝112×3×4

83＝1；P(X＝3)＝12×3×4

2×3×4

242

1＋1

1 3＝

5；P(X＝4)＝122×3×4

121＝

1；P(X＝5)＝12×3×4

241 1＝

1；P(X＝6)＝12×3×4

241

1＝

1.解析答案故X的分布列为X0123456P141418

5

24

1

12

1

24

1

24所以

E(X)＝0×1＋1

1＋2×1＋3×

5

＋4×

1

＋5×

1

＋6×

1

＝234

×4

8

24

12

24

24

12.返回1

2

3解析押题依据高考押题精练1.某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在110分的考生人数约为(

)70分到110分之间的人数约为总人数的3

，则此次数学考试成绩不低于5√A.200押题依据B.400

C.600

D.800正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注.1

2

3解析

依题意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有0.2×1

000＝200(人).1

2

32.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动