2022学年新人教A函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

1.指数函数型模型(1)表达形式:f(x)=abx+c.(2)条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1.2.对数函数型模型(1)表达形式:f(x)=mlogax+n.(2)条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (

)(2)对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的模拟效果越好. (

)(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果较好. (

)提示:(1)×.对于一个实际问题,可以选择不同的函数模型,只是模拟效果有区别.(2)√.数据越多,模拟效果越好.(3)√.根据散点图选择函数模型,针对性较强,得到的函数模型的模拟效果较好.2.计算机成本不断降低,若每隔2年计算机价格降低,现在价格为8100元的计算机6年后价格可降为 (

)

A.3600元 B.2400元 C.900元 D.300元【解析】选B.由题意,计算机6年后的价格为:8100×=2400(元).3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,则第7年它们繁殖到________只.

【解析】由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),这种动物第1年有100只,所以100=alog2(1+1),所以a=100,所以y=100log2(x+1),所以当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300.答案:300类型一指数函数型模型【典例】1.某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液,经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍.经测量知该真菌的繁殖规律为y=10eλt,其中λ为常数,t表示时间(单位:小时),y表示真菌个数.经过8小时培养,真菌能达到的个数为 (

)

A.640 B.1280 C.2560 D.51202.习总书记在党的十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1).世纪金榜导学号(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x.(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477.【思维·引】1.代入初始值求出λ,再代入时间求值.2.(1)利用初始值、“增长率”、增长次数的关系式.(2)列出不等式,利用对数知识、参考数据运算.【解析】1.选C.原来的真菌数为10,由题意可得,在函数y=10eλt中,当t=1时,y=20,所以20=10eλ即eλ=2,y=10eλt=10·2t,若t=8,则可得此时的真菌数为y=10×28=2560.2.(1)依题意得(1-x)n=a,所以1-x=即x=1-(2)设n年后年产能不超过2017年的25%,则(1-10%)n≤25%,即即即n(2lg3-1)≤-2lg2,所以n≥即n≥因为13<<14,且n∈N*,所以n的最小值为14,所以至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.【类题·通】有关增长(衰减)率问题(1)熟练应用公式y=a(1+x)n,特别是增长(衰减)次数,审清如年初、年底等字眼.(2)对于比较复杂的问题,可以通过写出前三、四次的表达式,找出规律后再写第n次的.【习练·破】有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%.有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从__________年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨,所以4000=400×所以=10,两边取对数可得n(lg3-lg2)=1,所以n(0.4771-0.3010)=1,解得0.1761n=1,解得n≈6,所以从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.答案:2021类型二对数函数型模型【典例】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=-lgx0,单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg2=0.30,31.2=3.74,31.4=4.66). 世纪金榜导学号(1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时,候鸟的飞行速度是多少km/min?(2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少单位?(3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min,同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min,则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍?【思维·引】(1)将x0,x代入解析式求速度.(2)利用候鸟休息的速度为0解题.(3)利用对数运算,两式相减构成耗氧量的商.【解析】(1)由题意,x0=2,x=8100,得v=-lg2≈1.7,故此时候鸟的飞行速度为1.7km/min.(2)由题意得,当候鸟停下休息时,它的速度是0,可得0=-lg5,即log3=2lg5=2(1-lg2),解得:x≈466,故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位.(3)设雄鸟的耗氧量为x1,雌鸟的耗氧量为x2,由题意得:两式相减可得1=解得:=9,故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍.【内化·悟】涉及对数函数型模型的应用问题,用到了哪些对数运算?提示:商的对数,幂的对数,换底公式,两边取对数,两式相减等.【类题·通】对数函数应用题的解题思路(1)依题意,找出或建立数学模型,设出函数解析式.(2)依实际情况确定解析式中的参数.(3)依题设数据解决数学问题.(4)得出结论.【习练·破】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v=klog3+b,其中k,b为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位;而当它的游速为1.5m/s时,其耗氧量为2700个单位.(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式.(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时,其耗氧量至多需要多少个单位?【解析】(1)由题意可得解得k=b=0,所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式为v=(2)由题意,有≤2.5,即log3≤5,所以log3≤log335,由对数函数的单调性有0<≤35,解得0<Q≤24300,故当一条鲑鱼的游速不高于2.5m/s时,其耗氧量至多需要24300个单位.类型三建立拟合函数模型解决实际问题【典例】某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%. 世纪金榜导学号(1)若某企业产值100万元,核定可得9万元奖金,试分析函数y=lgx+kx+5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型,并说明原因(已知lg2≈0.3,lg5≈0.7).(2)若采用函数f(x)=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.【思维·引】(1)根据题意求出k值,检验函数模型是否符合政府的其他奖励要求.(2)对f(x)进行适当变形,结合题意、条件求a值.【解析】(1)对于函数模型y=lgx+kx+5(k为常数),x=100时,y=9,代入解得k=所以y=lgx++5.当x∈[50,500]时,y=lgx++5是增函数,但x=50时,y=lg50+6>7.5,即奖金不超过年产值的15%不成立,故该函数模型不符合要求.(2)对于函数模型f(x)=a为正整数,函数在[50,500]上递增;

f(x)min=f(50)≥7,解得a≤344;要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立,即a≥-0.15x2+13.8x对x∈[50,500]恒成立,所以a≥315.综上所述,315≤a≤344,所以满足条件的最小的正整数a的值为315.【类题·通】函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格,绘出散点图.(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数.(5)利用选取的拟合函数进行预测.(6)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.【习练·破】某企业常年生产一种出口产品,自2013年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2013年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2013～2016年该企业年产量的散点图.(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式.(3)2017年(即x=5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2017年的年产量为多少?【解析】(1)画出散点图,如图所示.(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a≠0).由已知得解得所以f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1.f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.(3)根据所建的函数模型,预计2017年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10万件,又年产量减少30%,即10×70%=7万件,即2017年的年产量为7万件.类型四化学中的对数型函数问题【化学情境】溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中