【典型题】数学高考模拟试题(带答案)

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一、挑选题

1．已知长方体的长、宽、高分离是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π

B．50π

C．125π

D．都不对

2．()22

xx

ee

fxxx--=+-的部分图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M?N中元素的个数为()A．2

B．3

C．5

D．7

4．设01p．

()1求()fx的单调区间；

()2若()fx0≤在区间[]1,e上恒成立，求实数a的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、挑选题1．B解析：B【解析】【分析】

按照长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2

25

2

R=，再由球的表面积公式，即可求解．【详解】

设球的半径为R，按照长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得

2R=2

252R=

，所以球的表面积为2

2544502

SRπππ==?

=球.故选：B【点睛】

本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中娴熟应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．A

解析：A【解析】【分析】

按照函数的奇偶性，排解D；按照函数解析式可知定义域为{}

1xx≠±,所以y轴右侧虚线部分为x=1，利用特别值x=0.01和x=1.001代入即可排解错误选项．【详解】

由函数解析式()22xxeefxxx--=+-，易知()2

2xx

ee

fxxx=+-=()fx-所以函数()22

xx

ee

fxxx--=+-为奇函数，排解D选项

按照解析式分母不为0可知,定义域为{}

1xx≠±,所以y轴右侧虚线部分为x=1，当x=0.01时，代入()fx可得()0fx，排解B选项所以选A【点睛】

本题考查了按照函数解析式推断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特别值等，注重图中坐标的位置及特别直线，属于中档题．

3．B

解析：B【解析】

试题分析：{1,2,6)MN?=.故选B.考点：集合的运算.

4．D

解析：D【解析】【分析】

先求数学期望，再求方差，最后按照方差函数确定单调性.【详解】

111

()0122222

ppEpξ-=?+?+?=+，2222111111()(0)(1)(2)2222224

ppDpppppξ-∴=

--+--+--=-++，1

(0,1)2

∈，∴()Dξ先增后减，因此选D.【点睛】

2

221

1

1

(),()(())().n

n

n

iiiiiiiiiExpDxEpxpEξξξξ=====-=-∑∑∑

5．A

解析：A【解析】【分析】

先求并集，得到{1,2,3,4}AB?=，再由补集的概念，即可求出结果.【详解】

由于{1,2,4}A=，{2,3,4}B=，所以{1,2,3,4}AB?=，又{1,2,3,4,5,6}U=，所以()C{5,6}UAB?=.故选A.【点睛】

本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.

6．A

解析：A【解析】

本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知

=

=

，所以应选A．

7．A

解析：A【解析】【分析】【详解】

∵函数f（x）=xlnx惟独一个零点，∴可以排解CD答案

又∵当x∈（0，1）时，lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排解B答案考点：函数图像．

8．A

解析：A【解析】

在复平面内对应的点坐标为

在第一象限，故选A.

9．B

解析：B【解析】【分析】

按照渐近线的方程可求得,ab的关系,再按照与椭圆22

1123

xy+=有公共焦点求得c即可.

【详解】

双曲线C的渐近线方程为52

yx=,可知5

ba=

①,椭圆221123xy+=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a2＋b2＝9②,按照①②可知a2＝4,b2＝5.故选：B.【点睛】

本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.

10．C

解析：C【解析】【分析】

AB

AB和AC

AC分离表示向量AB和向量AC方向上的单位向量，0ABACBCABAC??

?+?=?

??表示A∠平分线所在的直线与BC垂直，可知ABC为等腰三角形，再由1

2

ABACAB

AC

?

=

可求出A∠，即得三角形外形。【详解】

由题的，∵0ABACBCABAC??

?+?=???

，∴A∠平分线所在的直线与BC垂直，∴ABC为等腰三角形.又12ABACAB

AC

?

=

，∴1cos2A=，∴3

Aπ

=，故ABC为等边三角形.故选：C【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

11．A

解析：A【解析】【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量BQBAAQ=+，CPCAAP=+，再按照向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项.【详解】

∵BQBAAQ=+，CPCAAP=+，

∴()()

BQCPBAAQCAAPABACABAPACAQAQAP?=+?+=?-?-?+?

()()22

11ABACABACABACλλλλ=?+-?

()()232441212222

λλλλλλ=+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A.12．B

解析：B【解析】

【分析】

求解出集合M，按照并集的定义求得结果.【详解】

(){}{}{}2log1001112Mxxxxxx=-，解得19a>-，所以a的取值范围是1,9??

-+∞???

．

考点：利用导数推断函数的单调性．

16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值按照同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值按照两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定

【解析】【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB的值，按照同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，按照两角和的正弦函数公式可求sinA的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．【详解】

2b=，3c=，2CB=，

∴由正弦定理sinsinbcBC=，可得：23

sinsinBC

=，可得：

233sinsin22sincosBBBB

==，

∴可得：3cos4B=

，可得：sinB==，

∴可得：sinsin22sincosCBBB===，21

coscos22cos18CBB==-=，

()13sinsinsincoscossin484816

ABCBCBC∴=+=+=?+?=

，11sin2322SbcA∴=

=??=

．

故答案为：157

16

．【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注重用哪一个定理更便利、简捷普通来说,当条件中同时浮现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交错浮现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式举行解答.

17．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i（i是虚数单位）则|z|==故答案为解析：

【解析】【分析】【详解】

复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==

．

故答案为

．

18．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】由于长方体的体积为120所以由于为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴

解析：【解析】【分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】

由于长方体1111ABCDABCD-的体积为120，所以1120ABBCCC??=，由于E为1CC的中点，所以11

2

CECC=

，由长方体的性质知1CC⊥底面ABCD，所以CE是三棱锥EBCD-的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD-的体积

1132VABBCCE=???=11111

1202232212ABBCCC=???=?=.

【点睛】

本题蕴含“整体和局部”的对立统一逻辑.在几何风光积或体积的计算问题中，往往需要注重理清整体和局部的关系，灵便利用“割”与“补”的办法解题.

19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的状况是：则由表格知A在跳舞B

在打篮球∵③C在漫步     是A在跳舞的充分条件∴C在漫步     则D在画画故答案为画画解析：画画

【解析】

以上命题都是真命题，

∴对应的状况是：

则由表格知A在跳舞，B在打篮球，

∵③“C在漫步     ”是“A在跳舞”的充分条件，

∴C在漫步     ，

则D在画画，

故答案为画画

20．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分离作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图

解析：1015

【解析】【分析】

先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分离作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】

由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，

由于平面SAB⊥平面ABCD，衔接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，衔接AO即为半径，

令1r为SAB?外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos23

SBA∠=

,∴sin5SBA∠=，∴132sin5rSBA==∠，∴125r=，又OF=12AD=,可得222

1RrOF=+，

计算得，2

8110112022R=

+=，所以2

101

45

SRππ==.故答案为

101

.5

π【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.

三、解答题

21．（1）见解析；（2）33

-【解析】【详解】

（1）由已知90BAPCDP∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD．因为AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面PAD内作PFAD⊥，垂足为F，

由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，

AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F

xyz.

由（1）及已知可得22A??????，2P???，2,1,02B??????，22C??-????

.所以2222PC??

=--???

?，(

)

2,0,0CB=，2222PA?=-?

?，()0,1,0AB=.设(),,nxyz=是平面PCB的法向量，则

0,0,nPCnCB??=?

?=?即22

0,

2220,xyzx?-+-=???=?

可取(0,1,2n=--.

设(),,mxyz=是平面PAB的法向量，则

0,0,mPAmAB??=??=?即220,

0.xzy=?=?

可取()1,0,1m=.则3

cos,nmnmnm?=

=-，所以二面角APBC--的余弦值为3

【名师点睛】

高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35

．【解析】【分析】

（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参加“微信运动”的微信好友中，天天行走20008000~步的人数．（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．【详解】

（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，所以400位参加“微信运动”的微信好友中，天天行走20008000~步的人数约为

26

40026040

?

=人；（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，按照频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3?=，所以男生的人数为为200.36?=人，按照柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友

中随机抽取2人举行采访，基本领件总数2

615nC==种，

至少1个女性的对立大事是选取中的两人都是男性，

∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263

15

CPC=-=．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等学问的综合应用，其中解答中仔细审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．23．（Ⅰ）B=4

π

（Ⅱ）21+【解析】【分析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=

－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=

(2)S△ABC12=

acsinB24

=ac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos4

π

≥2ac﹣2ac2

收拾得：ac22

≤

-，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为

121222

22=-（22+2=1．24．（1）l的一般方程210axya+--=；C的直角坐标方程是22220xyxy+--=；（2）33

±

【解析】【分析】

（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线l的一般方程，由曲线C的极坐标方程为ρ＝2（θ4π+

），绽开得2222

ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用xcosysinρθ

ρθ=??

=?

即可得出曲线C的直角坐标方程；（2）先求得圆心C到直线AB的距离为d，再用垂径定理即可求解．

【详解】

（1）由直线l的参数方程为21xt

yat=+??

=-?

，所以一般方程为210axya+--=

由曲线C的极坐标方程是22sin4πρθ?

?

=+??

?

，所以2

22sin2sin2cos4πρθρθρθ?

?

=+

=+??

?

，所以曲线C的直角坐标方程是2

2

220xyxy+--=

（2）设AB的中点为M，圆心C到直线AB的距离为d，则7

MA=，圆()()2

2

:112Cxy-+-=，则2r=

()1,1C，

1

2

dMC

====,

由点到直线距离公式，

1

2

d===

解得a=±，所以实数a

的值为±.

【点睛】

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为一般方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）()32

245

fxxxx

=+-+；（2）13。

【解析】

【分析】

（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f（x）的表达式．

（2）先求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．

【详解】

（1）依题意，()232

fxxaxb

=++