中考数学二轮复习专题训练题型08 与圆有关的证明与计算题（教师版）

题型08与圆有关的证明与计算题一、单选题1．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）．A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【详解】解：如图，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明SKIPIF1<0.2．如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由切线性质得到SKIPIF1<0，再由等腰三角形性质得到SKIPIF1<0，然后用三角形外角性质得出SKIPIF1<0【详解】切线性质得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接三角形，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的圆的切线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．32° B．31° C．29° D．61°【答案】A【分析】根据题意连接OC，SKIPIF1<0为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的SKIPIF1<0的度，再根据直角三角形可得SKIPIF1<0的度数.【详解】根据题意连接OC.因为SKIPIF1<0所以可得BC所对的大圆心角为SKIPIF1<0因为BD为直径，所以可得SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0为直角三角形所以可得SKIPIF1<0故选A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是这段弧所在圆的圆心，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则这段弯路所在圆的半径为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设半径为SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这段弯路的半径为SKIPIF1<0故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．5．如图，点SKIPIF1<0为扇形SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0处，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的长），若将此扇形SKIPIF1<0围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接SKIPIF1<0交AC于SKIPIF1<0．由折叠的知识可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6．如图，边长为SKIPIF1<0的等边SKIPIF1<0的内切圆的半径为()A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=SKIPIF1<0AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【详解】设SKIPIF1<0的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴CH平分SKIPIF1<0，AO平分SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0内切圆的半径为1．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=SKIPIF1<0，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=SKIPIF1<0，BC=2，tan∠A=SKIPIF1<0，∴∠A=30°，∴OH=SKIPIF1<0OA=SKIPIF1<0，AH=AO•cos∠A=SKIPIF1<0，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=SKIPIF1<0，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴SKIPIF1<0，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论不一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由圆周角定理和角平分线得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等腰三角形的性质得出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，证出SKIPIF1<0，选项A成立；由平行线的性质得出SKIPIF1<0，选项B成立；由垂径定理得出SKIPIF1<0，选项D成立；SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，没有相等的边，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不全等，选项C不成立，即可得出答案．【详解】∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，选项A成立；∴SKIPIF1<0，选项B成立；∴SKIPIF1<0，选项D成立；∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，没有相等的边，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不全等，选项C不成立，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．10．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据三角形的内角和得到SKIPIF1<0，根据圆周角定理得到SKIPIF1<0，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC为半圆O的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，图中阴影部分的面积SKIPIF1<0故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。二、填空题11．如图，SKIPIF1<0的两条相交弦SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是_______．【答案】SKIPIF1<0．【分析】由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0为等边三角形，又SKIPIF1<0，从而求得半径，即可得到SKIPIF1<0的面积．【详解】解：∵SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∵SKIPIF1<0，∴圆的半径为2，∴SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．12．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留SKIPIF1<0)【答案】SKIPIF1<0－1【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝SKIPIF1<0×（S圆O−S正方形ABCD）＝SKIPIF1<0×（4π−4）＝π−1，故答案为：π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的长度为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图，利用垂径定理得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据勾股定理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，再利用垂径定理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后解方程组求出SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0的长．【详解】连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设⊙SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，②解由①②组成的方程组得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为SKIPIF1<0，则勒洛三角形的周长为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：SKIPIF1<0则勒洛三角形的周长为：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.15．如图，在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则圆中阴影部分的面积为_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】由圆周角定理可得SKIPIF1<0，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可.【详解】连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直径，根据同弧对的圆周角相等得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即圆的半径为2，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.16．如图，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，将劣弧SKIPIF1<0沿弦SKIPIF1<0折叠交于SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的半径为_____．【答案】SKIPIF1<0．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【详解】解：连接OA，设半径为x，

SKIPIF1<0将劣弧SKIPIF1<0沿弦AB折叠交于OC的中点D，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

解得，SKIPIF1<0．

故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．17．如图，扇形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为弧SKIPIF1<0上的一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该扇形的半径长为___________【答案】5【分析】连接OP，设半径为r，在直角三角形OCP中利用勾股定理将CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用SKIPIF1<0，解出r即可【详解】连接OP，设半径为r，则OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,在直角三角形OCP中，SKIPIF1<0，即得OC2=r2-9，得到OC=SKIPIF1<0得到AC=SKIPIF1<0，又易知△ACD∽△AOB，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解出r=5；故填5【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连OP，表示出AC18．如图，在圆心角为90°的扇形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上任意一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，当点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0时，则内心SKIPIF1<0所经过的路径长为_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】以SKIPIF1<0为斜边在SKIPIF1<0的右边作等腰SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心SKIPIF1<0为半径作⊙SKIPIF1<0，在优弧SKIPIF1<0上取一点H，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求出SKIPIF1<0，证SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，证SKIPIF1<0四点共圆，故点SKIPIF1<0的运动轨迹是SKIPIF1<0，由弧长公式可得.【详解】如图，以SKIPIF1<0为斜边在SKIPIF1<0的左边作等腰SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心SKIPIF1<0为半径作⊙SKIPIF1<0，在优弧SKIPIF1<0上取一点H，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0是内心，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0四点共圆，∴点SKIPIF1<0的运动轨迹是SKIPIF1<0，∴内心SKIPIF1<0所经过的路径长SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=SKIPIF1<0，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．19．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作弧交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则阴影部分的面积为_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去SKIPIF1<0的面积，而不规则图形BCD的面积等于SKIPIF1<0的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OCSKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0阴影部分面积1=SKIPIF1<0SKIPIF1<0阴影部分面积2=SKIPIF1<0SKIPIF1<0阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<0。【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.20．如图，在扇形AOB中，SKIPIF1<0，半径OC交弦AB于点D，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则阴影部分的面积为_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是SKIPIF1<0的面积与扇形OBC的面积之和再减去SKIPIF1<0的面积，本题得以解决．【详解】解：作SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0在扇形AOB中，SKIPIF1<0，半径OC交弦AB于点D，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0阴影部分的面积是：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，直径SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，延长SKIPIF1<0至点F，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交过点A的切线于点G，且满足SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0；（3）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0为SKIPIF1<0；（3）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；（2）根据三角函数性质，得到SKIPIF1<0，从而得出答案；（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（负值舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0为SKIPIF1<0；（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.22．如图,SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将斜边SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一定角度得到SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线;（2）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证．（2）由（1）利用勾股定理得出SKIPIF1<0，公积金图形得出SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再根据相似三角形的性质得到SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即可解答【详解】（1）证明：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线（2）证明：由①知SKIPIF1<0SKIPIF1<0由模型可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明AD⊥AB23．如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心SKIPIF1<0（保留作图痕迹，不写做法）如图2，设SKIPIF1<0是该残缺圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是圆上一点，SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求残缺圆的半圆面积．【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5π【分析】作弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O即为圆心．（1）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由切线的性质可得SKIPIF1<0，然后证明SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0即可；（2）首先证明四边形SKIPIF1<0是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】解：图1做图题作法：①在残缺的圆上取两条不平行的弦SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；②以点SKIPIF1<0为圆心大于SKIPIF1<0一半长为半径在SKIPIF1<0两侧作圆弧；③以点SKIPIF1<0为圆心，同样长的半径在SKIPIF1<0两侧作圆弧与②中的圆弧交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点；④作直线SKIPIF1<0即为线段SKIPIF1<0的垂直平分线；⑤以同样的方法做线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0即为该残缺圆的圆心.图2解答过程：（1）证明：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）解：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．24．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作SKIPIF1<0，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当SKIPIF1<0时①求SKIPIF1<0的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①SKIPIF1<0；②存在，SKIPIF1<0.【分析】（1）由切线性质和直径AC可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可得：SKIPIF1<0；（2）①连接OD，由SKIPIF1<0可得△OAD是等边三角形，由此可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②作SKIPIF1<0交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求SKIPIF1<0可转化为求SKIPIF1<0．【详解】（1）∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）如图2，连接OD，①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②存在．如图2，过点B作SKIPIF1<0交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形ABQP是平行四边形，∵SKIPIF1<0，∴四边形ABQP是菱形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．25．四边形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的圆内接四边形，线段SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，连结SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点，连结SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线与SKIPIF1<0的延长线相交与点SKIPIF1<0．（1）求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①求证：SKIPIF1<0为等腰直角三角形；②求SKIPIF1<0的长度．【答案】（1）见解析;（2）①见解析;②SKIPIF1<0.【分析】（1）由圆周角的定理可得SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形SKIPIF1<0是平行四边形；（2）①由平行线的性质可证SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0为等腰直角三角形；②通过证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，通过证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0，由等腰直角三角形的性质可求SKIPIF1<0的长度．【详解】证明：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，（2）①∵SKIPIF1<0是直径，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形；②∵四边形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的圆内接四边形，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求SKIPIF1<0的长度是本题的关键．26．如图，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心，SKIPIF1<0的延长线与SKIPIF1<0的外接圆SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【分析】(1)根据三角形内心的性质得SKIPIF1<0，再利用圆内接四边形的性质得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，则可判断SKIPIF1<0；(2)根据三角形内心的性质得SKIPIF1<0，然后证明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0；(3)证明SKIPIF1<0，利用相似比得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，然后计算SKIPIF1<0即可．【详解】(1)∵点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)∵点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(3)∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.27．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0恰好落在对角线SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0点.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)在边SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的黄金分割点吗？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的黄金分割点.【分析】(1)连接SKIPIF1<0，由等腰三角形性质和折叠性质证SKIPIF1<0，根据矩形性质证SKIPIF1<0；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由SKIPIF1<0得出结论.【详解】解：(1)证明：连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由折叠可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的黄金分割点.∵四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的黄金分割点.【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.28．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都与地面l平行，车轮半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，坐垫SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0为SKIPIF1<0.（1）求坐垫SKIPIF1<0到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为SKIPIF1<0，现将坐垫SKIPIF1<0调整至坐骑舒适高度位置SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（结果精确到SKIPIF1<0，参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】（1）99.5（2）3.9【分析】（1）