抽样分布定理的证明及推广

抽样分布定理的证明及推广李泽州、骆非凡(七院三旅三营)摘要：论文主要介绍了抽样分布的四个定理，以及对它们的证明过程。同时，抽样分布定理不是局限的，有许多定理的推广，在这里也进行了一一的列举并进行了证明。关键词：正态总体的样本均值；样本方差；正态分布；x2分布；F分布；f分布一.抽样分布定理一定理一设xxx是来自正态总体n(u,a2)的的样本，X是样本均值，则有TOC\o"1-5"\h\z1, 2, nX〜N(u,a2：n)_1\o"CurrentDocument"证明X=_£X，同时，若X〜N(u,a2)，i=1,2,...,n，且他们相互独立，则n i i iii=1他们的线性组合仍然服从正态分布，即CX+CX+...CX(C,C，…,C)是不完全为01 1 2 2 nn1 2 n的常数。CX+CX+...CX〜N(工cu,〉：c2a2)。所以11 2 2 nn ii iii=1 i=1X〜N(u,a2fn)二.抽样分布定理二的证明和推广定理二设xx…,x是来自正态总体的n(u,a2)的样本，对于正态总体n(u,a2)的1, 2, n样本均值X和样本方差S2，则有：1.(n1.(n-1)S2

a2〜x2(n-1)；2.X与S2相互独立.X-u证明令Z=一，i=1,2,...,n，由定理二假设知，Z,Z…,Z相互独立，且都TOC\o"1-5"\h\zia 1 2,i服从N(0,1)分布。(n-1)S2 〉(X-X)2 〉(X-u)2 (X-u)2〉(X-u)2 (X-u)2\o"CurrentDocument"=k =k —n =k—a2 a2 a2 a2 a2 a2n\o"CurrentDocument"k=1 k=1 k=1

附：x2分布定义。设XX X是来自正态总体N(O,1)的样本，则1, 2, nx2二X2+X2+...+X2,自由度为n的X2分布，记为x2~x2(n)。1 2 n其可加性为：x2+x2-x2(n+n)。1212推广可推广到多个同方差正态总体的情形。例如，对于两个同方差正态总体的情形。设X,Y,s2,s2是定理二中的正态总体n(u,a2)和n(u,a2)的样本均值和样本方差。只要1212引人正交矩阵T=》A，其中A为n阶矩阵，其第一行元素都是1/Jn(n=1,2)，'2丿与上面同样的做法，考查各分量的独立性，就可证得X,Y,S2,S2相互独立。12对于m(m>2)个同方差的正态总体情形，设X,S2分别是总体iiN(u,a2),i=1,2,...,m的样本均值和样本方差，且各样本相互独立，则iX,X，…，X,S2,S2,...,S2相互独立。1 2 m1 2 m三•抽样分布定理三定理三设xx…,x是来自正态总体的n(u,a2)的样本，对于正态总体的样本均值1, 2, nX和样本方差s2，则有:证明由定理一和定理二得貯〜N(0’1)，竺竺~x2(n-1)且两者独立。由t分布定义得,(n一1)S2布定义得,F〜t(n-1)。化简左边式子，即得上式。附：t分布定义。设X〜N(0,1)，Y~x2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量t—服从自由度为n的t分布，记为t〜t(n)v'Yn抽样分布定理四的证明和推广定理四设X,X，…,X与Y,Y，…,Y分别是来自正态总体分布N(u,a2)和1 2 竹1 2 n2 1 1

N（u,02）的样本，且这两个样本相互独立。设X= 5X，Y=眷Y分别是两个样TOC\o"1-5"\h\z2 2 ni n11i=1 2i=1本的样本均值；S2=二5(X—X)2和S2=厶K(Y—Y)2分别是这两个样本的1n—1i 2n—1i\o"CurrentDocument"1i=1 2i=1样本方差，则有:S2S21-肓~F(n1-"-】)；2•当02=02=02•当02=02=02时,12(X—Y)—(U—叮，其中S2=w121 1+-n n12(n—1)S2+(n—1)S2112亠，n+n—212证明⑴由定理二得红学〜x2（n1-1）,(n—1)S2c c022〜x2（n2-D由假设,S2相互独立，则由F分布的定义知：（［—102（：2—1）02〜F（n1—1，n2-D'1122即 〜F(n—1,n—1)0202 1211(2)易知X—(2)易知X—Y〜N(u—u,1 2n1匹+竺)，即有U=(X—Y)—(u—u)n21——匚++丄亠〜N（0,1）。(n^~x2(n且他们相互独立,又由题大的条件知""1-叫〜x2（n-1）,(n^~x2(n且他们相互独立,1又因为U,V相互TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"c “(n—1)S2(n—1)S2 / c、又因为U,V相互故由x2分布的可加性知，V=L4+2 亠〜x2(n+n—2)。02 02 12121——T~~T+-nn12\o"CurrentDocument"独立，从而由t分布的定义知』=（X一Y）—（U—"丿〜t（n+n-2）。（n+n—2） 门1 1 21——T~~T+-nn12附：F分布定义。设U〜x2（n）,V〜x2（n），且U，V相互独立，则称随机变量12F=汗服从自由度为（n1，n2）的F分布，记为F〜F（n1，n2）。'2推广不仅对两个正态总体有这样的定理，对多个正态总体也具有这样的定理。四、 小结：四个抽样分布定理和三个统计分布在统计学习中具有很重要的意义。掌握了三种分布和四个抽样分布定理，有助于我们解决相关问题。通过对四个抽样分布定理的证明和推广，使得我们对抽样分布有了更深的理解，对后几章内容的学习很有帮助。五、 参考文献：盛骤、谢式千、潘承毅浙江大学第四版《概率论与数理统计》[M].北京：高等教育出版社.胡京爽•大学教材全解《概率论与数理统计》[M].青岛：中国海洋大学出版社.六、 学习体会：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科,经过这学期教员的辛勤讲解使得我们对概率论以及数理