《等差数列的前n项和》

2.3等差数列的前n项和一般地，我们称为数列

的前n项和，用Sn表示，即数列的前n项和的定义：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？等差数列的前n项和1.等差数列的定义：2.通项公式：3.重要性质:

复习

高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。

高斯“神速求和”的故事:

情景1首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，

······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？

如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？

情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法怎样求一般等差数列的前n项和呢？

新课等差数列的前n项和公式公式1公式2结论：知三求二思考：(2)在等差数列中，如果已知五个元素

中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?(1)两个求和公式有何异同点？公式记忆——类比梯形面积公式记忆1.计算：

试一试

试一试2.在等差数列{an}中，已知an=11-3n,求Sn.解：由等差数列的通项an=11-3n,知a1=11-3=8.四、随堂练习1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=－4,a8=－18,n=8(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整数列中前n个数的和；

(2)求正整数列中前n个偶数的和。例1、注：本题体现了方程的思想.解：练习:等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？［前15项］

例2：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项n和的公式吗？解：由题设：得：所以

分析：只要根据已知的两个条件求出首项a1和公差d即可.

例3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+0.5n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：当n=1时，当n>1时，当n=1时，a1也满足上式，{an}是首项为3/2，公差为2的等差数列.所以{an}通项公式练习：课本45页第2题等差数列前n项和公式的函数特征：特征：解：由题意知：等差数列的首项a1=5，公差为所以配方

所以，当n取与7.5最近的整数即7或8时，Sn取最大值.例5.在等差数列{an}中，a3+a7=20,求S9解：设首项为a1和公差为d1,分析：已知条件只有a3+a7=20,求不出首项a1和公差d,只有a1和d的关系2a1+8d=20.a3+a7=20a1+2d+a1+6d=202a1+8d=20例6、解：又解：整体运算的思想!例7、解：1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。解：

巩固练习解:1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.2.3等差数列的前n项和——性质及其应用（上）一、复习引入1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若热身练习比值问题整体思想方法一：方程思想方法二：成等差数列等差数列前n项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)等差数列前项和的最值问题：

考一本第13课时知识点2：

练习1、已知一个等差数列中满足

解：方法一练习解：方法二对称轴且更接近9，所以n=9.练习1、已知一个等差数列中满足

等差数列前n项和—————性质以及应用（下）等差数列奇、偶项和问题1、已知一个等差数列前12项的和是354，前

12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．分析：方法一：直接套用公式；方法二：利用奇数项与偶数项的关系．解：方法一：

练习1、已知一个等差数列前12项的和是354，前

12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．

解：方法二：

2、已知一个等差数列中d=0．5，分析：还是利用奇数项和偶数项之间的关系，相差一个公差d.解：设求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等差数列，则有特别地，以下等式都是①式的具体应用：①(裂项相消法)；；求和公式：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：求数列前n项和方法之二：公式单利：银行利息按单利计算（利息没有利息）本利和=本金×（1+利率×存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000×（1+0.725×1）10072第二年1000010000×（1+0.725×2）10144第三年1000010000×（1+0.725×3）10216第四年1000010000×（1+0.725×4）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数复利：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金×（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）