二重积分的计算法

节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法X-型积分区域Y-型积分区域将二重积分化为二次积分与直系下二次积分互化2021/5/91一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为

X–型区域

直角坐标系下化二重积分为二次积分2021/5/92应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,由此得：则的值等于以D为底，以曲面为顶的圆柱体的体积，2021/5/93若D为Y–型区域则2021/5/94当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于2021/5/95说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则2021/5/96穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.直线与区域边界相交不多于两个交点.计算中的技巧（问题）：①、先画积分区域草图；②、有无奇偶对称性:

X型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的

Y型区域的特点：2021/5/97关于x奇，D关于y轴对称关于y奇，D关于x轴对称关于x偶，关于y偶，D关于y轴对称D关于x轴对称称f(x,y)关于x为奇，称f(x,y)关于x为偶，2021/5/98③、交换积分次序：ⅰ、题目本有要求；ⅱ、出现ⅲ、二重积分恒等式证明。④、积分原则：与定积分计算基本一致；（先对x积分，视y

为常量，对y积分，视x为常量)⑤、何时不得不将积分域D分块？穿入穿出不唯一。2021/5/99解积分区域如图2021/5/910解积分区域如图2021/5/911解2021/5/912原式2021/5/913例4.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X–型区域,则解法2.

将D看作Y–型区域,

则2021/5/914例5.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则2021/5/915例6.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.2021/5/916例7．求I=解:由被积函数可知,取D为X–型域:因此取D为Y–型域:先对y

积分不行,2021/5/917例8．求I=解:被积函数关于x为奇，关于y为奇因此取D分为两部分:2021/5/918例9.计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,2021/5/919二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线

=常数,分划区域D为2021/5/920设则1.极点在积分区域外2021/5/921设则设则2.极点在积分区域的边界上3.极点在积分区域的内部2021/5/922若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)2021/5/923适合类型：①、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；②、被积函数含因子。注意的问题：①、必须画出积分区域图；②、特别注意积分向量限的确定问题；③、不要忘记2021/5/924积分限的决定：一般来讲，定好

是比较关键的表示常数曲线任意一点到极点的距离①积分限的确定（一般)ⅰ、假设极点在闭区域D内，则：ⅱ、若极点在区域D之外或边界上：看区域D夹在与之间，以此来定的范围（通过图形来看）；2021/5/925注意：ⅱ、外层一定是常数限；ⅲ、选定还是r②

r积分限的确定（仍用穿刺法）具体做法：在D内任找一点，从原点0出发向外作射线（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），先穿出的的边界解出的为下限，后穿出的边界解出的r为上限。ⅰ、上限必须大于下限；2021/5/926例1.计算其中解:

在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.2021/5/927例2：求I=其中A为D的面积2021/5/928内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则2021/5/929则极坐标系情形:若积分区域为若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则2021/5/930(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择