【排列组合】排列与组合综合一

排列与组合综合（1）一、选择题.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A.180种 B.240种 C.360种D.420种））种（.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、用数字作答）.A.720 B.480

乙均在丙的同侧，则不同的排法共有（C.144 D.360.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P（B\A）等于（）4.A.6 B.4.A.6 B.133已知某旅店有A,B,C三个房间，C.59房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有（）A.120种 B.81种 C.72种 D.27种.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种 B.216种 C.240种 D.288种.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有（）A.36种 B.30种 C.24种 D.20种.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A.1080 B.480 C.1560 D.300.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A.140种 B.80种 C.70种 D.35种.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A.120 B.150 C.240 D.300.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）A.6B.24A.6B.24C.120D.720.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有种..现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色则不同取法的种数为.第1页，共13页

.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法..用数字1，2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 (用数字回答)三、解答题.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式-(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本..三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法?第2页，共13页(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法?.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目..在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查.(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2X3X4X6即144的所有正约数的和.(注：每小题结果都写成数据形式)第3页，共13页排列与组合综合（1）一、选择题.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不 4p-U同，则最多有几种栽种方案（） 卜一1——A.180种 B.240种 C.360种D.420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有纯种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2组种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有4|种，相加即得所求.【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有4|种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有24|种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有4|种，故最多有4|+2理+4|=420种栽种方案.故选D.22.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有（）种（用数字作答）.A.720 B.480 C.144 D.360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础.甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数噬=3,即可得出结论.【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得纯=720种，6•••甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，.•・甲、乙均在丙的同侧，有4种，.•・甲、乙均在丙的同侧占总数的4=2,6 3,不同的排法种数共有2X720=480种.3故选B.第4页，共13页

23.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B\A)等于()A.1 B.-3 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题.利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A发生的概率P(4)和事件A、B同时发生的概率P(4B)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到P(B\4)的值.【解答】解：事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，・••篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，・••取出的两个球颜色不同的概率为P(4)・••取出的两个球颜色不同的概率为P(4)=c2.18又・••取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P(4B)=尊1二)_3_.13...p(B\4)=aW=4_3_.13P(A)13故选B故选B..已知某旅店有A,B,C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有()A.120种 B.81种 C.72种 D.27种【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题.安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A、B两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A住，第三空出C房间，两个大人住A,一个大人住B，两个大人住B，列出算式，得到结果.【解答】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A、B两个房间排列有蹲否=12种住法，三个大人一人一间，两个孩子在A住有意=6种住法，空出C房间，两个大人住A,一个大人住B有。2否=6种住法，两个大人住B，空出C房间，有。攻种住法，综上所述共有12663=27种住法.故选D..六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.第5页，共13页【解答】解：最左端排甲，共有肉=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有弓组=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选B..世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有（）A.36种 B.30种 C.24种 D.20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，属于中档题.根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个展馆，②没有人与甲在同一个展馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个展馆，有/=6种情况，②没有人与甲在同一个展馆，则有q•42=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2X（6+6）=24种.故选C..某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A.1080 B.480 C.1560 D.300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用，属于中档题.先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论.【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有/=20种不同的方法，6若4个组的人数为2、2、1、1分配，则不同的分配方案有钙•&=45种不同的方2! 2!法，故所有的分组方法共有20+45=65种，再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65X44=1560种.故选C.28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A.140种 B.80种 C.70种 D.35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式，考查两个计数原理的综合应用，是基础题.任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视第6页，共13页

机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数.【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有以空=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有V彳=40种；45共有30+40=70种.故选C.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（）A.120 B.150 C.240 D.300【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.根据题意，分2步进行分析：①:5本不同的书分成3组，②:将分好的三组全排列，对应3人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①:将5本不同的书分成3组，若分成1若分成1、1、3的三组，=10种分组方法;若分成1、2、2的三组，有国3=15种分组方法；A2则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有宵6种情况，则有25X6=150种不同的分法.故选：故.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A.6 B.24 C.120 D.720【答案】D=662有故【解析】解：6=662有故故选：D.本题属于排列问题，全排即可.本题考查了简单的排列问题，分清是排列和组合是关键，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有种.【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题.甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案，再根据计数原理计算结果.【解答】解：①2共有1=323因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案，,2,1解：①2共有1=323第7页，共13页

②3,1,1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C1A3=12种;所以，选派方案共有18+12=30种.故答案为30.32.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色则不同取法的种数为.【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题.利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决.【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C3种取法，其中每一种卡片各取三张，有4堡种16 4取法，故所求的取法共有《6-4q=560-16=544种.故答案为544..用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法.【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题，考查分类思想的运用，尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度，属于中档题.分三类讨论：4。、E用同一颜色、4、。、E用2种颜色、4、。、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论.【解答】解：考虑4、。、E用同一颜色，此时共有4X3X3X3=108种方法.考虑4、C、E用2种颜色，此时共有以X6X3X2X2=432种方法.考虑4、C、E用3种颜色，此时共有出X2X2X2=192种方法.4故共有108+432+192=732种不同的涂色方法.故答案为732..用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （用数字回答）【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可.本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做第8页，共13页到合理的分布，是基础题.【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有偿=24种4排法.由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3X24=72个.故答案为72.三、解答题35.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？【答案】解：(1)本题要求把小球全部放入盒子，••・1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法.同理，2、3、4号小球也各有4种放法，共有44=256种放法.:恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有量种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有出种放法.4・•・由分步计数原理知共有玛•44=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球.先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有6种分法，4再放到2个盒子内，有由种放法，4共有弓•胃种方法；44②2个盒子内各放2个小球.先把4个小球平均分成2组，每组2个，有维种分法，吗再放入2个盒子内，有韦种放法，4共有4•4.w4••・由分类计数原理知共有q•4+维•4=84种不同的放法.44a24【解析】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素.(1)本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法，余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果.(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列.(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；2个盒子内各放2个小球.写出组合数，根第9页，共13页据分类加法得到结果.36.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式-(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【答案】解：(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C1种选法；6再从余下的5本中选2本有C2种选法；最后余下3本全选有C3种选法.故共有c6c5’3=60(种)不同的分配方式；(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有c6。5。343=360(种)不同的分配方式；(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是c2c2c2种方法，但是这里出现了重复.642不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了A,B，第二步取了C,D，第三步取了E,F,记该种分法为(4B,CD,EF),则C2c4c2种分法中还有(4B、EF、CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,4B),(EF,CD,4B),(E凡AB,CD),共有43种情况，而这43种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有华*=15(种)；人3(4)有序均匀分组问题.在第(3)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式华衿•43=C狂2%=9。(种)；a3 3 642八3(5)无序部分均匀分组问题.共有分配方式绛会咛=15(种)；A2(6)有序部分均匀分组问题.22433在第(5)题的基础上再分配给322433(7)直接分配问题.甲选1本有C6种方法，乙从余下5本中选1本有C5种方法，余下4本留给丙有C4种方法.共有分配方式Cy苦4=30(种).6 5 4【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，是解好组合问题的一第10页，共13页部分.37.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【答案】解：(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有费组=4320种；36(2)女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有出出=1440056种；(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有&绰=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有否=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，等绰=720种【解析】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题.根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解.38.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目.【答案】解：(1)根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有寒种顺序，再和另外5个元素进行全排列，则有空再=4320不同的节目单.(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有关花=14400不同的节目单.56(3)8个节目全排列有线=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有4|种顺序，若3个舞蹈节目先后顺序一定，则有继=6720种不同排法.人38个节目全排列有雹=40320种方法，8若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有缚组，••・前4个节目中要有舞蹈有4g-组有=37440不同的节目单.8 54【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析：先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，第11页，共13页(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有纯种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是8前四个节目全是唱歌有组组，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果.本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法.39.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查.(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有500=161700种不同的抽法，(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有6。2=9506种不同的抽法.2 98(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有中00种不同的抽法，全是正品的抽法有C3，则至少有一件是次品的抽法有第.。-C3=9604种不同的抽法.98 100 98(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506X6=57036种不同的排法.【解析】(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，