高中数学-2.3等差数列的前n项和教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前项和公式则是等差数列中的一个重要公式。它前承等差数列的定义，通项公式，后启等比数列的前项和公式。在探究并获得等差数列的前项和公式的过程中蕴含着一些数学思想方法。这对于进一步研究其他的数列有着很强的启发与示范作用。本节是高考中的重点内容之一，是在学生学习了等差数列的定义和通项公式的基础上，进一步解决有关的计算和实际问题.重点为等差数列的前n项和公式及其推导过程.难点为灵活运用等差数列的求和公式解决相关问题.新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式

；注重学生数学思维能力的发展；

重视学生数学应用意识与应用能力的培养；

重视对数学文化价值的渗透

。新课标对等差数列求和公式内容的要求：1．探索并掌握等差数列的前n项和的公式，体会倒序相加法，观察发现、类比归纳、抽象概括、由特殊到一般等方法，感悟人们在学习数学和运用数学解决问题的思维过程，逐渐形成理性的思维能力．

2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题，合理进行“数学建模”的选择，提高学生的应用意识和应用能力．

3、利用等差数列求和史，既体现数学的科学价值，又渗透了对学生进行文化价值的教育。教材分析等差数列前n项和公式选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式。它前承等差数列的定义，通项公式，后启等比数列的前项和公式,在探究并获得等差数列的前n项和公式的过程中蕴含着一些数学思想方法。这对于进一步研究其他的数列有着很强的启发与示范作用。等差数列在现实生活中比较常见。因此，等差数列的求和是在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。学情分析1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课；2、本节课授课班级是我校高二年级的平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于成绩中等的学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。4、学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。2.3等差数列的前n项和（第一课时）编写教师：一、教学目标知识与技能理解等差数列前n项和的意义，会选择不同的等差数列前n项和的求和公式解决简单的不同类型的等差数列的求和问题。过程与方法经历特殊等差数列的求和探究过程，以及等差数列前n项和公式的推导过程，体会等差数列前n项和倒序求和以及配对的思想方法。情感、态度和价值观在问题的探究过程中体验从特殊到一般，又从一般到特殊的认识事物的规律，感悟类比、转化等数学思想，获得合作探究解决问题，积极主动学习的乐趣。二、教学重点与难点教学重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，并会应用该公式解决一些简单的等差数列的求和问题。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。三、教学过程复习回顾，承上启下等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。数学表达式：an-an-1=d(n≥2)2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N﹡)拓展公式：an=am+(n-1)d(m、n均∈N﹡，且n＞m≥1)3.等差数列的有关性质(1)若a、A、b组成等差数列，则2A=a+b，A叫a与b的等差中项。(2)若m、n、p、q∈N﹡，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq【设计意图】复习回顾课前有关准备知识，为课堂上有效教学奠定基础，扫除障碍。创设情境，呈现问题问题1：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡之程度，可见一斑。你们知道这个图案一共花了多少宝石吗？【设计意图】情境学习理论认为数学学习离不开具体的背景情境，良好的问题情境可以更加激发学生的学习兴趣，激发探究的欲望。【知识链接】著名的德国数学家高斯的一个小故事在高斯10岁的时候，他的老师出了一道数学题：1+2+3+4+…+100=？在别的同学都在忙着计算的时候，高斯很快得出了正确答案，你知道高斯是怎么算出来的吗？（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+(50+51)=50×101=5050【学情预设】学生们对于高斯算法并不陌生，因此，很容易得出这个问题的计算结果，但是不知高斯算法里其实蕴含着等差数列求和的一般规律。学生对这种算法大部分是停留在表面的模仿和机械记忆阶段，缺乏对“首位配对法”深层次的思考。那么教师在课堂上应给予学生充分的时间观察、思考，建议采用小组合作学习的方式，生生互动，达到对问题的进一步认识。此时，为了使学生更好地认识和理解高斯算法，教师在学生算出结果后，可以不时机地提出课前精心预设好的三个问题，由浅入深，由易到难，逐层深入地探索与发现“首位配对法”可能存在的局限，寻找等差数列求和一般规律和解决方法。问题2：图案中，第1层到第n层（n∈N﹡）一共有多少颗宝石？【学情预设】学生通过生生之间交流、讨论后，发现要想采用高斯“首尾配对”的算法，必须对项数n是奇数还是偶数展开分类讨论，这样就使得问题的解决显得更加麻烦了。教师应发挥积极有效的引导作用，提出“有没有更加简便的方法呢？”，避免学生在此环节做过多讨论，浪费课堂时间。同时，有效把握好课堂预设与生成的关系。详细讲解倒序相加法，体会方法的内涵。【设计意图】遵守从特殊到一般，由简单到复杂的科学研究方法，教师一方面放手让学生去积极思考，不断前进，在探索过程中获得深刻的认知体验和积极的自我心理暗示：“首位配对法”不是万能的，也不一定是最简便的，更重要的是使学生自然地受到问题的驱动，积极探究。另一方面，把求确定的若干个正整数之和的问题，扩展到求不确定的n个正整数之和，都是对学生思维提出的挑战。（三）探究发现，类比猜想，总结公式问题3：对于一般的等差数列，我们该如何求其前n项和呢？（用字母代替数来探究）1.用倒序相加法求等差数列的前n项和SN【学情预设】学生受第2个问题的启发，在教师引导下，有组织地进行自主探究与合作学习，寻找问题的解决办法。问题1、2与问题3联系密切，过渡自然，且为问题3的求解做铺垫，学生更有信心探究问题的答案。教师可组织课堂讨论，采用提问等方式听取学生的解决思路。生:两式相加：2Sn=(a1+an)+(a2+an+1）+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1）利用等差数列的性质：若m、n、p、q∈N﹡，且满足m+n=p+q，则am+an=ap+aq得到————公式一2、归纳提升从问题的探究方法看，3个问题采用层层递进的方式，由特殊到一般的推广方法；总结公式的推导方法，倒序相加法蕴含的思想，从而引出使用倒序相加法的前提条件，从而推广到满足性质第k项+倒数第k项=首项+末项的题型，都可以使用倒序相加法。3、等差数列前n项和公式————公式一（由于学生已学过等差数列的通项公式，教师可再次组织学生讨论，形成公式二）又由于代入到公式一中，整理，得到—————公式二【知识链接】为了帮助学生理解和记忆公式，教学时可以用学生熟知的梯形面积公式，借助于图形来展示。如下图所示：（1）；（2）【设计意图】帮助学生记忆两个公式，同时两个公式与面积公式的推导方法也类似，从数形角度体会数学的共性。（四）公式应用，解决问题师生共同探究出等差数列的求和公式后，教师可带领学生对两个公式分析比较，寻找相同点和不同点，两个公式涉及的五个变量做到“知三求二”，可以建立方程求解，向学生渗透方程的思想。1.选用公式，知三求二例题1根据下列条件，求出等差数列的前n项和Sn。解：（3）【知识链接】如果已知首项、末项和项数，即，选择使用公式一，如果已知首项、公差和项数，即，选择使用公式二。【设计意图】熟悉公式，掌握特点2.选用公式，变式提高等差数列{an}中，(1)已知a1=3,a7=11,求S7(2)已知a4=7,求S7.(3)已知a3=3,a8=11,求S10(4)已知a1+a2=3,a9+a10=13,求S10(5)已知a2+a4+a7+a9=16，求S10【知识链接】如果已知首项+末项和项数，即，选择使用公式一，运用整体代换的思想，与等差数列的性质想结合，题目难度设置了三个层次，意在使学生举一反三，一题多变，掌握解题思想方法。最后设置还有别的解法么？意在拓展学生思路，如果选择使用公式二，则需要代入通项公式，转化为关于的方程组，解出，然后代入公式二，指出这一类题的一般性解法。也同时为第2课时的例题做铺垫。【巩固练习】巍巍宝塔十三层，底层装铃三十整，每上一层少两个，问塔共有几多铃？【设计意图】例题1和练习都是一个与实际有关的求和应用问题，首先需要学生从实际情境中，发现并构建一个等差数列的模型，锻炼学生数学表达和理解能力，又加强了数学与生活的联系，发展学生的数学应用意识；其次，需要学生根据题目含义，提取出有用的数据信息，转化为题目的已知条件，通过前面对公式的观察类比，概况总结，选择恰当的公式来应用求解。等差数列求和史我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得”【设计意图】利用等差数列求和史，既体现数学的科学价值，又渗透了对学生进行文化价值的教育。活动形式：提问—小结1.本节课学到了哪些知识？2.本节课用到了哪些数学思想和方法？3.高斯的故事对你有什么启发？【设计意图】教师采用提问—小结的活动形式，让学生自我反思、概况总结出本节课的收获与体会。涉及内容可以是本节课的思想、方法，也可以是学习内容。让学生在反思与小结中，对等差数列的求和公式做进一步的深化理解。（六）作业布置A必做题：课本46页，习题2.3A组，练习第2题B选做题：在等差数列中，课本46页，习题2.3B组，练习第1、2题【设计意图】设置必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用，设置选做题时为了体现差异，促进部分前进生的发展，达到分层教学的目的。教学反思本节课是关于等差数列求和的一节新授课，为了使学生更好地理解等差数列的求和公式，设计了三个由易及难、逐层递进的问题。通过对问题的解决，层层铺开，由高斯算法过渡到倒序相加法，把解决一些特殊等差数列的求和问题深化到解决一般等差数列的求和问题。从课堂效果反映来看，这样的设计有水到渠成之效。当然，一节课的效果如何，不只是在于教师的提前预设，更在于课堂上的有效的师生互动、交流。学生才是课堂真正的主人，教师只是“学生学习的引导者、组织者、合作者”。所以在本节课的授课中，多次进行了合作、交流、讨论等环节，帮助同学们在相互学习中发现、提出问题，进而分析、解决问题，从而实现在研究中拓展思维、发展能力，丰富情感、思想的体验，获得数学学习的乐趣。2.3等差数列前n项和一．选择题：1．在等差数列中，（）（Ａ）9（B）10（C）11（Ｄ）121．已知等差数列{an}中，a１＝１，d=1，则该数列前9项和S9等于（）A.55B.45C.35D.252．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于()A.18B.27C.36D.453.已知等差数列的前n项和为Sn，若等于（）A．18B．36C．54D．724．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…….则第2008层正方体的个数是（）.……A．4011B．4009C．2017036D．20090105.一懂n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取（）Ａ．ｎＢ．（ｎ—１）Ｃ．（ｎ＋１）Ｄ．ｎ为奇数时，ｋ＝（ｎ—１）或ｋ＝（ｎ＋１），ｎ为偶数时ｋ＝ｎ二．填空题：6.等差数列的前四项和为21，末四项的和为67，前项的和为286，求．7．已知等差数列，且则等于（）A．-12B．6C．0D．248.正整数列前个偶数的和为；正整数列前个奇数的和为．（选做题）对排列如:，则第60个整数对是_______________.9．已知等差数列中，，，求公差10．知等差数列满足（Ａ）138（Ｂ）135（Ｃ）95（Ｄ）23三．解答题：11．等差数列中，，求及前项和；12．已知等差数列的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，⑴求数列的通项公式；⑵求S20观评记录毕老师：多媒体运用的适时恰当，较好的扩充教学的信息量，发挥了多媒体对教学的辅助作用。总之，本节课的教学体现了以学生为主体，以教师为主导，以思维训练为主线的教学模式，达到培养学生能力全面发展的教学目标。对多媒体等不足：教态自然些更好，多媒体的应用不是很熟练，板书设计应详细些。任老师：主动把握教材，对教材能做到合理的取舍和增减。讲课深入浅出，学生参与性高，教师讲解示范到位，学生学习效果好。课堂能激发学生的兴趣，在掌握知识技能的同时培养学生创新能力、动手能力等，符合课标标准，达到了教学目的，是一堂不错的课。不足：语言比较口语化，再规范些更好。程老师：这节课体现了学生的主体地位，让学生在探究中亲历知识形成的过程，学生的观察、猜想、探索等其他各方面能力都能得到有效地开发和锻炼。教学思路的层次、脉络清晰，实际运作效果也不错，达到了本节课的教学目的。钱老师：总体设计很好，主次分明，层次清楚。有层次、有坡度、要求明确、题型多变的练习题巩固这种关系。轻松连贯，板书设计合理，重点突出主次分明。郭老师：导入数学课寓趣味于其中，能激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。用多媒体演示，让学生亲身体验公式的推导过程，是对学生想象力的一种发散训练。李老师：最后的升华我觉得好，将数列求和史纳入课堂，不仅对本节课的知识做了总结，又渗透了对学生进行文化价值的教育。教学反思本节课介采用创设问题情景,以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。并借助多媒体展示“公式推导过程中的一些图形”，这样可以使教学内容更生动、更形象。

本节课的教学试图改进学生的学习方式，通过“应用公式”，“变用公式”，“活用公式”三个层次来促进学生新的认知结构的形成，并引导学生自己学会对学习的反思。在本节的教学中，我设置了一个带有生活知识的趣味数学题作为引子，设置的问题由易到难，在解决问题过程中，一步一步引向本节的课题，让学生在问题中寻找规律、方法，并加以总结，最后得到等差数列前n项和的两个公式；在课堂练习中，增加讨论、变式提高这一环节，帮助学生提高认识、归纳方法，通过分析前n项和公式中的四个量，只要知道其中的任意三个量就可以求另一个，归纳为“知三求二”的问题，接着设置一类整体代换思想的题型，引导学生思考还有别的解法么？最后引出一般性解法如果是求两个量，可以用公式联立方法组解决问题，为下一节课例题解法做铺垫。这样，通过对问题解决方法的归纳，提高了学生的解题能力。在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法。因此，对等差数列的前n公式的推导有一个科学的分析过程，学生对公式的获取思路明确，理解比较深刻，较好地完成了课前预设的目标。但由于教学内容的紧凑，过于追求教学的量，在教学、训练中