第七章 学案37 合情推理与演绎推理

学案37 合情推理与演绎推理导学目标：1..2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测1．(2010·山东)(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定Rf(x)f(－x)＝f(x)g(x)g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b 2＝c＋d 2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数( )A．0 B．1 C．2 D．33．(2009·江)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比．陕西观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，„，根据上述规律，第五个等式．苏州月)一切奇数都不能被2整除是奇数，所以2100＋1不能被2除，其演绎推理的“三段论”的形式．探究点一归纳推理例1 在数

}中，a

＝1，a

2a＝

，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜n 1想正确吗？请说明理由．

n1

2＋an变式迁移1 观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40° 3②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°

＝4；＝4由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二类比推理例银川月)在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p，p，p，且相应各边上的高p p p

a b c分别为h

，h，h，则有a＋b＋c＝1.a b c

h h ha b c请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝ a2＋b22 将此结论类比到空间有 ．探究点三演绎推理例3 在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，DE是垂足．求证的中点M到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．明的思路和方向．合情推理的过程概括为：.来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·福建厦门华侨中学模拟)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的、(2)、(3)、(4)，那么下图中(A)、(B)所对应的运算结果可能( )

B．B*D，A*CD．C*D，A*D

1＋x

＝f＝1,„

(x)f1等于( f1

＝ 1－x

k1 k

2010A 1 x－1 1＋x．－ B．x C. D.x x＋1 1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；ac a a·c a⑥“＝”类比得到“＝”．bc b b·c b以上的式子中，类比得到的结论正确的个数( )A．1 B．2 C．3 D．44．(2009·湖北)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，„这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的( )A．289 B．1024 C．1225 D．13785．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，„则第60个数对( )A．(3,8) B．(4,7)C．(4,8) D．(5,7)二、填空题(每小题4分，共12分)6 1．已知正三角形内切圆的半径是高的3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 ．7．(2011“对于自然数n满足以下运算性质：

1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49„照此规律，第n个等式．＋三、解答题(共38分)＋912分）a}

2 1＋2＝0(n≥2)．计算S，Sn＝－，且SS，Sn＝－，且S

n的表达式．

n 1 3

n n1 12 3 4 n10．(12分杭州调)已知函数f(x)＝－ a (a>0且a≠1)，ax＋a1 1y＝f(x)2，－2对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．11．(14分)1OM，ONM

，N，则 ＝PQOM1ON1PQ

1 2 1 2· ；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P，，点 ，OM2ON2 1 2 1R1Q2RR1

，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．2学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)g(－x)＝－g(x)．]2．C [3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，„，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳由归纳推理所得的结论虽然未必是实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{a

}中，a

＝1，a

2a1 2n 1 2

2＋a

＝3，1a＝2a2 1 2 2a3 23 ＝＝，a＝ ＝，„，2＋a2 2 4 4 2＋a3 5所以猜{a的通项公式为a＝2 .n n n＋1这个猜想是正确的，证明如下：2a因为a＝1，a ＝ n，1 n＋1

2＋an1 2＋a 1 1所以 ＝2an＝＋，aa 2an＋1 n n即1 1 1 1 1即－＝a是以＝1为首项，aa 2an＋1 n1

n a12为公差的等差数列，1 1 1 1所以＝1＋(n－1)×＝n＋，a 2 2 2n

＝2 .n n＋13变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝4.证明如下：左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα] 3 1 3 1 ＝sin2α＋2cosα－2sinα2cosα＋2sin3 1 34 4 ＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．4 4 例解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似推出这两个对象的其他体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p

，p，p，p

，且相应各面上的高分别为h，h，h，h.

a b c da b c dp p p p则有a＋

b＋c＋

d＝1.h h h ha b c d证明如下：13S ·p3p △BCD a V a＝

P—BCD，h 1 3a S ·h3△BCD a

A—BCDp V p V p V 同理有b＝

P—CDA，

P—BDA，

P—ABC，bcVh VB—CDAbcV

h VC—BDA

VD—ABCVV＋VVVVP—BCDVV

P—CDA

＋

＋ P—ABC

，A—BCDp p p p∴a＋b＋c＋dh h h ha b c dV ＋V ＋V ＋V ＝P—BCD

P—CDAV

P—ABC＝1.A—BCDa2＋b2＋c22变式迁移2 在三棱锥A—BCD中，若ABACAD两两互相垂直，且a2＋b2＋c22AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝例解题导引在演绎推理中，只有前(大前提、小前)和推理形式都是正确的，之间的逻辑关系．证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提所以△ADB是直角三角形．——结论大前提M是Rt△ADBAB小前提1所以DM＝2AB.——结论1同理EM＝2AB，所以DM＝EM.3解此原理的真实性仍无法断定．课后练习区[由(1)(2)(3)(4)A表示(A)(B)A*C.]＋1 1＋x＋2．A [

(x)

1＋＝ 1－x 12 ＝f1－x

1 ＝－x，1－＋x1－x1 1 1

－x x－1f(x)＝f－＝ ＝ ，3 x 1 1 x＋1＋x1 x－1＋ x＋1 1＋x45 f(x)＝ x－＝x，f(x)＝f(x)45 1－ 1 1－xx＋1归纳得f (x)＝f(x)，k∈N*，i＝1,2,3,4.i4k＋ii1∴f2010(x)＝f(x)＝－.]2 x3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．C [(1)1,3,6,10a，则a－a＝2，a－a＝3，a－a＝4，„，a－a

n＝n.2 1 3 2 4 3 n n－1故a－a＝2＋3＋4＋„＋n，n 1nn＋1∴a＝ .n 249×50而图(2中数列的通项公式为b＝n因此所给的选项中只有1225满足a ＝ ＝bn＝352＝1225.]

49 2 35[观察可知横坐标和纵坐标之和为21个，和为32个，和为4354n＋1nnn＋1 nn＋1按照横坐标依次增大的顺序来排的由 2 ＝60 时，2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．]6 14解析利用体积分割可证明．7．n8．n＋n＋1(2＝(－12解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋(n＋1)＋„＋(3n－2)＝(2n－1)2.9．解

时，S

2＝a＝－.(2分)1 1 31 4当n＝2时，＝－2－S＝－，S2 1 33∴S＝－.(4分)2 41 5当n＝3时，＝－2－S＝－，S3 2 44∴S＝－.(6分)3 51 6当n＝4时，＝－2－S＝－，S4 3 55∴S＝－.(8分)4 6n＋1猜想：S＝－ (n∈N*)．(12分)n n＋2

1 110．(1)证明函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点2，－2对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．(2分)由已知得y＝－ a ，ax＋a

a ＝－

，(4分)f(1－x)＝－

ax＋a ax＋aa ＝－ aaa1－x＋a aaxa＝－ a·ax ＝－

，∴－1－y＝f(1－x)．a＋a·ax ax＋a1 1即函数y＝f(x)的图象关于点2，－2对称．(6分)(2)解由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.(9