北京西城学习探究诊断高中数学选修2-1全本练习

章常用逻辑用语一命题与量词会判断命题的正误，理解全称量词与存在量词的意义．一、选择题1．下列语句中不是命题的是()(A)团结就是力量(B)失败乃成功之母(C)世上无难事(D)向雷锋同志学习2．下列语句能作为命题的是()3．下列命题是真命题的是()CA(D)y＝tanx在定义域上是增函数4．下列命题中真命题的个数是()②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；5．下列语句中表示真命题的是()1(A)x＞12(B)函数y=x2在(0，＋∞)上是减函数6．已知直线a，b和平面a，下列推导错误的是()7．下列命题是假命题的是()axax0对x∈R恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是()二、填空题_____．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题参考答案第一章常用逻辑用语题与量词A322)不是命题UU测试二基本逻逻辑联结词一、选择题1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是()2．下列结论中正确的是()3．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么()(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)命题“非p”是假命题6．下列命题的否定是真命题的是((C)3x∈R，|x－1|＜07．下列命题的否定是真命题的是()(B)所有的菱形都是平行四边形)(B)2∈B(B)2∈BUU二、填空题定义是_____________________________．那么给出下列命题：①“A中的元素都不是集合B的元素”；的序号都填上)么“A不是B的子集”可用数学语言表达为________________．三、解答题题，并判断其真假．逻辑联结词p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题)非p：正方形不是菱形．(假命题)测试三充分条件、必要条件与四种命题2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．一、选择题(A)它们的面积相等(B)它们的三边对应成比例(C)这两个三角形全等(D)这两个三角形有两个对应角相等(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件(A)逆命题(B)否命题(C)逆否命题(D)非四种命题关系6．原命题的否命题为假，可判断()(A)原命题为真(B)原命题的逆命题为假(C)原命题的逆否命题为假(D)都无法判断(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8．在下列命题中，真命题是()y条件的是()Aab乙：abb二、填空题xxaxab①“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆否命题②“圆内接四边形的对角互补”的否命题．②“相似三角形的周长相等”的否命题；认为正确的命题序号)其中是命题A二B的充要条件的命题序号是______．条件、必要条件与四种命题第二章圆锥曲线与方程测试四曲线与方程，进一步感受数形结合的基本思想．一、选择题y的曲线上()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(C)关于原点对称(D)以上都不对程是()xy1(A)y＝2x(x≥0)(B)y＝2x(x＞0且x)2(A)均表示两条直线(B)前者是两条直线，后者表示一个点(C)均表示一个点(D)前者是一个点，后者表示两条直线二、填空题Py轴的距离，则动点P的轨迹方程是______．________________________________________________三、解答题12．试画出方程|x＋|y|＝1的曲线，并研究其性质．练当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．第二章圆锥曲线与方程测试四曲线与方程5212)曲线的组成：由四条线段首尾连接构成的正方形；(3)曲线的对称性：关于两坐标轴对称，关于原点对称①∵QM=2AQ，2．掌握椭圆的几何性质，椭圆方程中的a，b，c，e的几何意义、相互关系、取值范围一、选择题x2y2x2y2(A)4+y2=1(B)x2+4=1(C)16+y2=1(D)x2+16=1x2y22．椭圆16+25=1的焦点坐标是()x2y23．若椭圆100+36=1上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为()ABC(D)14是()二、填空题17．设a，b，c分别表示离心率为的椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a、b、c的2大小关系是______．x2y28．设P是椭圆5+4=1上一点，若以点P和焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为_______．______________三、解答题x2y211．设椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥，x2y212．已知椭圆C1:100+64=1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆x2y215x2y2x2y2所以，椭圆C的方程为9+4=1．5y2x2C1，3522212x2y24x24x2由9+4=1，得y2=49，代入上式，得x2190，3535解得5x5．何性质解决与椭圆有关的简单问题．2．通过解决与椭圆的有关问题，进一步体会数形结合的思想、函数与方程的思想．一、选择题x2y21．椭圆m+5+m2=1(m>2)的焦点坐标是()Dx2y2x2y2x2y2x2y2x2y2x2y23．曲线25+9=1与25k+9k=1(k9)有相同的()x2y2e满足()212(A)0e2(B)0e2(C)0e2(D)2e1(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个二、填空题x2y26．若方程25m+16+m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是______.x2y217．若椭圆k+8+9=1(k>8)的离心率e=2，则k的值为________.x2y2的右焦点，则△ABF面积的最大值是________.x2y2MF为2，点N是MF1的中点，设O为坐标原点，则ON＝________.x2y210．P为椭圆100+64=1上一点，左右焦点分别为F1、F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.三、解答题x2y211．求出直线y＝x＋1与椭圆4+2=1的公共点A，B的坐标，并求线段AB中点的坐标．训练x2y2y2x2abb2c214．我们把由半椭圆+=1(x>0)与半椭圆+abb2c2y2x2(2)设P是“果圆”的半椭圆+=1(x0)上任意一点．求证：当|95643956439．设F2为椭圆的右焦点，由椭圆的定义|MF2|＋MF1|＝2a，得|MF2|＝10－2＝8，在△MF1F2中，∵|MN|＝NF1|，|OF1|＝|OF2|，22r12所以A(3,3),B(3,3)，x+xy+y21故AB中点(122,122)的坐标为(一3,3)．(注：本题可以用韦达定理给出中点横坐标，简化计算)0121237于是c2=,a2=b2+c2=，4444x+y2=1(x>0),y2+x2=1(x0)．73ac(2)∵M是线段A1A2的中点，又A1(－c，0)，A2(a，0)，∴M(2,0)，y2x2b2设P(x，y)，则b2+c2=1，即y2=b2c2x2，又|PM|2=(x)2=+y22b2(ac)2=(1c2)x2(ac).x+4+b2,cx0，b2b2∵1<0∴|PM|2的最小值只能在x＝0或x＝－c处取到．2x2y2(3)∵|A1M|＝|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆a2+b2=1(x>0)y2x2和半椭圆+=1(x0)上，所以，由(2x2y2圆a2+b2＝1(x≥0)上的情形即可．ac|PM|2=(x)2+y22c2a2(ac)(ac)2a2(ac)2=a2[x2c2]2+b2+44c2．a2(ac)a2(ac)当x=a即a≤2c时，|PM|2的最小值在x=时取到，2c22c2a2(ac)当x=>a，即a＞2c时，由于|PM|2在x＜a时是递减的，2c2a2(ac)综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是；若a2c2七双曲线2．掌握双曲线的几何性质，双曲线方程中的a，b，c，e的几何意义、相互关系、取值3．能初步应用双曲线的定义、几何性质解决与双曲线有关的简单问题，并初步体会数一、选择题y2x21．双曲线817=1的焦点坐标为()52．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率e=的双曲线为()4x2y2x2y2x2y2x2y2x2y23．若方程2+mm+1=1表示双曲线，则m的取值范围为()M程是()x2y2y2x2(A)916=1(B)916=1x2y2x2y2(C)916=1(x3)(D)916=1(x>3)15．若双曲线经过点(6,3)，且渐近线方程是y=士x，则双曲线的方程是()3x2y2x2y2x2x2y2Cy(D)183=1二、填空题6．双曲线4x2－9y2＝36的焦点坐标____________，离心率____________，渐近线方程是x2y27．与双曲线169=1共渐近线，且过点A(23,3)的双曲线的方程为________．x2y2x2y28．椭圆4+a2=1与双曲线a22=1有相同的焦点，则a＝____________.x2y2为_____________________.10．已知双曲线=1(a>2)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为三、解答题O2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．x2y2(1)写出双曲线45=1的共轭双曲线的方程；11双曲线y2x2 423322x2y2所以，椭圆的方程为45+9=1；由双曲线定义，得2a＝|PF|－|PF|＝45，c＝6，2y2x2所以，双曲线的方程为20一16=1．则|MO2|－MO1＝3，双曲线定义，得动点M轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支(左支)，391244439912x2y2y2x2ca2+b2(2)在双曲线C中，半焦距c=a2+b2，所以离心率e1=a=a；y2x2b所以，+=+=1．12．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是()11(A)y2＝20x(B)x2＝20y(C)y2=x(D)x2=y2020(A)一椭圆和一双曲线的离心率(B)两抛物线的离心率(C)一椭圆和一抛物线的离心率(D)两椭圆的离心率1(A)y2=x(B)y2＝4x(C)y2＝16x(D)y2＝24x6二、填空题x是____________．④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是_______．(要求填写合适条件的序号)三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x－2y－4＝0上，求抛物线的标准方程．124913216当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y2＝16x．x2y2y2y所以，所求双曲线方程为x23=1．1因为P(x，y)是抛物线y=x2上任意一点，所以x2＝2y，y≥0，2A2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．一、选择题2．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是()11(A)23(B)3(C)3(D)34O33(A)1+2(B)2(C)1+2(D)+22y478(A)(B)(C)(D)3355则点A的坐标为()二、填空题则|AB|＝_________．则|AB|＝_________．MF的最小值是_________．三、解答题训练4a29所以(－3)2＝2pm，即m=①2PP因为点Q(－3，m)到焦点的距离为5，所以|m|+=5②22p2yppp12．由抛物线定义，知|PF|=x+,|PF|=x+,|PF|=x+112222332,PABd=，PABd=，332min410,3912min410,391故当P(,)时，△PAB故当P(,)时，△PAB面积有最小值S=23410424104000000000mm<2)综上，对于C上的动点M，|BM|的最小值f(m)=〈2m1,(m>2)．2．能应用数形结合思想、方程思想等数学思想解决圆锥曲线综合问题．一、选择题(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是()(A)483(B)243(C)3(D)4639样的直线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条x2y2x2y2的焦点，那么该椭圆的离心率的取值范围是()1122(D)[2,1)x2y25．已知双曲线a2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()(A)相切(B)相交(C)相离(D)以上情况都有可能二、填空题yx1与抛物线y2＝4x的公共点坐标为____________．x2y27．若直线y＝kx＋1与椭圆5+m=1恒有公共点，则m的取值范围是___________．|PF1|＝6，则该双曲线的方程是_____________________．x2y29．过椭圆25+9=1的焦点，倾斜角为45°的弦AB的长是_______________．x2y2baba10．若过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F，作渐近线y=aba右两支都相交，则此双曲线的离心率e的取值范围是_______________．三、解答题FCyx横B(2)若点A、B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．训练特征点”．(1)判断椭圆的“左特征点”是否存在，若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理1210a2450x+x6(a250)1由题意，得122=10a2450=2，解得a2＝75，(3x2y2=1,k2312k23k2312k231212k2_3k2_3解得k＝±1，或k=士．7∴直线l的方程为：y＝±x－1，或y=士x_1；71212|t_4|又AB与CD间的距离为|AD|=，2|t_4|2由正方形212设过F与两坐标轴都不垂直的直线AB：AMx一xx一x102020 10，k(x+c)k(x+c)k(x+c)(x一 10，∴k+k=10201020kak00ca2a故对过F与两坐标轴都不垂直的任意弦AB，点M(一c,0)都能使MF为△AMB的一条内角平分线，a2所以，椭圆的“左特征点”存在，即为点M(一c,0)．AB1的直线)找出符合“左a2a特征点”性质的一个点M(具体找的过程略，可找到点M(一c,0)，即为椭圆的左准线与x轴的交点)，再验证对任意一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，∠AMF＝∠BMF都成立．(证明过程可类似方法1，或用下面方法证明)如图，椭圆的左准故对过F与两坐标轴都不垂直的任意弦AB，MF都为△AMB的一条内角平分线，所以，椭圆的左准线与x轴的交点M是椭圆的“左特征点”．x2y2a2b2设点M在x轴上，若对过双曲线C:一=1(a>0,b>0)左焦点a2b2角平分线，则称点M为该双曲线的“左特征点”．第三章空间向量与立体几何2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解．运算，并会求简单的向量夹角．一、选择题(A)DB111D)BD2．平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC和BD的交点，若AB=a,AD=b,AA=c，11111则下列式子中与BM相等的是()11111(B)a+bc22221111(C)a+bc(D)ab+c22223．在平行六面体ABCD－ABCD中，向量AB、AD、BD是()111111(A)有相同起点的向量(B)等长的向量(C)共面向量(D)不共面向量5．在长方体ABCD－ABCD中，AB＝1，AD＝2，AA＝3，则BD.AC()111111二、填空题6．在长方体ABCD－ABCD中，化简AB+ADAA=______.11111r＝______.8．平行六面体ABCD－ABCD中，所有的棱长均为2，且AB.CC=2，则AB,CC111111111三、解答题11训练1求证：AG=(AB+AC+AD)．3第三章空间向量与立体几何112222111111115111112112121221111111|(m=2〈m一n=3，解得〈，所以c＝2a－b，所以向量a，b，c共面．22113323333．．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．一、选择题2．下列各组向量中不平行的是()1034．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是()122122122122333333333122122122333333333892(A)2(B)－2(C)－2或(D)2或一5555二、填空题三、解答题NABAA。如图，建立空间直角坐标系．553215(m.a=0(2x-y=0m111111测试十三直线的方向向量与直线的向量方程直线上点的坐标．3．会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面一、选择题(A)(0，2，6)(B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)22．已知点A(2，－2，4)，B(－1，5，－1)，若OC=AB,则点C的坐标为()3ABABC)(D)(2,,)33333333111(A)DM=2OAOBOC(B)DM=OA+OB+OC532554523二、填空题B123三、解答题D线的方向向量与直线的向量方程122111113111111122221测试十四平面的法向量和平面的向量表示问题．一、选择题(A)有且只有一个(B)只有两个且方向相反(C)有无数个且共线(D)有无数个且共面aa法向量的是()5577D333二、填空题ABCSAD__．则图中直角三角形共有______个．三、解答题10．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，B求平面AEF的一个法向量的坐标．面的法向量和平面的向量表示平面ABCD的一个法向量为DD，1平面ADD1A1的一个法向量为AB，BDDB量为AC．(2)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，1平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，xy11测试十五直线与平面的夹角、二面角面角．3．会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题．一、选择题ππ2ππππ(A)(0,](B)[,](C)[,](D)(0,]333322π3b所成角的大小为()πππ2π(A)(B)(C)(D)6323Bπ6π4π3π2余弦值为()2(A)23(B)26633ππππ6432二、填空题2大小为______.P则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______．三、解答题11111线与平面的夹角、二面角3．A建立空间直角坐标系，平面BDD1B1的法向量为AC．π32π337．m=．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得AP＝(－1，1，m)，平面2n1222222253451π(一2x+y=0EC,0),AE=(0,1,一2)，则〈．16因为二面角A1－EC－B为钝角，所以二面角A1－EC－B的余弦值为一6．x=01125为为lz=0因为二面角C－AC1－D为锐角，所以二面角A－SC－B余弦值为5．则〈．令z＝1，则y＝－1，所以m＝(0，－1，1)．lx=0πAC与平面SBC所成角为．6ASAC．lz=0π因为二面角A－SC－B为锐角，所以二面角A－SC－B为．3测试十六距离(选学)2．会求两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离．一、选择题nDmn长为()26(A)3(B)2(C)2(D)3离()5