第1节 合情推理与演绎推理

1节合情推理与演绎推理考试要求1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本3.和差异.知识梳理合情推理类型 定义根据一类事物的部分对象具有某种归纳推理 质，推出这类事物的全部对象都具这种性质的推理根据两类事物之间具有某些类似(一

特点由部分到整体、由个别到一般类比推理 致)性，推测一类事物具有另一类事物由特殊到特类似(或相同)的性质的推理演绎推理(1)为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.[常用结论与微点提醒]正确性，则需要证明.械类比的错误.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.但所得结论是错误的.诊断自测判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为适.( )在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )解析 (1)类比推理的结论不一定正确.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案 (1)× (2)√(3)× (4)×2.(老教材选修1－2P35A4改编)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系( )n≥2C.n≥4时，2n≥n2

n≥3时，2n≥n2D.n≥5解析 当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2n<n2；当n＝4时，2n＝n2；当n＝5时，2n>n2；归纳判断，当n≥4时，2n≥n2.故选C.答案 Cn 10 1 23.(老教材选修1－2P35A6改编)在等差数列{a}中若a 则有a＋an 10 1 2n 1 2 19n a＝a＋a＋…＋a (n<19n∈N*)成立.类比上述性质，在等比数列{n 1 2 19n －若b9＝1，则存在的等式.12 n 12 解析 根据类比推理的特点可知等比数列和等差数列类比在等差数列中是和在等比数列中是积，故有bb…b＝bb…b (12 n 12 －答案 b1b2…bn＝b1b2…b17n(n<17，且n∈N*)－4.(2020·淄博一模)f(x)f′(x0)＝0，则x＝x0f(x)的极值点，因为f(x)＝x3x＝00，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )大前提错误C.

D.结论正确解析大前提是“ff0)＝0＝0f)的极值点”，00 不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x)＝0，且满足在x附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选00 答案A5.(2020·珠海期末)某班级的四位学生A，B，C，D参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前地理老师预测得冠军的是A或历史老师预测得冠军的是政治老师预测得冠军的不可能是A或D；语文老师预测得冠军的是B，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是 .解析根据题意排除地理和历史两位老师都对的情况，以及历史和语文两位老师都对的情况.当地理和政治两位老师都对时，冠军为B，此时语文老师也对，不符合题意；当地理和语文两位老师都对时，冠军为B，此时政治老师也对，不符合题意；当历史和政治两位老师都对时，冠军为C，符合题意；当政治和语文两位老师都对时，冠军为B，此时地理老师也对，不符合题意.综上所述，冠军为C.答案C6.(2019·西安二模)将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组则第10行左数第10个数为 .解析n2n－110191001091.答案91考点一归纳推理多维探究角度1与图形变化有关的推理【例1－1】中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示以此类推.例如6613用算筹表示就表示为( )

8335用算筹可解析 各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，则8335用算筹可表示为 .故选B.答案 B角度2 与数字或式子有关的推理【例1－2】(2019·安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，处标1，处标2，处标3，处标4，处标5，处标点(0，1)处标7，……，以此类推，则标20192的格点的坐标为( )A.(1010，1009)C.(2019，2018)

B.(1009，1008)D.(2018，2017)解析 点(0处标1即12点(1处标9即32点(2处标25即52……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)22n＋1＝2019时，n＝100920192的格点的坐标为(1010，1009).故选A.答案 A规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型 解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理与图形变化有关的推理

观察每个式子的特点，找到规律后可解合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性1(1)(1)(2020·安徽六校测试)112个顶点.nn＋2n∈N*n形的顶点个数是( )A.(2n＋1)(2n＋2)C.2n(5n＋1)(2)(角度2)观察下列等式：

B.3(2n＋2)D.(n＋2)(n＋3) π－2

2π－2 4

3

＝3×1×2； π－2

2π－2

3π－2

4π－2 4

5

5

5

＝3×2×3； π－2

2π－2

3π－2

6π－2 4

7

7

7

＝3×3×4； π－2

2π－2

3π－2

8π－2 4……

9

9

9

＝3×4×5；照此规律， π －2

2π －2

3π －2

2nπ－2sin2n＋1

n＋1 ＋sin2n＋1

n＋1 ＝ . 2 2 解析(1)由已知中的图形可以得到：n＝1n＝2n＝3当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……＋由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)，故选D.＋sin

π －2

2π －2＋…＋(2)观察前4个等式，由归纳推理可知

2n＋1

2n＋1sin

2nπ－2 4 4n（n＋1） ＝×n×(n＋1)＝ . 2n＋1 3 3答案 (1)D

4n（n＋1）3考点二类比推理【例2】(2020·赣州一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2，3)法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为 .解析 将平面中的运算类比到空间中的运算得：经过点B(2，3，4)且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0，即平面的方程为x＋2y－z－4＝0.答案x＋2y－z－4＝0规律方法1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.2(2020·昆明质检)数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，在数学上，斐波那契数列＋ ＋ n ＋ ＋ {an}定义为：a1＝1，a2＝1，an2＝an＋an1，斐波那契数列有种看起来很神奇的an2＝a＋an1an＝an2－an1a1＋a2＋…＋an＝(a3＋ ＋ n ＋ ＋ ＋(a4－a3)＋…＋(an

－an1＝n2－2＝n－1a＋a＋…＋a2＝( )

＋ ＋ ＋ ＋ 1 210A.714 B.1870 C.4895 D.4896解析 将a ＝a

－a两边同乘a

，可得a2 ＝a a

－a a，n＋1

n＋2

n＋1

n＋1

n＋2

n＋1

n＋1n

＝a2＋(a

a－a

a)＋(a

a－a

a)＋…＋(a

a －aa

)＝1－aa1 2 10

23 2

34 23

1011

910 21＋a a

＝1－1＋55×89＝4895.故选C.1011答案 C考点三 演绎推理3(1)(2019·全国Ⅱ卷)进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高低的次序为( )C.丙、乙、甲

乙、甲、丙D.(2)(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ)男学生人数多于女学生人数；(ⅱ)女学生人数多于教师人数；(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 .②该小组人数的最小值为 .解析 (1)由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确故若甲预测正确则乙丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选A.，(2)设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得y>z，且x，y，2z>x，z均为正整数.①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②yz>x＝3＝4＝55z>5，2 2此时z＝3，y＝4.∴该小组人数的最小值为12.答案(1)A(2)①6②12规律方法解决逻辑推理问题的两种方法：假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理到得到符合要求的结论为止.情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案.【训练3】(1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩给丁看甲的成绩.看后甲对大家说我还是不知道我的成绩.根据以上信息则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2019·湖北黄冈调研)自从黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班.由此判断乙参加过的特长班为 .解析(1).因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可D.(2)甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳，可知甲参加了黄梅戏或黄梅挑花；乙说：我没有参加过黄梅挑花，可知乙参加了黄梅戏或岳家拳；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，可知乙没参加岳家拳，即乙参加了黄梅戏特长班.答案(1)D(2)黄梅戏A级 基础巩固一、选择题下列推理是归纳推理的是( )A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆a1＝1，an＝3n－1S1，S2，S3nSn的表达式x2 y2x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1(a>b>0)S＝πaba2 b2科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.答案 B观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x)解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).答案 D3. { } 1 2 2 已知数列a 中，a＝，n≥时，a＝a ＋n－，依次计算a，a，a3. { } 1 2 2 n 1 n n－1 2 3 4n猜想a的表达式是( )nnA.a＝3n－1nnC.a＝n2n

B.a＝4n－3nnD.a＝3n－1nn1 2 3 4 解析 a＝1，a＝4，a＝9，a＝16，猜想a＝n21 2 3 4 答案 C4.(2020·成都诊断)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A.22项 B.23项 C.24项 D.25项解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个和为6的有5个和为7的有6个前面共有21个是和为8的第3项所以为第24项.答案 Cn n 2n1 若等差数列{a}的前n项之和为S则一定有S ＝(2n－1)an n 2n1 －n {b}的前n项之积为T，类比等差数列的性质，则有n －－A.T2n1＝(2n－1)＋bn B.T2n1＝(2n－1)－bn－－C.T2n

1＝(2n－1)b

D.T2n

1＝b2n－1－ n － nn 1 2n－1 解析 在等差数列{a中，a＋a n 1 2n－1 2 2n－2 n 2n－1 a＋a ＝2a，…，故有2 2n－2 n 2n－1 在等比数列

}中，bb ＝b2，b·b ＝b2，…，n 12n－1 n 2 2n－2 n

2n－1

bb b＝…12 ＝…

＝b2n－1.n答案Dn来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起.他们除懂本国.②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，.的语言，正确的推理是()B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.解析 分析题目和选项，①知，丁不会说日语，排除B选项；②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.答案 A7.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C8.(2019·武汉一模)《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( A.《雷雨》只能在周二上演《茶馆》可能在周二或周四上演D.四部话剧都有可能在周二上演解析 由题目可知，周一上演《天籁，周四上演《茶馆，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.答案 C二、填空题9.(2020·大连模拟)数列2，5，11，20，x，…中的x等于 .解析 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.答案 32155，则预计第10年树的分枝数为 .解析 由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.答案 55

(x，y)

x2 y2

1(a>b>0)

作椭圆的两条切线的切点为P，0 0

在椭圆＋＝ 0 1a2 b2

x0x y0yP2P1P2a2b2＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：若P(x0

)在双曲线

x2－y2

作双曲线的两条切线，切a2 b2点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程.解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x2－y2＝1的切点弦方程为x0x－y0y＝1.0 xx y0 答案a2－b2＝1

a2 b2

a2 b212.2019心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方.由此可判断乙去过的地方为 .解析 由乙说：我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方，但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方，再由丙说：我们三人去过同一地方，可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖答案 陆心之海青海湖B级 能力提升13.(2020·河南六校联考)2009.校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟.根据上述调查结果，下列结论错误的是()A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟解析 设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟A∩BU＝ ，B⊆C，D∩C＝ ， D＝B，∴A⊆D，B＝C，B∩D＝ .选项A，B∩D＝U，正确；选项B，B＝C，正确；选项C，A⊆D，正确，故选D.答案 Df(x)D上是凸函数，那么对于区间Df（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn） x1＋x2＋…＋xn都有 n

≤f

n .y＝sinx在区间(0，π) 上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是 .解析 由题意知，凸函数满足f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）

＋x＋…＋xn≤f1 2n n

n，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin

A＋B＋C＝33sin

π＝3 33 2.3 3答案2祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有.y2 x2圆＋＝1(a>b>0)所围成的