2021年河南省平顶山市汝州第一高级中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年河南省平顶山市汝州第一高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A． B． C． D．参考答案：C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

2.已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积最大的是

(

)A．

B.

C.

D.参考答案：A3.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若，，且，则△ABC的周长是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知条件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可计算出△ABC的周长.【详解】，，，，则，，，，由余弦定理得，即，，，因此，△ABC的周长是.故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.4.已知函数

,若则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：5.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：D6.已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．7.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（

）A．20

B．20

C．40

D．20参考答案：D8.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数（

）A.i B.－i C. D.参考答案：A【分析】利用等式把复数z计算出来，然后计算z的共轭复数得到答案.【详解】，则.故选A【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.9.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________参考答案：-3；6略10.（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2参考答案：A【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．【点评】：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，，，，，，是的中点，当在轴上移动时，与满足的关系式为

；点的轨迹的方程为

．参考答案：

(1).

(2).由题意得,即；设，则，所以，因为，所以，从而点的轨迹的方程为.12.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝

参考答案：2【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．13.二次函数满足，且有两个实根、，等于

.参考答案：6【分析】由二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，得到二次函数的对称轴为x=3，则两个实数根的和为2x，从而求得结果.【详解】∵二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，∴二次函数y=f(x)的对称轴为x=3，∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对称，即两个交点的中点为3.根据中点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之和为.故本题答案为6.【点睛】本题是一道有关二次函数对称性质的题目，根据得到函数的对称轴是解题的关键，属基础题.14.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一圈，点P所旋转过的弧AP的长为l，原点到弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图象大致是（

）参考答案：D略15.

在求两个变量x和y的线性回归方程过程中,计算得=25,=250,=145,=1380,则该回归方程是

.参考答案：16.设曲线在点处切线与直线垂直，则

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】1

解析：由题意得，在点处的切线的斜率又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得【思路点拨】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．17.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是__________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（1）证明：平面PCE⊥平面PAB；（2）证明：MN∥平面PAC；（3）若∠PAC=60°，求二面角P﹣CE﹣A的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面PCE⊥平面PAB．（2）根据面面平行的性质定理证明平面MNF∥平面PAC，即可证明MN∥平面PAC；（3）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（1）∵∠APC=90°，∴PC⊥AP，∵AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴AB⊥PC，∵AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB；（2）取AE的中点F，连接FN，FM，∵M是CE的中点，∴MF是△AEC的中位线，则MF∥AC，AB=2AE=4AF∵4PN=PB，∴PB：PN=AB：AF，则FN∥AP，∵AP∩PC=C，∴平面MNF∥平面PAC；∵MN?面MNF；∴MN∥平面PAC，（3）过P作PO⊥AC于O，则PO⊥平面ABC，过O作AB的平行线交BC于H，以O坐标原点建立空间坐标系如图：若∠PAC=60°，∵∠APC=90°，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，∴AP==，OA=AP=，OC=AC﹣OA==．OP=APsin60°==，AE=，则A（，0，0），E（，，0），C（﹣，0，0），P（0，0，），则平面AEC的一个法向量为=（0，0，1），设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），则=（，，0），=（﹣，0，﹣），则，即，即，令x=1，则z=﹣，y=2，即=（1，2，﹣），则||==2，则cos＜，＞====﹣，即＜，＞=120°，∵二面角P﹣CE﹣A是锐二面角，∴二面角P﹣CE﹣A的大小为60°．19.（本小题满分14分）参考答案：第二问答案中更正：方程有两个不等实根，第二问也可二次求导，请酌情给分。20.已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，B1为椭圆短轴的一个端点，的面积为.（1）求椭圆的方程;（2）若A、B、C、D是椭圆上异于顶点的四个点AC与BD相交于点F1，且,求的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】(1)根据题意列出方程组，求解即可求得椭圆的标准方程；(2)设，直线方程为，与椭圆方程联立求出，利用弦长公式求出，同理求出，从而表示出，根据题意求出k的取值范围从而求出的范围.【详解】解：（1），代入可得，解得，则，，椭圆方程：（2），设，直线方程为，联立直线AC方程与椭圆方程可得，，因为，所以直线BD的方程为，把代入可得，因为是椭圆上异于顶点的四个点与，所以两条直线均不过点，所以，因为，所以，∴【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．【解答】解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．

（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，从而直线PC的方程为y=﹣x+，联立直线AM：y=﹣x+，并解得C（﹣2，）．22.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．（1）若点是