第14章-虚位移原理课件

第十四章虚位移原理§14-1基本概念§14-2虚位移原理§14-3虚位移原理的应用§14-4讨论与结论研究对象——质点系的平衡问题

（质点、刚体、刚体系是质点系的特例）1、约束方程

把对质点系位置或速度的限制条件用数学方程表示，此方程为约束方程。yxM(x,y)oL摆杆为刚性杆摆杆换为不可伸长的柔索摆长长度可变§14-1基本概念2、约束方程的类型完整约束与非完整约束

（关于约束方程中是否包含坐标对时间的导数）单侧约束与双侧约束

（关于单侧方向或者双侧方向限制质点运动的约束）定常约束与非定常约束

（关于是否显含时间t的约束）

3、自由度与广义坐标广义坐标

确定系统位置的独立参数为广义坐标。自由度

对于双侧完整约束的质点系，确定系统位置的独立坐标数为系统的自由度数。

k=3n-syxM1M2φ1φ2曲柄滑块机构

自由度为1四连杆机构自由度为1纯滚动的圆轮自由度为1M1M2xyφv4、虚位移

给定瞬时，质点、质点系约束所允许的任何无限小的位移,称为质点或质点系的虚位移。5、虚功

作用在质点或质点系上的力在虚位移上所作的功称为虚功。6、理想约束

质点或质点系的约束力在虚位移上所做虚功之和为零的约束称为理想约束。FNFNFNF具有双侧、定常、完整、理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：该质点系所有主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。证明：必要条件的证明

即：若质点系平衡，主动力的虚功之和必为零。

因为：质点系平衡，所以每个质点必平衡。

所以有：§14-2虚位移原理给定一组虚位移充分条件的证明

反证法

设质点系不平衡，但质点系的主动力虚功之和为零。

对于不平衡质点，有：则有：质点由静止进入运动因为质点系是理想约束，所有约束反力的虚功之和为零。所以：即：若质点系不平衡，质点系所有主动力的虚功之和将不为零。充分性、必要性得证。虚位移原理的数学表示——

虚功方程：1、各质点虚位移关系的确定（1）分析法建立坐标系用广义坐标写出各个质点的坐标对各个质点的坐标求变分自由度数与独立变分数相同§14-3虚位移原理的应用以曲柄滑块机构为例单自由度机构

以φ为广义坐标写出各个质点的坐标。rlABφψxy首先画出各点的虚位移

按速度的关系确定虚位

移的关系

（2）几何法（虚速度法）各点虚位移之比等于虚速度之比rlABφψ例、求平衡时主动力P与Q之关系AC=CF=BC=EC=ED=FD=

l解：建立坐标系xyQPABCDEFθ例、求压榨机构的压榨力P已知：M=50NmOA=r=0.1mBD=CD=ED=l=0.3m∠OAB=900α=150解：给出各点的虚位移oABCDEαMPδrAδrDδrCδrB建立虚功方程δφ建立虚位移的关系：例、均质杆AB长2l，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端放在固定光滑曲面的DE上。欲使杆能在铅垂平面任何位置上平衡，曲面DE应是什么曲线?解：1、分析此问题的特点，

因为：作用在杆上的主动力只有杆的自重，

平衡时其虚功为零。

所以：重力与其作用点的虚位移必相互垂直。

故可以判断质心只能有水平方向的虚位移。2、建立直角坐标系并写出A点的坐标DE为椭圆曲线ABφPxyo虚位移原理求内力例、求桁架结构中1杆的约束力(杆长为a)解：解除1杆约束，用反力代之1ABGHEFDPP确定各点的虚位移δφ1δrGδrEδrFδrHS1S1代入求解得：1ABGHEFDPP建立虚功方程δφ1δrGδrEδrFδrHS1S1例、求复合梁的约束反力

已知：P1=5kN,P2=4kN,P3=3kN,M=2kN.m画出虚位移图解除固定端约束MAFAy●建立虚功方程P1P2P3M2m1m2m1m3mδφδyA●求链杆约束处的约束反力P1P2P3M2m1m2m1m3mδφ＊分布力q的虚功计算FBACB以广义力表示的虚功方程＊主动力的坐标用广义坐标表示(q1q2、、、

qk)k=3n-s

主动力作用点坐标的变分Qk为广义力虚功方程因为每一个广义坐标的变分是独立的，所以虚功方程等价于k个广义力分别等于零。（2）、根据定义计算

给质点系一组广义虚位移δqk≠0，δqj=0，j≠k广义力的计算（1）、直接根据公式计算对于保守系统，广义力等于零是具有双侧、定常、完整、理想约束质点系平衡的充分必要条件。＞0系统处于稳定平衡状态＜0系统处于不稳定平衡状态例、双摆摆长分别为l1与l2,质量分别为m1与m2。在摆端作用一水平力F。求平衡时双摆的位形。解：双摆的自由度数是2选择广义坐标φ1，φ2计算广义力第一组虚位移（δφ1≠0

δφ2=0）第二组虚位移（δφ

1=0δφ2≠0）yxABφ1φ2Fmg1mg2计算广义力Q1（δφ1≠0

δφ2=0）yxAB