4 定积分概念及牛顿莱布尼茨公式

复习若则积分法：用基本积分公式及积分性质求积分的方法第一换元积分法：第二换元积分法：(根式换元、三角换元）分部积分公式换元积分法分部积分法直接积分法:不定积分：2021/5/91§4.2定积分概念【学习本节要达到的目标】1、了解定积分概念；

2、掌握定积分的几何意义.2021/5/92一、问题的提出背景来源——面积的计算矩形的面积定义为两直角边长度的乘积我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分一般图形的面积是什么？2021/5/93实例1

（求曲边梯形的面积）设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积2021/5/94abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）2021/5/95观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/96观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/97观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/98观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/99观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/910观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/911观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/912观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/913观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/914观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/915观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2021/5/916解决步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

近似.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得2021/5/9173)求和.把n个小矩形的面积加起来。4)取极限.当分割无限加细时，则曲边梯形面积2021/5/918实例2

（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似.得已知速度n

个小段过的路程为部分路程值某时刻的速度2021/5/9193)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限2021/5/920二、定积分概念任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作2021/5/921积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和2021/5/922注意：4（）定义中区间的分法和ix的取法是任意的.

2021/5/9231：2：定积分存在的充分条件3：2021/5/924三、定积分的几何意义1、2021/5/9252、2021/5/9263、2021/5/927定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值2021/5/928小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的几何意义2021/5/929§4.3定积分的性质及微积分基本公式【学习本节要达到的目标】1、掌握定积分的性质；

2、掌握奇偶函数计算定积分的简要公式；

3、熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式.2021/5/930对定积分的补充规定:注意

在定积分的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分的性质2021/5/931证性质12021/5/932证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质22021/5/933注意：不论的相对位置如何总成立.若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3(可加性）2021/5/934(2)由同学们自己完成2021/5/935（1）性质4（比较性质）用于比较同一个区间上两个函数积分值大小oxyaby=f(x)y=g(x)2021/5/936解令于是2021/5/937证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质5（估值性质）oxyab2021/5/938解2021/5/939证由闭区间上连续函数的介值定理知性质6（定积分中值定理）积分中值公式2021/5/940使即积分中值公式的几何解释：2021/5/941（一）定理（微积分基本定理）微积分学基本定理－－－Newton-Leibniz公式（不定积分和定积分的关系）微积分基本公式实质：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.二、牛顿——莱布尼茨公式2021/5/942例6

解：

依题意，所求面积为2021/5/943例7

计算下列定积分2021/5/944例8

求

解原式2021/5/945（二）定积分的第一换元积分法例9解例10先看求不定积分：解2021/5/946（三）定积分的第二换元积分法

设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且，则定积分的换元公式注意：应用定积分的换元公式时，换元必换限。2021/5/947例11计算定积分解：

（根式换元）练习2021/5/948例12.计算解:

令则∴原式=且（三角换元）2021/5/949例13.证:(1)若(2)若偶倍奇零奇偶函数计算对称区间上定积分的简要公式2021/5/950（四）定积分的分部积分法定积分的分部积分公式例14.

计算解:2021/5/951例15.

计算解:原式