函数部分答案2 11一变量与概念

第二章函 函afyay＝f(a)y|所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}y＝f(x)也经)所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.)[a,b)或R用区间表示为(－∞，＋∞)∞),(－∞,b],(－∞,b)知识点一已知解析式求函数的定义域例1求下列函数的定义域：y＝3

；(4)y＝2x＋3－

解(1)

1

函数y＝ 的定义域为x|x≤0且x≠－＝－∞，－∪－2x

函数y＝

＝x6

－ －

f(x)＝ 的定义域是{x∈R|x≠1x f(x)＝3x－1＋1－2x＋4的定义域是知识点二两函数相同的判定2下列各题中两个函数是否表示同一函数:(1)f(x)＝x,g(x)＝(x)2;f(t)＝t,g(x)＝3x3;解(1)f(x)R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,故不是同(1)f(x)＝x·x＋1g(x)＝x(x＋1);(2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t;(3)f(x)＝1解(2)是,(1)、(3)知识点三例 已知解(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3解－1)2－3(a－1)＋2＝a2－5a＋6.－1)2－3(x－1)＋2＝x2－5x＋6,f(x)＝x2－5x＋6,即y＝f(x)是难以理解的抽象符号,它的内涵是“x,在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理正确理解函数的二要素,其中对应关系是函数的,而函数的定义域就是指能使这个解析◆作业

2－1 f(f( f(f(222

x f ,则1等x f

B．1 C．2 3 (2)y＝x－1＋f(x)＝11＋x2.(1)f(2)f,f(3)f

1 2 4 2 解 1

1＋＝ 3＝＝

9＝

＝11＋

1＋12

1 1＋ 4∴原式＝2＋1＋1＋1＋…＋1＝2009＋2＝ 有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．知识点一1在下列对应关系中,AB的映射？哪些不是;若是映射,是否解(1)是，一一映射 1 A0，+∞，=，fx→y2＝x; 知识点二例 解A中元素(1,2)的象为 变式迁移 1),A2BB中元素2，4A 解B中的象为(2＋1,3),2，4在A中对应的原象为知识点三例 ()＋()＝(c)f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)2＋0＝2,0＋2＝2,(－1111110000000100010应元素,若有,再看对应元素是否唯一,至于B中的每一个元素是否都有原象,则不作要求. 设集合A＝{x|0≤x≤6},B＝{y|0≤y≤2},对于以下对应的关系中,不是A到B(

设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x＋y,x－y),则在f下,象(2,1)的原象是

, ,． A．3个2个1C．4个2个2B．3个3D．2个221 A．3个 B．4个 C．5个 A=Z，B={x|x=2n+1,n∈Z},C=R.,ABx→2x－1,BC

,则经过两次映射,A中元素1在C中的象为 121234象34211234象4312则f[g(1)]的值为 ④A＝R，B＝R，f：x→y＝1 ，是函数的是A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．解 解f(1)＝4，f(2)＝7,列方程组

值)Amn43m＋1＝16m＝5.知,舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.解析法——图象法——用图 列表法——列出表 知识点一1tx

b解(1)x＝2

＋当x＝14时，t＝28得方程组

解此方程组得

14a＋b x≤20123456789然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 B)知识点二函数解析式的求法2已知f(x＋4)＝x＋8x，求 1 变式迁移 2

xy1xy1x0xy1xy1x0y10xy10 若f(1－2x)＝ (x≠0),那么f2等 已知f(x)是一次函数,2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1,则 10点到3点只进水不出水; 23点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是1 ;当g[f(x)]＝2时,x＝ x1x123211x123321 f(x)＝2x分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集 作分段函数图象时,知识点一分段函数的求值问题x＋2例1已知函数 2x

求f[f(3)]的值 f[f(aa＝1 变式迁移1设f(x)＝11

a<-知识点二2f(x)＝1＋2 ìï-2(x-1 2

)+1,x?[0,2y＝f(x) îï-2x+2,x?[2知识点三分段函数的简单应用解设票价为yx 所以y关于x的函数为 0.2(nx0.2(n

t(0,,t(n,n1](nN,n

2

x＋x－2， f(x＋2)

函数

已知 x＋1

，则f(f(f(－1)))的值是

)已知函数 x－3，

{x|0≤x≤13≤x≤4中的任意两xΔy＝f(x)－f(x时,1 ) 如果一个函数在某个区间M上是增函数 或是减函数 区间M上具有单调性，区间M称为单调区间 a>0时，二次函数y＝ax＋bx＋c的单调递增区间 时，yk函数 (k>0)的单调递减区间为(－∞,0)和 1(1) 知识点二例2证明：函数 ＋x证明0<x1<x2<1 ＝(x－x 2

变式迁移2利用单调性的定义证明函数 －xx1，x2∈(01)f(x)－f(x)＝(x－x) 2＝(x－x 1 ∵0<x<x，∴x－x

知识点三函数单调性的应用例3已知函数 f(x)的最小值为2a

aa

23f(x)＝x[2,5]f(x)<a在[2,5]f

2,f

5a的取值范围是aa411◆

B．1 C．2 D．3 若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在区间[4，＋∞)上是增函数则实数a的取值范围是(B 已知函数f(x为区间[1,1]上的增函数，则满足f(x)<f1的实数x的取值范围为

1,2

．(,3),(0,y＝ax

＝－x 证明：函数y f(x)max3,f(x)min1

关于原 对关于y 对 关于y _f(x)ff(x)f2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于 f(x)0 知识点一函数奇偶性的判断1 f(x)＝x＋1 f(x)＝1－x2＋ f(x)＝ f(x)＝x－1＋ 知识点二 例2已知函数

变式迁移2判断函数 x＋1

知识点三)在奇函数与偶函数的定义域中,x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函122x

3.y＝(x＋1)(x－a)a ) 如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是 若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是 11_3

已知f(x)＝ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝- f(x)＝2x－1＋ －x2－2

f(x)＝x－1 f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)． 定义在R上的奇函数，必有 若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值-M 函数f(x)＝|x|的奇偶性为_偶函 ，单调递增区间为_(0,)_，单调递减区间 知识点一函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_(2, 式g(x)<0的解集为_(3, (3, 知识点二x23x1(xf(x) x23x1(xf(x)

x1(-1xx1(0x实数m的取值范围是 1,2立，求m的取值范围．实数m的取值范围是 1,21y轴对称，故可直接根据函数图象的对论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：对于定义在R上的任何奇函数f(x)都 ) 数 ( A．x轴对 C．y轴对 若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上 A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0

x － f－4_f(af(x)x,g(x)x2

f(x) 1

0t2 ykxb(k0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为性质与图象：(1)一次函数ykxb(k0)的图象是直线，简写为直线ykx 其中 叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距，一次函数又叫线性函数函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于常数k.当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b0 直线y＝kx＋b与x轴的交点为－k，0，与y轴的交点为 函数yax2bx(ca0 性质与图象：对二次函数f(x)＝a(x－h)＋k(其中h＝－2a，k＝ 函数的图象是抛物 ,抛物线的顶点坐标是 ，对称轴为y ，函数在x=h处取最小值ymin＝k (h)上是减函数，在(h当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=h处取最大值ymax＝k＝ ,在区(h上是增函数,在(h,)知识点一例 13 mR且m2 m2知识点二利用配方法分析二次函数的性质例2y＝f(x)＝3x2－6x＋1. f(x)minf(1)2f(3)．f(3)=变式迁移2 a3知识点三求二次函数在已知区间上的最值例3f(x)＝x2－2x＋2.f(x)minf(1)1，f(x)maxf(4)f(x)minf(2)2，f(x)maxf(3)g(t)

t21(t1(0t t22t2(t当a<0时，值域为：[-1，3- ，当0a1时，值域为：[a21,3当1a2时，值域为：[a21,1]，a〉2时，值域为：[3-4a，-一次函数定义：y＝kx＋b(k≠0)k≠0.b＝0时，此函数为正比例函数，它是一次函数的特例．一次函数的性质：k>0时，单调递增；k<0时，单调递减．3.222<h≤n,已知正比例函数，可设解析式为ykx(k0ykxb(k0)kky(k≠0) yax2bx(c ②已知顶点坐标为(h，k),ya(xh)2k(a0)③已知函数与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，可设ya(xx1)(xx2)(a0) 独立条件求a.知识点一已知函数类型，求解析式例1求下列函数的解析式：f(x)4x24xf(x)2x f(x)变式迁移1 (1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标分别是－2,6，图象与y轴相交，交点和原点的距离为3，求此函数解析式； f(x)1x21x 2f(x)Rx≤－1时，y＝f(x)的图象是经过点(－2,0)，斜率为1y＝f(x)的图象上有一部分是顶点在(0,2)，且过点(－1,1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并作出其图象． x+2(xf(x)x2+2(1x x2(x二次函数，f(6)＝2，又当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，求f(x)的解析式．(x+5)2-3(6xf(x)

13

(3xx、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的 函数的应用k b(k、b为常数知识点一一次函数的数学模型办法：(1)买1只茶壶1只茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需买茶壶4只，茶杯若干(不少于4只)，若茶杯x只付款y元，试分别建立两种办法中y与x之间的杯数x＝34时，两种办法一样．变式迁移1为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动采用不同的方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)x(分)y(元)的关系 22当 y＝y，两种卡一致23时， 当 y>y，即便民卡便宜3时， 当x>96 y<y，即如意卡便宜3时， 知识点二二次函数的数学模型22005元，6789 11.51490 y甲＝0.2(x＋4)，y乙 20万只

知识点三分段函数的数学模型例 又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)550xx

x＝500时，L＝6000x＝1000时，L＝11变式迁移3某市居民自来水标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当该月用水量分别为5x、3x(吨)．4 ， ， 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0 这个函数的零点 ＝ax2＋bx＋c有两 零点当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等 次函数y＝ax2＋bx＋c有 零点或者说有二阶 Δ＝b2－4ac<0时,ax2＋bx＋c＝0y＝ax2＋bx＋c没 相邻两个零点之间的所有函数值保持同 知识点一求函数的零点1求下列函数的零点： -1，1(3)f(x) -知识点二利用二次函数的零点解不等式例2解下列不等式．解集为{x|x<－2 3解集为x|3

知识点三函数零点的综合应用3xx2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围． 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈（a，b），使f（x0）=0 如果函数图象通过零点时穿过x轴x在区间一分为二，使区间的两个端点逐步近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二知识点一1x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个F(－2)F(－1)＝－1×3<0变式迁移1 x012解(1)在(－2，－1.5)，(－0.5,0)，(0,0.5)令f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．∴方程知识点二例 知识点三例 用二分法求函数y＝f(x零点近似值，它必须具备两个条件：①在[ab上连续；(a，b)f(a)·f(b)>0y＝f(x)在区)(0,3)1知识点一函数的奇偶性及应用 f(x)的图象如右图所示，那么不等式xf(x)<0的解集为( 知识点二例 2f(x)=x2-2ax+2，x?[1,+时，f(x)≥aa知识点三2

例 值域为 G(x)＝1的解集为{x|x＝1x＝1＋G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋2知识点四例14ABCDBC上有一动点P，B(起点)A(终点)P运动的路x，△APB的面积为y. yt中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？解(1)依题意，得y＝2 —t—t3 第三章基本初等函数 式子na叫

n n3．(1)n∈N时，(a) .(2)n为正奇数时

a＝；n为正偶数时，a m nn

n m且n为既约分数 知识点一 a3·a2；a

33a2·a3·(33a2·a3·(a)52(a2)变式迁移

2 3

；xx(5

(2)(b3)3(b0).例2计算(或化简)下列各式：2(1)4212

8 (2)(0.064)3 )0[(2)3]316075|0.01|28 a2

a2 变式迁移2求值:1.5－×－0＋8025×2＋(2× 3 知识点三灵活应用——例 3

.x2y2. x2y

xx1

的值1. Rx＝；.；RR知识点一求定义域、值域问题1求下列函数的定义域和值域：1( (y2x4;(2)y2 1( ( }{x|x4}{y|y0且y1}(2)R{y|y (2)R{y|y}2(1)y＝3 ； {x|x2}{y|y (2){x|x0}{y|0y知识点二指数函数的图象问题例2如图所示是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 知识点三指数函数单调性的应用例30.99－1010.99－14 34 比较()3,23,()3,()2的大小 3 4 ()3()2()3 例4 (1)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2] a1或a

a3或a3变式迁移 110≤x≤2y＝42－3·2x＋55a (2)ymax5

ymin 如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做 作，其中a叫做 ，N叫做 ；(2)底的对数为；(3)零和负 若a>0，且a≠1，则ab＝N (a>0且a≠1)．知识点一对数式有意义的条件例(1)(1){x|x10}(2){x|x1且x2(3){x|x0且-1<x变式迁移1在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围 A．a>5或 知识点二 (1)5＝625；(2)log8＝－3； (4)log1 变式迁移 log

log

log(log

2 (1)x9(2)x43(3)x2(4)x (5)x3

例3计算：1(log9log 2

(1)35(2)55 (5

log635 65记作logaN＝b，a叫做对数的底数，N(1)log(MN)＝logM＋log logM－logN；(3)logMn＝nlog 对数换底：log a 为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作 (2)自然对数与常用对数的关系：lnN≈ 例 logx÷log ④log(xy)＝logx·logaaaaaA．0B．1C．2D．3A．loga≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是(AB．(logx)n＝nlogx C．(logx)n＝logxn)D．logaaaaaaax 例 计算： log log7－log (2)2(lg2)＋lg2·lg5＋(lg2) (1)log11(1)log115og2 －log5 例 设

12

3 用“lg5＋lg2＝1”来解题．(1)logb·log (2)ma一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做 ，其中x是自变量，函数的定义Ry＝logxy＝lox x1求下列函数的定义域：(1)y＝3 (2)y＝log0 {x|x0}

{x|1x2且x变式迁 ， 的定a1{x|x1}a1{x|3x4例 下图是对数函数y＝loga 43, , ,

的图象，已知a值取 C，C，C，3，5，10，则图象 41, 35 310 3 ,

4,3,1, 5 10例

a1xlog081.5与log0 (2)log35与> (1)log052.7，log052.8；(2)log34，log65；(3)logaπ，logaea>0

知识点一利用对1例 1（1）(2

0a1或a1知识点二对数函数最值问题a 变式迁移2函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a( 知识点三利用图象求参数范围 例 若不等式2－logax<0，当x∈，2时恒成立，求实数a的取值范围 ()2

a3x∈(1,2)(x－1)2<logaxa

1 1，当底数未明确给 知识点一求函数的反函数问题例11列函数的反函数．(1)y＝x；(2)y＝logx，x∈(1,8)； 114

（3）f1(x) 21x(1)y＝log ； （3）f1(x)x1,x5

（2）f1(x)logx,x(0,131知识点二