2022年福建省福州市市第十八中学高三数学理期末试卷含解析

2022年福建省福州市市第十八中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A由线面垂直的判定定理可知，时，能推出，而不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.

2.复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A. B. C. D.参考答案：A略4.已知，，，，若，则的值为（

）A．8

B．9

C.10

D．11参考答案：C5.设为椭圆的左，右焦点，点M在椭圆F上．若△为直角三角形，且，则椭圆F的离心率为(

)

A．

B.

C．

D.参考答案：A6.函数的零点所在的区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．8.若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣ D．2参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知复数z满足（i为虚数单位），则z=

（

）

A．-1+3i

B．-1-3i

C．1+3i

D．1-3i

参考答案：B10.如图，在三棱锥中,两两互相垂直，且,设是底面三角形内一动点，定义：，其中分别表示三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量x，y满足条件，若z=y﹣x的最小值为﹣3，则z=y﹣x的最大值为

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先求出m的值，然后通过平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，为﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直线x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直线方程为x+y=1，当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（，），此时z=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c=3,C=,a=2b,则b的值为

。参考答案：13.已知矩形的面积为8,当矩形周长取最小值时,沿对角线把折起,则三棱锥的外接球的表面积为________参考答案：14.设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，则不等式exf（x）＞ex+2015（其中e为自然对数的底数）的解集为．参考答案：{x丨x＞0}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+2015，∴g（x）＞2015，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，则不等式的解集为：{x丨x＞0}故答案为：{x丨x＞0}．15.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为．参考答案：

【考点】轨迹方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，设P（x，y，0）．于是有．由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为16.记公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列，则公差d=

；数列{an}的前n项和为Sn=

．参考答案：1，．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3，a5，a8成等比数列，即有a52=a3a8，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：a3，a5，a8成等比数列，即有a52=a3a8，即为（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），化简可得2d2=a1d，（d≠0），即有a1=2d，又S3=9，可得3a1+d=9，即a1+d=3，解方程可得a1=2，d=1，Sn=na1+n（n﹣1）d=2n+n（n﹣1）=．故答案为：1，．17.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7327

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

46980371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为

．参考答案：.由随机数表可知,共有20个随机事件,其中该运动员射击4次至少击中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有7个随机事件,因此估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由f（A）=2sin（2A﹣）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=，从而可求S△ABC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，故由正弦定理可得：，解得a=，∴S△ABC=acsinB=sin=．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．19.已知等差数列{an}中，，，，顺次成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，{bn}的前n项和Sn，求.参考答案：(1)；（2）【分析】（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，，顺次成等比数列

，又，化简得：，解得：（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.20.（12分）数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．参考答案：考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．专题： 等差数列与等比数列．分析： （I）由已知条件得到Sn=2an﹣1，由此推导出数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，从而得到，Sn=2n﹣1，进而得到b1=a1=1，b4=1+3d=7，由此能求出{bn}的通项公式．（II）由cn=，得Tn=，由此利用裂项求和法能证明．解答： （I）解：∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn=2an﹣1，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1，即，（3分）∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，∴，Sn=2n﹣1，设{bn}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2，∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（6分）（II）证明：cn===，（7分）∴Tn=，（9分）∵n∈N*，∴．（12分）点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法及不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.某地的出租车价格规定:起步费元，可行3公里，3公里以后按每公里元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里元计算（这里、、规定为正的常数，且），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)

若取，，，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）(2)

求车费（元）与行车里程(公里)之间的函数关系式.参考答案：（1）他应付出租车费26元；……………（4分）（2）

22.如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接FN，证明FN∥AC，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥平面DEF．（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PBC的法向量，平，通过向量的数量积求解二面角A﹣BC﹣P的大小．（Ⅲ）设存在点Q满足条件．设，通过直线BQ与平面BCP所成角的大小为，列出关系式，求出λ，然后求解FQ的长．解答： （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC中点，所以FN∥AC，因为FN?平面DEF，A