立体几何中的-截面问题

立体几何中的截面问题一、定义及作法用一个平面去戡几何体，此平廊与几何体的交鶴叫做这个儿何休的如乩此平面与几何体表闻的交集（交线）叫做截线”此晤面与几何体的樓的交交点［叫做啟点・L方祐佼线注血该作图关键在于胸定戏点，有了位于务潮体闿_表面上的两个戟点即可连结成截线，从而求得截面+亠低皿錢与竝点的主耍根据有\（D确定平面的条件*㈡）如果两个不車合的平両有一个公共点，朋么它们和交于过此点的-条直线"（3）如果一条直经上的两点在一个甲面内.那么这条12线上所有的点都在这个平|时内*忆｝如果一条宜纯平行于一个半狗：经过这条直线的个F面柏交,那应这条点线就和交线平行.佑）如果两个平面平存，第三个平術和送们相交，那么两条交线平彳^类型x載面经过的三个已知点分别在爭面体的榛上，且其申有两点在同一个而的按上.例1；如图「正方^ABCD-^C^中，E.F.G分嗣在AB.BUDU匕求作iiEF.G三点的藏廁.作法』⑴在底面加内，过風尸作直线少分别与场、兀的延长歩兗于厶廈⑵衽侧面坷方内「⑵衽侧面坷方内「建结W交则］于底例2；■只Q、例2；■只Q、尺三、⑷连结血、朋匸久和吗上，试画出过只Q、用三点的厳面⑶在侧面坷Q内.连结魏交函于止作法：（1）连接W俯井延长，分别交阿、命的延长线于尽F、⑵连接费交佔于Tr交肋于5.Z（旳连接斤鼠TK则多边形啄T即为所求截面"

例3：己知A0斤分别杲四棱柱磁1珂珂彳坷的棱帥、助1和A4］上的点，且加与皿不平行’求作过这三点的截面口作法：U）谨接诉并延长交物延长线于点人Q）在平面曲Q内连接刃交舫于点必L(j0）连接輕啟则四边形旳聲即为所求。L(j例旺如图，五棱罄P-磁DE中”三条侧棱上各有一已知点F、只&求作过只G、H的截面，作法：（D将侧面加、PBC.磁伸展得到三核锥尸亠於7：⑵在侧面嘟内，连结并延长皈交刖于疋◎）在侧菌阳『内，连结并延长胡交刃于匚W）在侧面尸sr内.连结皿分别交図、朋于粗皿（5）连结感曲则五边形砒MV即为所求的截面类型Z截茴经过的三个己知点至少有一点在笋面体的面上.其余点在揍上&在底面心q内，求过E、F、&在底面心q内，求过E、F、&的截面,交如q于点尸］”则面竹勺为所作的辅助面.交如q于点尸］”则面竹勺为所作的辅助面.⑵在面肝討］内，延长气吗交朋的延长线于只⑶在面坷坷q坷内'连接兀交业坷于胚并延长交坷q于胚（4）连结逝并延长与册延长线交于q连接卯■交“于必⑸连结駆酬则五边形聞傭为所求的截面.

例缶己知直四棱柱严在面込吒内，Q在面百］曲％内，£在棱函上」画出过只Q、用三点的截面°件法：⑴过尸作即丄e于点已过q作go丄朋于e(刃在底面磁9内连接BQ,并交于蔗⑶由平行钱QQ、肱作平面阳爾，连接〜底⑷衽平面购册内过甘作朋工面肋G7交纱于嵐⑸曲平行线厅•曲j作平ffii彤曲1，则用必落在茴护谢］内⑹在面PPAA｛内，连接岛并延怅空曲1于畝(7)在面恥叭内」连接妁，并延长兗的于£⑻在面巩吧内"连接曲并延长兗兌1于札(和连接旳；跳则靈边形财丁即为廉求。类型色載面经过前三个已知点中.宥两个点在同一梭上，第三点拄寒面侔内例7；试作出过正三棱柱椒：一*］坷q的底边甌及两底中心连线加1中点的戟血口作法，(1｝过角』和码柞平面丿空交凰7于旦愛方苗1于约,则乩坷分别为鹿；约勺的中点。⑵征平面九朋内，作宦贱砒交上底面勺昨切于点民⑶在平面珂坷q内.过Q作加坷q空坷町于吕交血5于a(4)连接血保则麥边形欣痿为所求，

£例別在侧械和高的夹角为口的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧梭垂直的截面（a<4^儿£作法：（1）在平面朋f中」作AE1SG于点庄⑵崔底面ABCD内过占作必宓轴）延长绥仞分別交同于点献M（4）连接珈酬分别交期、眾?于点G氐茁〉连接』仏则多边形磁ff即淘所求B类型配截简经逵的三个己知点两两不在同一面内的棱上.Af例X只a丘三点分别在直四棱拄％的榜冏、坷坷和曲上，试画出过只a怡三点懈，连接懈，连接PR井址枚交AD前延长?tF」耳■，同祥.求岀POfJT：而ABCD吟燮点M：,堆接码」込得制就銭连接KO.HR^i所求截ifii'PQKHR君：M附不舷面XSG）的内部松交，而是交丁它的延诫碰匕则可运长DC交阀瓯于A/3+连接出/得剰谨线昉连接?p・则?O」所求並血P077?H11：如图,爲F分别征棱44码上,G在平面QC曲,解；任得到M、N两点后，只能先作出平rnfP.CIM^HK浙甞易从图2芥出英余步骤.臥而絆到所求截mEFLKH我们把已知三点中有两亍点分别庄正方障的两午共Ihj的橈上的杵截角题叫做基本題釵・有明品的规惮性例也E.F.G分别在两两异面的三条棱匕画出过£・¥、G三点询币斛:作GP丄DC.谨接站G和且F,连接GE并地长交只4的延长线TM.连按JV仃交AB与H*连按EH,任平廊ABCD内作GK//EH交CCj尸K.在.平Wi+q内作ER//KF交昌QTR*连緩RG,则所求截\^A^EHFKGRHi）通过GP丄DC得到一•个辅助平tii^GPA,它把正方体分割出一个点四棱柱卫目.JW而£.G两点分别也这牛直例棱柱梵标的两条棱上，这就回到基本题型「主要是构鎚辅助卡血低所给的三点中的两点分別在峯的共而的两義棱上

【注】如果G在l;ifn4G内时、住平内作GP#B\C“辅助平itiiPOCB分割出直四凌柱-込PB-DDQCt乂回到卑本题型.在求得两点后，易得截iliiERFKH若E在棱九占上.F.G分別住术经过孩丿耳的弗个丽（共棱的两个而或柚对的两个由”内,则作截而的步骤，仍是先作一个适当的辅助平而丫归结为基本题塑若E在棱.马上，FG分别在不经过核且4的两个而（共棱的两个止诚柏对的两个面）内.则作截面的步骤.仍是先作一个适肖的辅助平面，归结为基本题型左图中的辅助平面沟£0R齐相砲的直棱柱为^OB^APB右图中的辅助半面为月QRJ•相向的直棱杜为易0GB-ARCBEFG［点分别任卍方体的三个面内，三个面分戈顶点的和不英顶点两种情况

例m3：E任平内，内*G杞平面内.求过EFG的戢面飾’如圈，先作辅助'^ifiiRQPT・得到宜五棱柱A.ROCA-ATPCD.连接EF井延长型FQ的延长线子耐，11：EF分别枉正方体的棱11：EF分别枉正方体的棱B8,G上.G足正方沐的内部.求过EFG的截両例⑸EG分别杵孔方体ABCD-^Cfi,的内部和外他F程棱赵匕求过EFG三直的正方俸的截血能；过EG两点分屈作EP和GD連蛊平阳AC*垂足为RD■作辅圖长方作辅助t^iAPQR空平额BC]1fSV・连接圧并延长瓷SF于交RS的延长IM连接交B/C/TH.连接井延任交£〔；于2\爻嘔干「庄屮面&匚内》柞TN/fHG.连接NF.则网求仙師为四边阪FZJW

【总结】；①若己知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到戴面与多面体的一个面的截线B若面上只有一个己知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。若两个己知点分别锂相邻的面上，应找出遠两个平面的空线与截面的交点。若两平行乎面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平而根变，那么它们的交线互相平行的性质I可得截面与平面的交线。若有一点在面上而不在楼上，则可通过作辅助平面转牝为棱上的点的问题；若已知点在体内.则可通过辅助平面像它转优为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。二、截面的面积问題例16=圆锥的母线敌为八轴蔵血为的顶角9■求过此風锥的母线的截而而积解：设AFCZ)是过冏锥库钱的斤F轴诚离的证慰戟丽，其顶^ACVD=a.轴截面啟的而积S=-f-sinGr載蘭VCD的面枳&=丄擀血◎2在和△FCD中.CD<ABt所以tzv0(1)当0咗&三兰时，sin(z<sini?^5,<5t22}A.此时过圖锥母线的倉廊佃枳最大为轴截面而积S=-l2处110门〔2)当—7T时‘0<iZ<€?<T,此时加i&uj・SIU£Z可以观绷最犬值I此时过闘锥母线的載面面稅显尺値为S=絲i】所述.过圖锥肾线的戴両［期积的最k值耳轴亚斬顶角臼的范闱有关轴霰而面积最兀最大值为£=丄尸sinF22肖兰v&v肚时*过岡锥母线的収闻曲积最人值为S=-l202例17：愎圆台高为力，下底丽圆的半栓为R,轴載血等腰梯形的底角为臼求过此觑台的母线的诚而面枳的最大俏解：如閹T延长母线4%与玉世相交丁•点F・VO=R\^e.VO产RZB—h、0]E]三(.Rtan5-A)xot<?=设过鬪台的母线的任一截浙位UDDC(异丁啪嚴的*ZCVDm则仪<充一3rc=i7D=^—.cc[=DR=^—trc=m=—cos^sin^cos^siiiF轴鈿皿昭的啲积为S=R~tan&-(R-hcotRh-fi2tot&^[\\\CDL){C}的血戎为3上二：苗siii2^2sin2^^=-(卫一尸sin。一丄(―?)-sinqsiii2^2sin2^^2cos328“sill8itAVAB和厶VCDq>.a<^-23(1)BO<—时，—<T-2i?<t.所以Qvov寸TOC\o"1-5"\h\z20RbL2坊in。在(Oa)可取壽最大價1-此时他廊丽积的最大價为厂sin2^2sin(2)S——irf.<京一2&乞兰・按<s>in(^-2B)=£in20422：和h已放亍<sin2%--■---)=IRh^lrcoi£?=5.即5<5siii2^2sin2e?综上，过圜台理线所冇薩祈屮.荘商枳的最大值与轴截曲尊腰梯呢的底佝同有黄TOC\o"1-5"\h\z—■jpkJ,2洋0垃0<—时'裁即血积的最人値为「4sin2^2snr^^-<&<-^t轴截而面积最从报対也—岸匚。"42

H为且仅为即E是ME的屮点时取導E此肘FGH也分别是BC.CD.DA的中点DRH为且仅为即E是ME的屮点时取導E此肘FGH也分别是BC.CD.DA的中点DR截时EFGH与对棱AC\BD都平『M与AB.BC.CD.DA交则E.FGE圧何处时”战［inEFUEriiTWJc即肖EFGH分别为屮点时.MEFGH面积最大例18：.7：棱锥；_BCD解’^AC//K面EFGH、HAC的平两且EQ交平^EFGH1EF.EFf/AC同理HG//AC,所反ZT"HG同理可证EH//FG.故EF&H是平行四创形且最大何积>i-AB.AC.s\n&<AC^jBD所成用为日或;r—3记乙FEH=8・由EFf/AC.EH^BD可知异岀1直线NC与ED所成角为0或SEN0话備=EF.EH.snid匸(JB..4C,sillff)r.uHs(zfB,JCsm!$).(—-JFDC由于三棱锥A-BCD是给宦的，则&是宦值「记竺二匕丝二卩.则⑴斗ABABEF〃ACnHBERs&址二里二生二gEF二vACACAB'^cjjjrEH//Sr)^AAEfr^/XASD^—=—^x^>EH=xAK.故BDAB制16如屮.卩赴线^AB制16如屮.卩赴线^AB匕廉近川的三專分点,S作嚴而PQR.宜钱段于试确运S的具律位用0足线段止DI:靠近D的二铮分点.尺堆线段8的申点,BTOC\o"1-5"\h\z』幣：设AB=b.AC=c.AD=d.^]PQ=R4^A0=--b十fd>IIH——・IMi0?=0D+DR=0D+—(M—Q}=—讦+—€"}=y———3—2由截面尸。应交线段ECrs.则尸匸尸j即「于•足直在唯一的实数入“■便得尸S二乂尸0+“3?・HBS=^BCt^lPS=PB+BS=-b+^-^)=(^-x}b^xc33丄・所治^Z=|.//=|,r=|.于®i?=yic.所治所収S醫线段总「上的靠近也C的7L等分启’【引理1；荐梯形的上下庭趟长分别是它的平疔于底的截馥与上下底的距离乏比为巴・)i且瞬长皿则/二业竺川十"证明：崔梯ABCDAD//BC.若AD=a.BC=b,EF"RC且分论抠切「"ZCW辽扔舲延长菊M,厝+过厂作GH"AB分別交円。陵AD的麵长线于H.G.则EF^BH^AG・且厶DGFs^cfH十”DGMFI—a?ttjmbtno所取二>=>/AKNCHFNb-1a用于廿

AKN例20：设棱台的匕下底I丽漱分别为&茸，T•行丁-直血的斶Hi4也分高血・的比磐工，截而面积为％求证；尽Z罰H尹'nut+n证明2i±AWXV丄克B'T-N、与吗爲査干MAMHH6inj口nf^B^irABr-mJF+hJ§5/yh’hn0jm'Q刑z证明:以止棱台为制,5i-w<OSor若台体的体积被平行底［fi的跡自t而下分股川；“-m\m\积気满足右二——J??+H例21若台休的侧面积械平疔底面的戡面自上而下分成卬：心则議面面枳£="证明:以止棱台为制,5i-w<OSor若台体的体积被平行底［fi的跡自t而下分股川；“-m\m\积気满足右二——J??+H例俎过正方的对和线丘耳的戡腳廊积为£匚和仏分别为丫的熾灯ft和址小（ft,求逹的值Wrmbi解：设撰鼻分别为朋-馆的中点爵证截而凰曲”焜边袪为总的菱形低方体棱崔设対ihit-cft］积九二芈而强血駁趾?駅距秽其【"濒5辱二忑例也如图.己林球0是棱长为丄的正方｛*ABCD-A^GIX的内圻球.则平而川血趾球0的戡而新积为•二个而的切点恰沟三边的屮点,聃平而用「甜是边长为运的山三仙形’且球与乩点D二个而的切点恰沟三边的屮点,故刖求裁间的曲积込该圧三曲形的内切関的丽积，则由罔得*□内切鬪的半愫昆则所求的趙面B1的而积是7T.A3=y6三、戴倜的其他问遞则柱ini圈形g三、戴倜的其他问遞则柱ini圈形g可能起（）解：萼虑理球心的乎面征转湎中・平蔺在球的疳接正方1*匕截得的ftffiW能是大圆的内77二亠2班72-1接正方形，故选X例25i两帶平行手底而的截哪将棱锥的侧而积三等分.册这两平載面般椎的离獗成三段Z比（自上両下）为事少解；设自上而下分成的三段分别淘总花血，M（-^-十蛆

粥如图，肿丄于H故么QP是的角；o飛据握小吗定理.Z.ACB>Z.4CP,同理W础「〉WU4Fa所LZ^CB+逊C>A4CP+Z.CAP=90°=>^L4BC<90"岡理可还zRCA.ZC47?都足鋭赂故ZM月「为锐曲一角胎T训冷U0貯全驸联界)己虹币方A4RCD—人坷匚»的榜辰为1，灯顶点畀为球心，迹为半牡作一个球*求球內与匸方体的表囱和仝倩知倒的血機的长洌2&在梭长为1的正方怵肉*有两球外切”并且又分别写正方体內切当球的半轻为多少时，两球的郝积之和最小？解：球休打正方体内切从卫方怵的对角面就取.如閹D2G.4占二^聊，卩育最卜值4盼广⑺门」隔〔匸为过球心的对#J面…罔=1.A^\=\fl.AC\=D2G.4占二^聊，卩育最卜值4盼广⑺门设两球半住分别为R』.曲有且O严屈.C\Q产忑R」所咲R+厂+=舲二＞J?■+谟陶球的体枳Z和再e当口“)二-1忒R所咲R+厂+=舲二＞J?■+3(3-73)7J«er所口些J?3(3-73)7J«er所口些J?二士兰4fr'l27：布岳方体脊一令公挂顶点P的三条陵上分別备取昴下P的点乩段U・鞘到一个截\^^ABC.求证：£^ABC为锐建三划阳解：川£=学.40二1二＞/皿£：二壬，同理孕卫尸=兰二＞三£肿二兰366“6解：川£=学.40二1二＞/皿£：二壬，同理孕卫尸=兰二＞三£肿二兰366“6诉賊为琴「存，的的弧如衆在卩[闻日竝「】耳上.交缆为FG.LA1为半径为SG吟所忻的紀令川rPi卜h这样的弧也有饶故卿畴扶处亍十嘗"M例却：已知1球的半径为2,相互垂直的两伞平Wi分别黴球血曲两个側.若两阿的公共弦长TOC\o"1-5"\h\z为"则两圆的园心即等亍()HYPERLINK\l"bookmark