中等数学奥林匹克问题

数数 问初213如图1,△ABCAB=ACADBC,D,EAD的DF⊥BE,F,CFAD于点G.求证:EG<(吕建恒陕西省兴 初 已知abc是三角形的三条

,a2+b2+c2=2008.求该三角(省罗田县凉亭河中学,高 已知锐角△ABC,AB>AC,N求证∠BND=∠CND(黄全福 省怀宁县江学,高 设正数列{an}满石子,游戏终止 必存在a2∈N+,a2>a1,使

fa2-

(m)<(A+2)a 且f(m)≥(A+2)k,aAk≤m<(A+1)k(A∈N+) m=

+b,f

(

=

+b+A

(A+2)ka2a

(m)<(A+1)+(A+2)k 若仍有Ak≤f(m)<(A+1)k, 设fa(m)=(A+2)k+q(q∈N) f2(m)=Ak+b+2Af2(m)-f1(m)=A,若正整数m满足Ak≤mf1(m)<A

q0,则命题获证q≠00<qA1f1迭代的增量为A+1,有k, fa(m)≡f

(m)(mod(A+1))f1(f1(m))-f1(m)=A fi+1(m)-fi(m)=A≥1

即A2)k+q≡A1)k+p(modA1q≡p-1(modA10<pq<A1,p-1=,a1∈N+,

(m)=(A+2)+(p-1)kaf(m)≥(A+1)ka1

,fa(m)=A1)k+pf

(且 (m)<(A+1)k, a1-f(A+1)kf

(m)<A+(A+1)k

A2)k+p-1),A11(A2-2f

(m)=(A+1)k+p(p∈N) g1(x)=fa-a(x),gn(x)=g1(gn-1(x))(n≥2)1若p=0,则命题获证 则g1(fa(m))=(A+2)k+(p-1)1若p≠0,则由式②知0<p<A, g2(f1

(m))=(A+3)k+(p-2)a(A+1)ka1

(m)<(A+2)k 再对fa(m)反复进行f1迭代,利用式①可知 gp(fa(m))=(A+p+1)k+(p-p)=(A+p+1)k 在式③的限定下每次f1迭代的增量为A+1,于是 (省市高级中学2007年第11 a1=9

,

=23

-3<m<1Ζ55m≠-5+55且且8n+

+4an+an-

=3(n≥2) Ζ-3<m<-5+ 或-5+ <m<1(m≠0)5求该数列的通项 综上所述,m的取值范围是-3≤m<-5+55(浙江省余姚市余姚中学高 或-5+ <m<0或0<m<5(13211m,满足存在两个实数ab,使得a≤0,b≠0,且

(,广州大学数学与信息科学学院,510006).212,且这个四位数与它的各位数字之和是2008求这个四位数,并说明理由.1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2008a-bma+3b

=1m

即1001a+101b+11c+2d=2 :,m≠0.a分情况讨论a0-b=1m≠0

,a≥3,1001a30002008a3不可能a1a101b+11c+2d=1b≠0,-3

=1,m

m=-

11c2d11×92×9117101b≥1007-117ba≠0,则由a≤0a<0b=tat≠0因为等式中出现了ab,t =| =-att

,b9成立,11c2d1007-909,7<c<9.故c=8.c8,11c+2d=11×8+2d=98,d,题给等式变为a-ta-ma+3ta

=1,m

1-tm+3t

=1m

101b+11c+2d=,b0c0d3时才成立m(1-t-t)=m+3t故1-t Ζt(m+3)=t(1-m)t -1

(m≠0)1- 证

(省罗田县凉亭河中学211设abc是正数,且a+b+c=1.ttttm(m+ =1-m, =m+3 1 a1 b1ttttm

tcΖt -1 -1± tc1-

21

t=m+3

m+3>0

G(x)=ln1+1+x-148x

- t≠-1+

-

≠-1+

+3 m+ (m+3)(1-m)>0

G(x)

(1+x+x3)(1+x

-Ζ1-m≠-1+5(m+2(m+3)(m-1)<0 -3<m<1

(3x-1)(-11x3+84x2+165x+=148(1+x+x3)(1+=(3x-1)[11x2(1-x)+73x2+165x+33]148(1+x+x3)(1+ 5 +3

≠5-Ζm≠5-3+

(1-x)+73x∈]时x等数学》2008年第1期继续推出服务于初中数赛的专,届时仍聘请多名员为专提供模拟试题(有详细的解答)。页码(1648页,价格(3元:个人订阅每册3190元(含邮费);集体订阅请与编辑部李老师联系。订阅地址:市河西区卫津路241《中等数学编辑:022 :300074本本165x330(1+x+x3)(1+x)0.G(,x∈[3,1),3x-10,G(则33a2+b2+c2)-11(a+b+c)(a+b+c)≥ln.故1+1+ 1+1+ 1+1+ c≥.因此,函数G(x)在(0,1)上有最小 当且仅当a=b=c=1时,等号成立1311313 ,且 =(黑龙江省大庆实验中学+.xa1313++1313+ +cln37+.xa1313++1313+ +cln37ln1+1+

x-3

0N=n2=A1A2A3A4,A1A2A3A4xln1+1+

≥33

找一个由两个平方数组成的数(不要求这个数也是aln1

1+

完全平方数),且这个数是偶数(4的倍数)bln1+1+

≥33bb-

abm,N=n2=(a×10m+b)cln1

cc1+

,2ab436ab2182182×109a2= m,,并考虑aln1+1+a+bln1+1+b+cln1+1+≥33(a2+b2+c2)-11(a+b+c)

b2的位数b2118815位m5,(a+b+c)

a2+b2+a2+b2+3